Persamaan lingkaran dengan pusat (-2,3) dan jari‑jari 3 cm bukan sekadar rumus mati yang menghuni buku teks. Mari kita telusuri bersama, bagaimana susunan angka dan variabel ini sebenarnya bercerita tentang sebuah bentuk sempurna di bidang koordinat, sebuah kisah geometri yang elegan tentang semua titik yang berjarak sama dari sebuah pusat. Bayangkan kita sedang memetakan batas wilayah dengan radius tepat tiga sentimeter dari sebuah titik penting.
Dengan bentuk baku (x + 2)² + (y – 3)² = 9, persamaan ini menjadi alat yang powerful untuk menentukan posisi suatu titik, memvisualisasikan bentuk, dan bahkan menyelesaikan masalah kontekstual. Dari sini, kita bisa menguak titik-titik ujungnya, mengubahnya ke bentuk umum, dan melihat hubungan matematis yang rapi antara aljabar dan geometri. Semua dimulai dari memahami makna mendalam dari pusat (-2,3) dan jari-jari 3 tersebut.
Konsep Dasar dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran: Persamaan Lingkaran Dengan Pusat (-2,3) Dan Jari‑jari 3 Cm
Sebelum kita masuk ke kasus spesifik, mari kita pahami dulu fondasinya. Dalam geometri analitik, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama dari satu titik tertentu. Titik tertentu itu kita sebut pusat lingkaran, dan jarak yang tetap itu adalah jari-jari. Konsep sederhana ini diwujudkan dalam sebuah rumus yang elegan.
Bentuk baku persamaan lingkaran dengan pusat di titik (a, b) dan jari-jari r adalah:
(x – a)² + (y – b)² = r²
Di sini, (x, y) mewakili koordinat sembarang titik pada bidang. Variabel ‘a’ dan ‘b’ adalah koordinat pusat lingkaran. Sementara ‘r’ tentu saja adalah panjang jari-jari. Jika pusatnya di (-2, 3) dan jari-jarinya 3 cm, maka substitusi langsung memberi kita persamaan:
(x – (-2))² + (y – 3)² = 3² → (x + 2)² + (y – 3)² = 9
Persamaan ini menjadi alat ukur kita. Untuk mengecek posisi suatu titik terhadap lingkaran, kita cukup substitusi nilai x dan y-nya ke ruas kiri persamaan, lalu bandingkan hasilnya dengan 9. Hasil yang kurang dari 9 berarti titik berada di dalam lingkaran, sama dengan 9 berarti tepat di batas lingkaran, dan lebih dari 9 berarti di luar lingkaran.
Nah, kalau kita ulik persamaan lingkaran berpusat di (-2,3) dengan jari-jari 3 cm, rumus (x+2)²+(y-3)²=9 pun langsung ketemu. Proses analitis seperti ini mirip dengan saat kita mengerjakan Soal Pilihan Ganda Bahasa Inggris No 35 , di mana ketelitian memilih opsi sangat krusial. Kembali ke lingkaran, pemahaman konsep dasar ini menjadi fondasi untuk menyelesaikan variasi soal geometri analitik yang lebih kompleks.
Contoh Posisi Titik pada Lingkaran
Berikut adalah tabel yang menunjukkan perbandingan beberapa titik terhadap lingkaran (x + 2)² + (y – 3)² = 9. Tabel ini membantu memvisualisasikan bagaimana persamaan bekerja sebagai “penyaring” posisi.
| Titik (x, y) | Substitusi ke (x+2)²+(y-3)² | Hasil | Posisi |
|---|---|---|---|
| (-2, 3) | (0)² + (0)² | 0 | Di dalam (ini adalah pusat) |
| (1, 3) | (3)² + (0)² = 9 | 9 | Tepat pada lingkaran |
| (-5, 3) | (-3)² + (0)² = 9 | 9 | Tepat pada lingkaran |
| (-2, 0) | (0)² + (-3)² = 9 | 9 | Tepat pada lingkaran |
| (0, 0) | (2)² + (-3)² = 4 + 9 = 13 | 13 | Di luar lingkaran |
Visualisasi dan Interpretasi Geometris
Memahami persamaan secara aljabar saja tidak cukup; kita perlu membayangkannya dalam ruang. Lingkaran dengan pusat (-2,3) dan jari-jari 3 cm hidup di bidang Kartesius. Bayangkan titik (-2,3) yang terletak 2 satuan di kiri sumbu-Y dan 3 satuan di atas sumbu-X sebagai jantung dari bentuk ini.
