Persamaan lingkaran melalui titik (-3,-5), (-2,2), dan (5,1) menawarkan teka-teki geometri yang menarik untuk dipecahkan. Masalah ini bukan sekadar latihan matematika biasa, melainkan sebuah pencarian untuk menemukan lingkaran sempurna yang secara elegan menyentuh ketiga titik koordinat tersebut di bidang Kartesius. Dengan pendekatan yang tepat, kita dapat mengungkap rahasia bentuk dan posisi lingkaran tersebut.
Pada dasarnya, setiap lingkaran dapat didefinisikan oleh pusat dan jari-jarinya. Tantangannya adalah, ketiga titik yang diberikan hanya berada di kelilingnya, bukan pusatnya. Oleh karena itu, diperlukan metode sistematis untuk menyusun dan menyelesaikan persamaan, mengubah data titik-titik yang tampak acak menjadi sebuah persamaan lingkaran yang utuh dan elegan.
Menentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik seperti (-3,-5), (-2,2), dan (5,1) memerlukan perhitungan sistematis untuk menemukan pusat dan jari-jarinya. Proses analitis ini mengingatkan kita pada pentingnya ketelitian dalam menghitung asupan nutrisi, misalnya saat Hitung karbohidrat 12 keping biskuit dari info gizi. Keduanya sama-sama bergantung pada data akurat dan penerapan rumus yang tepat untuk mencapai hasil yang valid, sebagaimana dibuktikan dalam penyelesaian sistem persamaan dari ketiga titik tersebut.
Pendahuluan dan Konsep Dasar Persamaan Lingkaran
Dalam geometri analitik, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap. Titik tetap ini disebut pusat lingkaran, dan jarak yang tetap tersebut adalah jari-jari. Konsep ini dapat diwujudkan dalam dua bentuk persamaan matematika yang fundamental. Bentuk pertama menekankan pada unsur geometrisnya secara langsung, sementara bentuk kedua lebih praktis untuk penyelesaian masalah tertentu, seperti mencari persamaan lingkaran yang melalui beberapa titik.
Bentuk baku persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r adalah
(x – a)² + (y – b)² = r²
. Setiap titik (x, y) yang memenuhi persamaan ini memiliki jarak tepat r dari titik (a, b). Sementara itu, bentuk umum persamaan lingkaran ditulis sebagai
x² + y² + Ax + By + C = 0
. Bentuk ini diperoleh dengan mengembangkan kuadrat pada bentuk baku. Koefisien A, B, dan C berhubungan dengan pusat dan jari-jari, dimana pusatnya adalah (-½A, -½B) dan jari-jarinya √(¼A² + ¼B²
-C).
Contoh Penentuan Persamaan Lingkaran Sederhana
Sebagai ilustrasi, menentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2, -1) dan jari-jari 3 dapat dilakukan dengan langsung mensubstitusi nilai ke dalam bentuk baku. Perhitungannya menjadi landasan untuk memahami proses yang lebih kompleks.
Pusat (a, b) = (2, -1) dan r =
3. Persamaannya
(x – 2)² + (y – (-1))² = 3² → (x – 2)² + (y + 1)² = 9.
Jika bentuk ini kita kembangkan, kita akan memperoleh bentuk umum: x²
-4x + 4 + y² + 2y + 1 = 9, yang kemudian disederhanakan menjadi x² + y²
-4x + 2y – 4 = 0. Dari sini terlihat A = -4, B = 2, dan C = -4.
Metode Penyelesaian dengan Sistem Persamaan Linear
Ketika yang diketahui adalah tiga titik yang dilalui lingkaran, seperti (-3,-5), (-2,2), dan (5,1), bentuk umum x² + y² + Ax + By + C = 0 menjadi sangat berguna. Setiap titik yang dilalui lingkaran harus memenuhi persamaan tersebut. Dengan mensubstitusi koordinat ketiga titik, kita akan mendapatkan tiga persamaan linear dengan tiga variabel yang tidak diketahui, yaitu A, B, dan C.
Substitusi Titik dan Penyusunan Sistem Persamaan
Mari kita substitusi masing-masing titik ke dalam bentuk umum x² + y² + Ax + By + C = 0.
