Rotasi dan Translasi Garis y=2x+1 Menjadi x‑ay=b Hitung a+b

Rotasi dan Translasi Garis y=2x+1 Menjadi x‑ay=b, Hitung a+b terdengar seperti teka-teki aljabar yang rumit, bukan? Tapi percayalah, di balik simbol-simbol itu tersembunyi sebuah petualangan geometri yang mengagumkan. Bayangkan garis lurus yang kita kenal sejak SMA itu tiba-tiba berputar layaknya penari balet di atas panggung koordinat, lalu bergeser dengan anggun ke posisi baru. Proses transformasi ini bukan sekadar manipulasi angka, melainkan sebuah cerita tentang bagaimana bentuk dapat berubah namun tetap mempertahankan jiwanya sebagai sebuah garis lurus.

Diskusi ini akan mengajak kita menyelami langkah demi langkah bagaimana persamaan sederhana y = 2x + 1 mengalami metamorfosis melalui rotasi dan translasi hingga berbentuk x – ay = b. Fokus utamanya adalah mengungkap nilai a dan b sebagai hasil dari transformasi komposit ini. Kita akan jelajahi mulai dari konsep matriks rotasi, vektor translasi, hingga bagaimana operasi aljabar linear yang elegan mampu memetakan satu garis ke garis lainnya, sekaligus menghitung nilai akhir a + b yang menjadi inti persoalan.

Transformasi Geometri Garis y=2x+1 Melalui Rotasi dan Translasi

Bayangkan garis lurus y = 2x + 1 yang familiar di bidang Kartesius. Garis ini, dengan kemiringan curam dan potongan yang khas, akan kita ajak berpetualang melalui dua operasi geometri yang powerful: rotasi dan translasi. Rotasi, seperti memutar seluruh bidang di sekitar suatu poros, akan mengubah arah dan orientasi garis. Sementara translasi, atau pergeseran, akan memindahkan garis tersebut tanpa mengubah bentuk atau arahnya, seperti menggeser sebuah penggaris di atas meja.

Kombinasi keduanya, yang disebut transformasi komposit, mampu memetakan garis awal kita menjadi bentuk baru yang misterius: x – ay = b. Memahami proses ini bukan hanya sekadar manipulasi aljabar, tetapi juga tentang melihat keindahan geometri yang bergerak.

Konsep Rotasi dan Translasi dalam Bidang Kartesius

Rotasi terhadap titik asal (0,0) adalah operasi yang memutar setiap titik pada bidang sebesar sudut tertentu (θ) mengelilingi pusat koordinat. Arah putaran biasanya dianggap positif jika berlawanan arah jarum jam. Operasi ini secara efektif mengubah koordinat (x, y) suatu titik menjadi koordinat baru (x’, y’) berdasarkan sudut rotasi. Kekuatan rotasi terletak pada kemampuannya menjaga jarak setiap titik ke pusat rotasi, tetapi mengubah orientasi seluruh objek secara keseluruhan.

Secara matematis, rotasi dapat direpresentasikan dengan perkalian matriks. Matriks rotasi untuk sudut θ adalah alat elegan yang menangkap esensi perputaran ini dalam bentuk aljabar yang kompak.

Di sisi lain, translasi adalah operasi yang lebih sederhana secara konsep tetapi tak kalah penting. Translasi didefinisikan oleh sebuah vektor, misalnya T(tx, ty), yang menunjukkan besarnya pergeseran horizontal (tx) dan vertikal (ty). Setiap titik pada bidang hanya ditambahkan dengan komponen vektor ini: (x, y) menjadi (x + tx, y + ty). Berbeda dengan rotasi, translasi tidak mengubah orientasi, ukuran, atau bentuk objek sama sekali; ia hanya mengubah lokasinya.

Ketika rotasi dan translasi digabungkan, urutan operasi menjadi kritis. Rotasi lalu translasi akan menghasilkan efek yang berbeda dibandingkan translasi lalu rotasi, karena rotasi dilakukan terhadap titik asal. Kombinasi ini membentuk dasar dari banyak aplikasi dalam grafika komputer dan fisika.

Langkah Rotasi Garis y=2x+1 sebesar 90 Derajat

Mari kita demonstrasikan proses rotasi garis y = 2x + 1 sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam. Matriks rotasi untuk sudut 90° adalah matriks yang elegan: baris pertama berisi cos(90°)=0 dan -sin(90°)=-1, sedangkan baris kedua berisi sin(90°)=1 dan cos(90°)=0. Jika kita memiliki titik sembarang (x, y) pada garis awal, koordinat barunya (x’, y’) setelah rotasi dihitung dengan perkalian matriks.