Dari titik pusat itu, kita menjangkau ke segala arah sejauh 3 cm (atau 3 satuan dalam skala sumbu), membentuk sebuah lingkaran sempurna. Visualnya adalah sebuah lingkaran yang sedikit condong ke kuadran II (kiri-atas) karena pusatnya yang memiliki nilai x negatif dan y positif.
Titik-Titik Ujung Lingkaran, Persamaan lingkaran dengan pusat (-2,3) dan jari‑jari 3 cm
Titik-titik ujung, atau titik potong dengan garis yang melalui pusat dan sejajar dengan sumbu koordinat, mudah ditemukan dengan menambah atau mengurangi jari-jari pada salah satu koordinat pusat. Berikut adalah koordinatnya:
- Titik Paling Kiri: Geser 3 satuan ke kiri dari pusat. Koordinatnya: (-2 – 3, 3) = (-5, 3).
- Titik Paling Kanan: Geser 3 satuan ke kanan dari pusat. Koordinatnya: (-2 + 3, 3) = (1, 3).
- Titik Paling Atas: Geser 3 satuan ke atas dari pusat. Koordinatnya: (-2, 3 + 3) = (-2, 6).
- Titik Paling Bawah: Geser 3 satuan ke bawah dari pusat. Koordinatnya: (-2, 3 – 3) = (-2, 0).
Hubungannya dengan persamaan sangat langsung. Jika kita substitusikan koordinat titik paling kanan (1, 3) ke dalam rumus jarak atau langsung ke persamaan, kita peroleh (1+2)² + (3-3)² = 9 + 0 = 9. Hasil ini sesuai dengan r², membuktikan titik tersebut memang berjarak tepat 3 satuan dari pusat. Prinsip yang sama berlaku untuk ketiga titik ujung lainnya.
Transformasi ke Bentuk Umum Lain dan Penerapan
Bentuk baku (x+2)² + (y-3)² = 9 sangat informatif karena langsung memperlihatkan pusat dan jari-jari. Namun, dalam banyak soal, terutama yang melibatkan sistem persamaan atau menentukan persamaan garis singgung, bentuk umum x² + y² + Ax + By + C = 0 lebih sering digunakan. Konversi dari satu bentuk ke bentuk lain adalah keterampilan aljabar dasar yang penting.
Dalam matematika, persamaan lingkaran dengan pusat (-2,3) dan jari‑jari 3 cm adalah (x+2)² + (y-3)² = 9. Mirip seperti pusat yang jelas ini, Belanda dulu juga punya titik fokus yang gamblang saat datang ke Nusantara, yang bisa kamu telusuri lebih dalam melalui artikel Tujuan Belanda ke Indonesia. Kembali ke lingkaran, pemahaman tentang pusat dan jari-jari ini menjadi fondasi krusial untuk menyelesaikan berbagai problem geometri analitik yang lebih kompleks.
Langkah Konversi ke Bentuk Umum
Mari kita ubah persamaan (x + 2)² + (y – 3)² = 9. Prosesnya melibatkan pengembangan kuadrat dan pengelompokan suku.
- Pertama, kembangkan kedua kuadrat tersebut:
(x + 2)² = x² + 4x + 4
(y – 3)² = y²
-6y + 9 - Jumlahkan hasil pengembangan tersebut:
x² + 4x + 4 + y²
-6y + 9 = 9 - Gabungkan semua suku konstanta di ruas kiri:
x² + y² + 4x – 6y + (4 + 9 – 9) = 0 - Sederhanakan konstanta:
x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0
Jadi, bentuk umum dari persamaan lingkaran kita adalah x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0, dengan A=4, B=-6, dan C=4.
Penerapan Bentuk Umum untuk Mengecek Titik
Misalkan kita ingin memeriksa apakah titik (0, 1) terletak pada lingkaran ini. Kita bisa menggunakan bentuk umum yang baru saja kita dapatkan.
Substitusi x=0 dan y=1 ke dalam x² + y² + 4x – 6y +
4. Hasilnya
(0)² + (1)² + 4*(0)
6*(1) + 4 = 0 + 1 + 0 – 6 + 4 = -1.
Karena hasilnya bukan 0 (melainkan -1), maka titik (0, 1) tidak terletak pada lingkaran. Untuk titik yang tepat pada lingkaran, substitusi akan menghasilkan nilai 0.
Pemecahan Masalah Kontekstual dan Latihan
Matematika menjadi lebih hidup ketika diterapkan dalam konteks. Bayangkan sebuah skenario sederhana: Sebuah menara pemancar radio di titik M(-2,3) memiliki jangkauan sinyal ideal sejauh 3 km (asumsikan satuan koordinat dalam km). Sebuah rumah sakit baru dibangun di titik H(1, 1). Pertanyaannya, apakah rumah sakit tersebut masih mendapatkan sinyal ideal dari menara?