- Untuk titik (-3, -5): (-3)² + (-5)² + A(-3) + B(-5) + C = 0 → 9 + 25 – 3A – 5B + C = 0 → 34 – 3A – 5B + C = 0.
- Untuk titik (-2, 2): (-2)² + (2)² + A(-2) + B(2) + C = 0 → 4 + 4 – 2A + 2B + C = 0 → 8 – 2A + 2B + C = 0.
- Untuk titik (5, 1): (5)² + (1)² + A(5) + B(1) + C = 0 → 25 + 1 + 5A + B + C = 0 → 26 + 5A + B + C = 0.
Dari ketiga persamaan tersebut, kita susun sistem persamaan linear tiga variabel. Untuk kejelasan, koefisien dan konstanta dapat disajikan dalam format tabel berikut.
| Persamaan | Koefisien A | Koefisien B | Koefisien C | Konstanta |
|---|---|---|---|---|
| (1) 34 – 3A – 5B + C = 0 | -3 | -5 | 1 | -34 |
| (2) 8 – 2A + 2B + C = 0 | -2 | 2 | 1 | -8 |
| (3) 26 + 5A + B + C = 0 | 5 | 1 | 1 | -26 |
Proses Penyelesaian Sistem Persamaan
Kita akan selesaikan sistem ini dengan metode eliminasi. Pertama, eliminasi variabel C dengan mengurangkan persamaan (1) dan (2), serta persamaan (2) dan (3).
Eliminasi C dari (1) dan (2):
(1) -3A – 5B + C = -34
(2) -2A + 2B + C = -8
————————- (-)
-A – 7B = -26 … (Persamaan 4)
Eliminasi C dari (2) dan (3):
(2) -2A + 2B + C = -8
(3) 5A + B + C = -26
————————- (-)
-7A + B = 18 … (Persamaan 5)
Sekarang kita memiliki sistem dua variabel dari persamaan (4) dan (5). Dari persamaan (5), kita peroleh B = 18 + 7A. Substitusi nilai B ini ke persamaan (4):
-A – 7(18 + 7A) = -26 → -A – 126 – 49A = -26 → -50A = 100 → A = -2.
Substitusi A = -2 ke B = 18 + 7A: B = 18 + 7(-2) = 18 – 14 → B = 4.
Terakhir, substitusi A = -2 dan B = 4 ke persamaan (2): -2(-2) + 2(4) + C = -8 → 4 + 8 + C = -8 → 12 + C = -8 → C = -20.
Jadi, persamaan umum lingkaran yang melalui ketiga titik tersebut adalah x² + y²
-2x + 4y – 20 = 0.
Verifikasi dan Interpretasi Hasil
Setelah memperoleh persamaan umum, langkah penting adalah mengonversinya ke bentuk baku untuk mengidentifikasi pusat dan jari-jari, serta memverifikasi kebenarannya dengan titik-titik awal. Proses ini memastikan tidak ada kesalahan hitung selama penyelesaian sistem persamaan linear.
Penentuan Titik Pusat dan Jari-Jari, Persamaan lingkaran melalui titik (-3,-5), (-2,2), dan (5,1)
Dari persamaan x² + y²
-2x + 4y – 20 = 0, kita kelompokkan variabel x dan y: (x²
-2x) + (y² + 4y) =
20. Lengkapi bentuk kuadrat sempurna:
(x²
-2x + 1) + (y² + 4y + 4) = 20 + 1 + 4
(x – 1)² + (y + 2)² = 25.
Dari bentuk baku ini, kita langsung membaca titik pusat lingkaran: (1, -2). Jari-jari lingkaran adalah akar kuadrat dari 25, yaitu r = 5.
Pemeriksaan Kebenaran Hasil
Verifikasi dilakukan dengan mensubstitusi ketiga titik awal ke dalam persamaan baku (x – 1)² + (y + 2)². Hasilnya harus sama dengan 25.
- Titik (-3, -5): (-3 – 1)² + (-5 + 2)² = (-4)² + (-3)² = 16 + 9 = 25. ✓
- Titik (-2, 2): (-2 – 1)² + (2 + 2)² = (-3)² + (4)² = 9 + 16 = 25. ✓
- Titik (5, 1): (5 – 1)² + (1 + 2)² = (4)² + (3)² = 16 + 9 = 25. ✓
Ketiga titik memenuhi persamaan, membuktikan perhitungan telah benar.