Hasil perkalian ini menghasilkan hubungan bahwa x’ = -y dan y’ = x. Ini adalah kunci untuk menemukan persamaan garis baru dalam koordinat yang telah diputar.

Kita substitusikan hubungan ini ke dalam persamaan garis asli. Karena y = x’ dan x = y’, kita ganti x dengan y’ dan y dengan -x’ ke dalam y = 2x + 1. Proses substitusi ini menghasilkan persamaan -x’ = 2y’ + 1. Untuk membuatnya lebih rapi, kita susun ulang semua suku ke satu sisi sehingga diperoleh x’ + 2y’ + 1 = 0, atau dapat ditulis sebagai x’ = -2y’
-1.

Garis yang awalnya naik ke kanan (gradien positif 2) sekarang telah berubah menjadi garis yang turun ke kanan jika dilihat dalam variabel primed, dengan gradien yang berbeda. Ini menunjukkan bagaimana rotasi secara fundamental mengubah kemiringan suatu garis.

Efek Translasi Menuju Bentuk Umum x-ay=b

Setelah dirotasi, garis kita berada dalam bentuk x’ = -2y’
-1. Sekarang, kita terapkan translasi dengan vektor tertentu, misalkan T(p, q). Translasi ini berarti setiap titik (x’, y’) pada garis hasil rotasi bergeser ke titik baru (X, Y) dengan hubungan X = x’ + p dan Y = y’ + q. Untuk menemukan persamaan garis dalam koordinat baru (X, Y), kita perlu menyatakan x’ dan y’ dalam X dan Y, yaitu x’ = X – p dan y’ = Y – q.

Substitusi ekspresi ini ke dalam persamaan garis hasil rotasi adalah langkah kritis berikutnya.

Dengan melakukan substitusi x’ = X – p dan y’ = Y – q ke dalam x’ = -2y’
-1, kita peroleh (X – p) = -2(Y – q)
-1. Selanjutnya, kita kembangkan dan susun ulang persamaan ini. Mengembangkan sisi kanan menghasilkan -2Y + 2q – 1. Kemudian, kita pindahkan semua suku yang mengandung variabel X dan Y ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain.

Hasilnya akan berbentuk X + 2Y = (p + 2q – 1). Agar sesuai dengan format yang diinginkan, yaitu x – ay = b, kita mungkin perlu mengalikan seluruh persamaan dengan -1, tergantung pada tanda yang dihasilkan. Dari sini, kita dapat langsung mengidentifikasi nilai a sebagai koefisien Y (dengan tanda yang disesuaikan) dan nilai b sebagai konstanta di sisi kanan.

Proses ini mengungkap bagaimana vektor translasi (p, q) secara langsung mempengaruhi nilai konstanta b dalam persamaan akhir, sementara sudut rotasi menentukan nilai a.

Menentukan Nilai a dan b dari Hasil Transformasi Komposit

Setelah melalui proses transformasi komposit, tantangan menariknya adalah mengungkap nilai a dan b yang tersembunyi dalam persamaan final x – ay = b. Nilai-nilai ini bukanlah angka acak; mereka adalah cetak biru aljabar yang mencatat secara tepat sejarah transformasi yang dialami garis. Koefisien a terkait erat dengan sudut rotasi, mencerminkan perubahan kemiringan yang drastis. Sementara konstanta b merupakan akumulasi efek dari konstanta garis awal dan komponen vektor translasi.

Menelusuri hubungan ini memungkinkan kita untuk meramalkan hasil akhir hanya dari parameter transformasi, atau sebaliknya, merekonstruksi transformasi dari persamaan akhir.

Hubungan Sudut Rotasi dan Vektor Translasi dengan a dan b

Source: slidesharecdn.com

Hubungan antara parameter transformasi dan koefisien akhir bersifat deterministik. Untuk rotasi sebesar sudut θ, matriks rotasi akan memetakan garis dengan gradien m menjadi garis dengan gradien baru. Nilai a dalam bentuk x – ay = b terkait dengan gradien baru ini. Secara spesifik, jika bentuk akhir ditulis sebagai y = (1/a)x – (b/a), maka gradiennya adalah 1/a. Gradien ini merupakan hasil rotasi dari gradien awal m=2.