Soal ini adalah penerapan langsung konsep lingkaran. Daerah jangkauan sinyal ideal membentuk lingkaran dengan pusat M(-2,3) dan jari-jari 3 km. Rumah sakit akan mendapat sinyal ideal jika koordinatnya memenuhi (x+2)² + (y-3)² ≤ 9.
Prosedur Penyelesaian
Source: z-dn.net
Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan langkah-langkah sistematis berikut.
- Identifikasi data: Pusat (a,b)=(-2,3), r=3. Titik H(1,1).
- Gunakan rumus jarak atau substitusi langsung ke bentuk pertidaksamaan lingkaran.
Jarak MH = √[(1 – (-2))² + (1 – 3)²] = √[(3)² + (-2)²] = √(9+4) = √13 ≈ 3.61 km. - Bandingkan jarak dengan jari-jari: 3.61 km > 3 km.
Karena jarak rumah sakit ke menara (≈3.61 km) lebih besar dari jari-jari jangkauan ideal (3 km), maka rumah sakit tidak berada dalam area sinyal ideal. Mungkin diperlukan penguat sinyal atau posisi yang lebih strategis.
Latihan Soal Tambahan
Untuk mengasah pemahaman, coba kerjakan dua soal berikut yang masih berkaitan dengan lingkaran yang sama, (x+2)² + (y-3)² = 9.
- Tingkat Dasar: Diketahui titik P(-4, 3) dan Q(0, 3). Tanpa menghitung jarak secara detail, gunakan interpretasi geometris untuk menentukan posisi masing-masing titik (di dalam, pada, atau di luar lingkaran). Jelaskan alasanmu.
- Tingkat Menengah: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik yang berada tepat di bagian paling bawah lingkaran, yaitu titik (-2, 0). Petunjuk: Garis singgung di suatu titik pada lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik singgung tersebut.
Penutup
Jadi, persamaan lingkaran dengan spesifikasi ini lebih dari sekadar memenuhi tugas sekolah. Ia adalah contoh nyata bagaimana konsep abstrak koordinat dan jarak diterjemahkan menjadi pola yang dapat divisualisasikan dan diaplikasikan. Mulai dari menggambar grafik hingga merancang soal cerita sederhana, lingkaran ini menunjukkan bahwa matematika memiliki bahasa visualnya sendiri yang memikat. Dengan menguasai dasar ini, pintu untuk memahami bentuk-bentuk geometri dan transformasinya yang lebih kompleks pun terbuka lebar.
Tanya Jawab (Q&A)
Apakah satuan centimeter (cm) memengaruhi perhitungan aljabar dalam persamaan?
Tidak, satuan cm dalam “jari-jari 3 cm” hanya memberikan konteks ukuran dalam dunia nyata. Dalam perhitungan aljabar murni di bidang koordinat, kita memperlakukan angka 3 sebagai bilangan tanpa satuan. Satuan baru menjadi relevan jika kita menghubungkannya dengan skala atau masalah aplikasi yang melibatkan pengukuran fisik.
Bagaimana jika jari-jarinya bukan 3 cm, tetapi 3 satuan lain? Apakah persamaannya berubah?
Persamaan aljabarnya tidak berubah selama nilai numerik jari-jarinya tetap 3. Rumusnya tetap (x + 2)² + (y – 3)² = 9. Perubahan satuan (misal, dari cm ke meter) hanya mengubah interpretasi fisiknya, bukan hubungan matematis antara koordinat x dan y. Angka 3 dan 9 di sini adalah bilangan murni.
Bisakah persamaan ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran?
Tentu bisa. Setelah memiliki persamaan lingkaran yang definitif, baik dalam bentuk baku (x + 2)² + (y – 3)² = 9 maupun bentuk umum x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0, kita dapat mencari persamaan garis singgung di suatu titik pada lingkaran atau garis singgung dengan gradien tertentu menggunakan rumus-rumus turunan atau diskriminan.
Mengapa pusat (-2,3) menghasilkan bentuk (x + 2) dan (y – 3) dalam persamaan?
Itu karena rumus baku persamaan lingkaran adalah (x – a)² + (y – b)² = r², dengan (a,b) sebagai pusat. Jadi, untuk pusat (-2,3), kita substitusi: a = -2 dan b = 3. Maka, (x – (-2))² menjadi (x + 2)², dan (y – 3)² tetap. Tanda di dalam kurung selalu berlawanan dengan tanda koordinat pusatnya.