Ilustrasi Posisi Titik pada Lingkaran
Lingkaran dengan pusat (1, -2) dan jari-jari 5 membentang pada bidang Kartesius. Titik (-3, -5) terletak di kuadran III, relatif terhadap pusat, posisinya adalah 4 satuan ke kiri dan 3 satuan ke bawah. Titik (-2, 2) berada di kuadran II relatif terhadap pusat (3 satuan kiri, 4 satuan atas). Sementara titik (5, 1) berada di kuadran I (4 satuan kanan, 3 satuan atas).
Ketiganya membentuk segitiga yang semua sudutnya bersinggungan dengan keliling lingkaran, bukan di dalamnya.
Pembahasan Alternatif dan Aplikasi
Metode substitusi ke bentuk umum bukan satu-satunya cara. Pendekatan geometris menggunakan garis sumbu (perpendicular bisector) dari ruas garis yang menghubungkan dua titik juga dapat digunakan. Garis sumbu dari dua pasang titik akan berpotongan di satu titik, yaitu pusat lingkaran. Setelah pusat ditemukan, jaraknya ke salah satu titik awal akan menjadi jari-jari.
Kondisi Khusus dan Deteksi Kesalahan
Source: kompas.com
Sebuah catatan penting: metode ini hanya berlaku jika ketiga titik tidak segaris (kolinear). Jika titik (-3,-5), (-2,2), dan (5,1) ternyata segaris, sistem persamaan yang dibentuk akan tidak konsisten atau menghasilkan “lingkaran” dengan jari-jari imajiner. Dalam praktik, sebelum menghitung, dapat dilakukan pengecekan sederhana dengan melihat kemiringan garis antara titik-titik tersebut. Jika kemiringan garis dari titik pertama ke kedua sama dengan kemiringan dari titik pertama ke ketiga, maka titik-titik tersebut segaris dan tidak ada lingkaran nyata yang melalui mereka.
Soal Latihan dengan Prosedur Singkat
Sebagai latihan, cari persamaan lingkaran yang melalui titik (0,0), (4,0), dan (0,6). Berikut adalah prosedur singkat penyelesaiannya.
- Gunakan bentuk umum: x² + y² + Ax + By + C = 0.
- Substitusi (0,0): 0 + 0 + 0 + 0 + C = 0 → C = 0.
- Substitusi (4,0): 16 + 0 + 4A + 0 + 0 = 0 → 4A = -16 → A = -4.
- Substitusi (0,6): 0 + 36 + 0 + 6B + 0 = 0 → 6B = -36 → B = -6.
- Persamaan lingkaran: x² + y²
-4x – 6y =
0. Dalam bentuk baku: (x – 2)² + (y – 3)² = 13.
Visualisasi dan Penerapan
Memvisualisasikan lingkaran hasil perhitusan memperdalam pemahaman tentang hubungan antara persamaan aljabar dan bentuk geometrisnya. Dari data pusat dan jari-jari, kita dapat menggambarnya, menentukan titik potong dengan sumbu koordinat, serta membandingkan karakteristiknya dengan lingkaran lain.
Menentukan persamaan lingkaran melalui titik (-3,-5), (-2,2), dan (5,1) memerlukan penerapan sistem persamaan untuk mencari pusat dan jari-jari. Proses analitis ini serupa dengan optimasi dalam mencari Panjang BC untuk Maksimum Luas Trapesium Siku‑siku OABC , di mana konsep turunan dan geometri analitik bertemu. Dengan demikian, pemahaman mendalam tentang koordinat dan hubungan antar titik menjadi kunci dalam menyelesaikan kedua persoalan matematika tersebut, termasuk lingkaran yang melalui tiga titik spesifik tadi.
Menggambar Lingkaran pada Bidang Kartesius
Untuk menggambar lingkaran (x – 1)² + (y + 2)² = 25, mulailah dengan menandai titik pusat di koordinat (1, -2). Dari titik ini, ukurkan jarak 5 satuan ke arah atas, bawah, kiri, dan kanan untuk mendapatkan titik bantu: (1, 3), (1, -7), (-4, -2), dan (6, -2). Gambarkan kurva lingkaran yang melewati keempat titik ini dengan smoot. Ketiga titik soal, (-3,-5), (-2,2), dan (5,1), akan tepat berada pada kurva tersebut.
Menentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik seperti (-3,-5), (-2,2), dan (5,1) memerlukan penyelesaian sistem persamaan linear. Logika sistematis serupa juga diterapkan dalam bidang teori bilangan, misalnya saat Anda perlu Selesaikan Kongruensi Linear 4x ≡ 3 (mod 9). Keduanya mengandalkan metode substitusi atau eliminasi yang presisi. Dengan demikian, ketelitian dalam manipulasi aljabar menjadi kunci utama untuk mendapatkan bentuk umum persamaan lingkaran yang akurat dari titik-titik yang diketahui.
Titik Potong dengan Sumbu Koordinat
Titik potong dengan sumbu-X terjadi ketika y =
0. Substitusi ke persamaan: (x – 1)² + (0 + 2)² = 25 → (x – 1)² + 4 = 25 → (x – 1)² = 21 → x – 1 = ±√
21. Jadi, titik potongnya adalah (1 + √21, 0) dan (1 – √21, 0). Titik potong dengan sumbu-Y terjadi ketika x = 0: (0 – 1)² + (y + 2)² = 25 → 1 + (y+2)² = 25 → (y+2)² = 24 → y+2 = ±√24 = ±2√6.
Jadi, titik potongnya adalah (0, -2 + 2√6) dan (0, -2 – 2√6).
Perbandingan Karakteristik Lingkaran
Berikut tabel yang membandingkan lingkaran hasil perhitungan kita dengan lingkaran contoh dari bagian pertama yang memiliki pusat (2, -1) dan jari-jari 3.
| Karakteristik | Lingkaran (x-1)²+(y+2)²=25 | Lingkaran (x-2)²+(y+1)²=9 |
|---|---|---|
| Pusat (a, b) | (1, -2) | (2, -1) |
| Jari-jari (r) | 5 satuan | 3 satuan |
| Luas (πr²) | 25π satuan luas | 9π satuan luas |
| Keliling (2πr) | 10π satuan panjang | 6π satuan panjang |
| Bentuk Umum | x²+y²-2x+4y-20=0 | x²+y²-4x+2y-4=0 |
Ringkasan Penutup
Dengan demikian, pencarian persamaan lingkaran yang melalui tiga titik tertentu telah berhasil dibuktikan melalui langkah-langkah aljabar yang terstruktur. Hasil akhir bukan hanya sekadar rumus, tetapi sebuah cerita geometris yang koheren tentang bagaimana titik (-3,-5), (-2,2), dan (5,1) terhubung dalam satu kurva yang sempurna. Proses ini menguatkan pemahaman bahwa matematika adalah alat yang powerful untuk menemukan keteraturan dari data yang tampak sembarang, sebuah keterampilan yang aplikatif dalam berbagai bidang sains dan teknologi.
Informasi Penting & FAQ: Persamaan Lingkaran Melalui Titik (-3,-5), (-2,2), Dan (5,1)
Apakah selalu ada lingkaran yang melalui tiga titik sembarang?
Tidak selalu. Lingkaran hanya dapat terbentuk jika ketiga titik tersebut tidak segaris (tidak kolinear). Jika ketiga titik terletak pada satu garis lurus, tidak akan ada lingkaran yang melalui mereka.
Metode lain apa yang bisa digunakan selain substitusi ke bentuk umum?
Metode alternatif yang populer adalah menggunakan sifat garis sumbu (perpendicular bisector). Dengan mencari perpotongan dua garis sumbu dari ruas garis yang menghubungkan titik-titik tersebut, kita akan mendapatkan titik pusat lingkaran.
Bagaimana jika salah satu titik yang diketahui adalah titik pusat lingkaran?
Jika salah satu titik adalah pusat (a,b), maka penyelesaian menjadi lebih sederhana. Kita bisa langsung menggunakan bentuk (x-a)²+(y-b)²=r² dan substitusi dua titik lainnya untuk mencari nilai r².
Apakah hasil perhitungan ini bisa digunakan untuk menggambar lingkaran dengan akurat?
Sangat bisa. Setelah mendapatkan titik pusat (h,k) dan panjang jari-jari r, lingkaran dapat digambar dengan menggunakan jangka atau alat bantu digital dengan menempatkan pusat di (h,k) dan mengatur jangkauan sebesar r.