Hubungannya melibatkan tangen dari sudut θ. Di sisi lain, nilai b merupakan paduan dari konstanta garis awal (dalam hal ini 1) dan komponen vektor translasi (p, q). Translasi secara linear menggeser garis, yang secara aljabar termanifestasi sebagai perubahan pada konstanta atau suku bebas persamaan garis.

Prosedur Sistematis Menghitung a+b

Berikut adalah prosedur sistematis untuk menghitung a + b dari berbagai skenario rotasi dan translasi yang diterapkan pada garis y = 2x + 1.

• Tentukan sudut rotasi θ dan vektor translasi T(p, q).
• Bentuk matriks rotasi R = [cosθ -sinθ; sinθ cosθ].
• Ambil titik umum (x, y) pada garis awal yang memenuhi y = 2x + 1.
• Hitung koordinat setelah rotasi: (x’, y’)^T = R . (x, y)^T.
• Ekspresikan x dan y dalam x’ dan y’ menggunakan hubungan invers dari rotasi.
• Substitusi ekspresi x dan y tersebut ke dalam persamaan y = 2x + 1 untuk mendapatkan persamaan dalam variabel (x’, y’).
• Terapkan translasi: X = x’ + p, Y = y’ + q. Ekspresikan x’ dan y’ dalam X dan Y.
• Substitusi ke persamaan hasil rotasi, kemudian susun hingga berbentuk X – aY = b.
• Identifikasi nilai a (koefisien di depan Y setelah X) dan b (konstanta di sisi kanan).
• Jumlahkan a + b.

Contoh Perhitungan dengan Rotasi 45 Derajat dan Translasi T(3, -1)

Mari kita terapkan prosedur di atas dengan contoh konkret: rotasi 45° dilanjutkan translasi T(3, -1).

Matriks rotasi 45°: R = [√2/2 -√2/2; √2/2 √2/2].
Titik (x,y) dirotasi: x’ = (√2/2)(x – y), y’ = (√2/2)(x + y).
Dari sini, kita dapat menyelesaikan x dan y dalam x’, y’: x = (√2/2)(x’ + y’), y = (√2/2)(-x’ + y’).
Substitusi y = 2x + 1: (√2/2)(-x’ + y’) = 2*[(√2/2)(x’ + y’)] + 1.
Sederhanakan dengan mengalikan 2/√2: (-x’ + y’) = 2(x’ + y’) + √2.

Hasilnya: -3x’

y’ = √2, atau 3x’ + y’ + √2 = 0.

Ini adalah persamaan dalam koordinat (x’, y’) setelah rotasi.

Terapkan translasi: X = x’ + 3, Y = y’

1 → x’ = X – 3, y’ = Y + 1.

Substitusi ke 3x’ + y’ + √2 = 0: 3(X-3) + (Y+1) + √2 = 0.
Kembangkan: 3X – 9 + Y + 1 + √2 = 0 → 3X + Y + (√2 – 8) = 0.
Untuk bentuk x – ay = b, kita tulis ulang: 3X + Y = 8 – √

2. Bagi 3

X + (1/3)Y = (8 – √2)/3.
Ini belum berbentuk X – aY = b. Kalikan dengan -1 jika perlu: -X – (1/3)Y = (√2 – 8)/3. Bandingkan dengan X – aY = b.
Maka, a = 1/3 dan b = (8 – √2)/3 (dari bentuk X + (1/3)Y = (8-√2)/3, di sini “a” adalah -1/3 jika kita paksa bentuknya, tetapi lebih mudah kita baca langsung: bentuknya adalah X – (-1/3)Y = (8-√2)/3, sehingga a = -1/3, b = (8-√2)/3).

Jadi, a + b = (-1/3) + (8 – √2)/3 = (7 – √2)/3.

Keunikan dan Variasi Nilai a+b

Nilai a + b bukanlah nilai yang tetap atau unik untuk garis awal y = 2x + 1. Ia sangat bervariasi bergantung pada pilihan parameter transformasi, yaitu sudut rotasi (θ) dan vektor translasi (p, q). Setiap pasangan (θ, p, q) yang berbeda akan menghasilkan pasangan (a, b) yang berbeda, dan dengan demikian jumlah a+b yang berbeda. Bahkan untuk sudut rotasi yang sama, memilih vektor translasi yang berbeda akan mengubah nilai b secara linear, sehingga mengubah jumlah a+b.

Dengan kata lain, terdapat tak terhingga banyaknya kemungkinan nilai a+b yang dapat dihasilkan. Keunikan hanya muncul jika kita menetapkan secara spesifik seluruh parameter transformasinya. Fenomena ini menunjukkan fleksibilitas transformasi geometri dalam memetakan sebuah garis ke berbagai posisi dan orientasi di bidang, dengan setiap hasil membawa “sidik jari” aljabar yang unik sesuai dengan sejarah transformasinya.

Visualisasi Geometris Perubahan Garis Setelah Rotasi dan Pergeseran

Membayangkan transformasi secara geometris memberikan pemahaman yang lebih intuitif dibandingkan hanya melihat rumus. Bayangkan garis y=2x+1 sebagai seutas benang lurus berwarna yang terbentang di atas bidang koordinat, melintasi sumbu-Y di titik (0,1) dan memiliki kemiringan yang tajam. Ketika rotasi diterapkan, bayangkan seluruh bidang beserta benang tersebut diputar dengan lembut di sekitar titik asal (0,0), seperti memutar piringan hitam. Setiap titik pada benang berayun melingkar, menjaga jaraknya dari pusat putaran, tetapi arah benang secara keseluruhan berubah.

Setelah rotasi 90 derajat, benang yang awalnya miring ke kanan atas kini akan berorientasi ke kiri atas relatif terhadap sumbu asli.

Perubahan Visual Posisi dan Kemiringan Garis

Secara visual, efek rotasi paling jelas terlihat pada perubahan kemiringan garis. Garis y=2x+1 yang asli membentuk sudut lancip terhadap sumbu-X positif. Setelah rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam, garis baru akan membentuk sudut tumpul terhadap sumbu-X positif jika diukur dalam sistem koordinat lama. Namun, dalam sistem koordinat yang ikut berputar, garis tersebut sebenarnya vertikal relatif terhadap sumbu baru. Posisi potongan dengan sumbu juga berubah secara dramatis karena rotasi dilakukan terhadap titik asal, sehingga seluruh garis berputar mengelilingi titik (0,0), bukan mengelilingi titik potongnya sendiri.

Ini menyebabkan lokasi garis relatif terhadap sumbu-sumbu koordinat asli menjadi sangat berbeda.

Nah, setelah kita selesai mengutak-atik rotasi dan translasi garis y=2x+1 menjadi x-ay=b untuk menghitung a+b, ada baiknya kita istirahat sejenak dengan teka-teki lain yang seru: coba hitung Jumlah susunan kata dari huruf GALATAMA. Latihan kombinatorik ini melatih logika yang sama pentingnya, lho, sebelum akhirnya kita kembali fokus dan menyelesaikan perhitungan akhir dari transformasi geometri tadi dengan kepala yang lebih segar.

Pergerakan Titik Selama Transformasi Komposit

Mari kita lacak pergerakan beberapa titik representative pada garis y=2x+1, misalnya titik A(0,1), B(1,3), dan C(-1,-1). Pada rotasi 90 derajat CCW, titik A(0,1) yang berada tepat di sumbu-Y akan bergerak melingkar ke koordinat (-1, 0). Titik B(1,3) akan berputar ke (-3, 1). Titik C(-1,-1) akan berputar ke (1, -1). Jika kita hubungkan ketiga titik hasil rotasi ini, mereka akan membentuk garis lurus baru dengan persamaan x = -2y – 1.

Selanjutnya, translasi diaplikasikan. Misalkan dengan vektor T(2, 1). Titik A'(-1,0) akan bergeser menjadi A”(1,1). Titik B'(-3,1) menjadi B”(-1,2). Titik C'(1,-1) menjadi C”(3,0).

Ketiga titik akhir ini kembali membentuk garis lurus, yang persamaannya dapat ditemukan dari koordinat A” dan B”, yaitu X – (-1)Y = 2, atau X + Y = 2. Di sini, a = -1 dan b = 2.

Implikasi Geometris Nilai a dan b

Nilai a dan b pada persamaan akhir x – ay = b memiliki interpretasi geometris yang langsung terkait dengan garis hasil transformasi. Nilai a, atau lebih tepatnya kebalikannya dengan tanda tertentu, merepresentasikan gradien atau kemiringan garis akhir. Jika a positif, berarti garis akhir memiliki kemiringan positif 1/a. Jika a negatif, kemiringannya negatif. Dalam contoh rotasi 90 derajat, kita sering mendapatkan a negatif, yang sesuai dengan garis yang turun ke kanan.

Menarik, kan? Dari membahas rotasi dan translasi garis y=2x+1 menjadi bentuk x-ay=b untuk menghitung a+b, kita belajar bahwa setiap transformasi punya logika dan dampaknya sendiri. Mirip seperti dalam dunia usaha, memahami Perbedaan Mendasar antara Biaya Produksi dan Biaya Operasi adalah kunci analisis yang akurat. Nah, kembali ke soal kita, setelah garis ditransformasi, nilai a+b yang didapat ternyata memberikan jawaban yang elegan dan memuaskan.

Nilai b, ketika persamaan ditulis dalam bentuk standar, terkait dengan titik potong garis. Secara spesifik, garis x – ay = b akan selalu memotong sumbu-X di titik (b, 0), karena saat Y=0, persamaan menjadi X = b. Sementara itu, ia memotong sumbu-Y di titik (0, -b/a), karena saat X=0, persamaan menjadi -aY = b atau Y = -b/a. Dengan demikian, vektor translasi secara efektif mengontrol di mana garis hasil akhir ini memotong sumbu-sumbu koordinat, menentukan posisinya di bidang.

Kombinasi a dan b ini memberikan deskripsi lengkap tentang orientasi dan lokasi garis akhir relatif terhadap sistem koordinat asli, menjadi ringkasan geometris dari seluruh perjalanan transformasi yang kompleks.

Aplikasi Konsep Transformasi Linier dalam Memetakan Persamaan Garis

Operasi rotasi dan translasi yang kita lakukan pada garis merupakan contoh konkret dari transformasi linier affine dalam bidang dua dimensi. Ini adalah bahasa fundamental dalam aljabar linear dan geometri analitik untuk mendeskripsikan pergerakan, rotasi, dan penskalaan objek. Memandang proses ini melalui lensa transformasi linier memberikan kerangka kerja yang kuat dan umum, yang dapat diperluas ke dimensi lebih tinggi dan jenis transformasi lainnya.

Intinya, kita sedang memetakan setiap titik pada garis awal ke titik baru pada garis akhir melalui sebuah fungsi matematika yang terstruktur dengan baik.

Bentuk Umum Persamaan Garis Hasil Transformasi Gabungan

Transformasi komposit rotasi diikuti translasi dapat dinyatakan sebagai fungsi T(v) = Rv + t, dimana v adalah vektor kolom [x; y], R adalah matriks rotasi 2×2, dan t adalah vektor translasi kolom [p; q]. Garis awal dapat dinyatakan dalam bentuk vektor sebagai himpunan semua titik v yang memenuhi n . v = d, dengan n adalah vektor normal garis (misal untuk y=2x+1, bisa ditulis -2x+y=1, sehingga n = [-2; 1] dan d=1).

Tujuan kita adalah menemukan persamaan garis hasil transformasi, yaitu himpunan semua titik w = Rv + t yang memenuhi suatu persamaan baru N . w = D. Dengan manipulasi aljabar linear, dapat ditunjukkan bahwa vektor normal baru N berkaitan dengan normal lama n melalui hubungan N^T = n^T R^(-1). Karena R adalah matriks ortogonal (rotasi), inversnya sama dengan transposnya, R^(-1) = R^T.

Ini adalah hubungan yang sangat elegan.

Penyusunan Persamaan x-ay=b dari Perkalian Matriks

Mari kita demonstrasikan penyusunan langsung. Kita mulai dari persamaan garis dalam bentuk vektor: n^T v = d, dengan n = [-2; 1] dan d=1 untuk y=2x+
1. Transformasinya adalah w = R v + t. Maka, v = R^(-1)(w – t) = R^T (w – t). Substitusi ke persamaan awal: n^T [R^T (w – t)] = d.

Ini dapat ditulis sebagai (n^T R^T)(w – t) = d, atau (R n)^T (w – t) = d. Jadi, vektor normal baru adalah N = R n. Konstanta baru D memenuhi N^T w = D, dan kita tahu N^T t + d = D. Dengan demikian, persamaan garis baru adalah (R n)^T w = (R n)^T t + d. Inilah bentuk umumnya.

Untuk mendapatkan bentuk x – ay = b, kita hitung R n (normal baru), lalu susun persamaannya.

Untuk rotasi 90°: R = [0 -1; 1 0]. Hitung N = R n = [0 -1; 1 0] [-2; 1] = [-1; -2].
Jadi, persamaan garis setelah rotasi: [-1, -2] . [x’; y’] = D_rot. Dari perhitungan sebelumnya, D_rot = 1? Mari kita hitung D_rot = N^T(titik setelah rotasi yang berasal dari titik di garis awal). Lebih mudah, kita gunakan hubungan D = (R n)^T t + d nanti setelah translasi.

Setelah translasi t = [p; q], persamaan akhir: N^T w = N^T t + d. Yaitu, [-1, -2] . [X; Y] = [-1, -2] . [p; q] + 1.
Hasilnya: -X – 2Y = (-p – 2q) + 1 → Kalikan -1: X + 2Y = p + 2q – 1.

Bandingkan dengan X – aY = b. Maka, a = -2 dan b = p + 2q – 1.

Perbandingan Metode Geometris dan Aljabar Linear

Terdapat dua pendekatan utama untuk menghitung a+b: pendekatan geometris murni dan pendekatan aljabar linear. Pendekatan geometris murni, seperti yang diuraikan sebelumnya, berfokus pada manipulasi koordinat titik umum dan substitusi bertahap. Metode ini sangat intuitif karena mengikuti alur transformasi titik demi titik, membuatnya mudah dipahami bagi yang baru belajar. Kelemahannya adalah perhitungan bisa menjadi panjang dan rentan kesalahan, terutama untuk sudut rotasi yang bukan sudut istimewa.

Di sisi lain, pendekatan aljabar linear memanfaatkan representasi matriks dan vektor. Metode ini lebih abstrak tetapi sangat powerful dan sistematis. Dengan mengekspresikan garis dalam bentuk vektor normal dan transformasi sebagai fungsi matriks, kita mendapatkan formula umum yang langsung menghubungkan parameter input (θ, p, q) dengan output (a, b). Pendekatan ini lebih efisien untuk perhitungan berulang atau generalisasi. Kedua metode, bagaimanapun, akan sampai pada hasil numerik yang sama, karena mereka adalah dua bahasa berbeda yang menjelaskan fenomena geometris yang sama.

Pilihan metode seringkali bergantung pada konteks dan kenyamanan pengguna.

Eksplorasi Variasi Parameter Transformasi dan Dampaknya terhadap a+b

Eksplorasi terhadap variasi parameter transformasi membuka pemahaman yang lebih dalam tentang sensitivitas dan pola dalam hasil akhir. Dengan memvariasikan sudut rotasi dari 0 hingga 180 derajat dan memilih beberapa vektor translasi yang tetap, kita dapat mengamati bagaimana nilai a berfluktuasi secara periodik mengikuti fungsi trigonometri, sementara nilai b bervariasi secara linear tergantung pada translasi. Interaksi antara keduanya menghasilkan pola jumlah a+b yang menarik.

Eksplorasi ini bukan hanya latihan akademis, tetapi juga mensimulasikan bagaimana perubahan dalam desain (seperti sudut putar dan pergeseran) mempengaruhi persamaan akhir dalam aplikasi seperti rekayasa grafis atau navigasi.

Pola Nilai a terhadap Variasi Sudut Rotasi

Nilai a secara eksklusif ditentukan oleh sudut rotasi θ (dan gradien awal m=2). Dari hubungan aljabar linear, vektor normal baru adalah N = R n, dengan n = [-2; 1]. Jika N = [N1; N2], maka persamaan akhirnya adalah N1*X + N2*Y = konstanta. Untuk membawanya ke bentuk X – aY = b, kita bagi dengan N1 (asalkan N1 ≠ 0), sehingga a = -N2/N1.

Karena N = R n, maka N1 dan N2 adalah fungsi dari cosθ dan sinθ. Oleh karena itu, nilai a = -N2/N1 akan merupakan fungsi rasional dari sinus dan cosinus, yang perilakunya periodik dengan periode 360°. Untuk sudut-sudut tertentu, misalnya saat N1=0 (garis hasil vertikal), nilai a menjadi tak terdefinisi (atau infinite), yang sesuai dengan bentuk persamaan X = konstanta.

Pengaruh Vektor Translasi terhadap Nilai b, Rotasi dan Translasi Garis y=2x+1 Menjadi x‑ay=b, Hitung a+b

Sementara a ditentukan oleh rotasi, nilai b sangat dipengaruhi oleh vektor translasi t = [p; q]. Dari formula umum, b = (N^T t + d) / N1 (setelah penyesuaian bentuk), dengan d=1. Karena N tergantung pada θ, maka b = (p*N1 + q*N2 + 1) / N1 = p + q*(N2/N1) + 1/N1. Karena a = -N2/N1, maka b = p – q*a + 1/N1.

Terlihat jelas bahwa b memiliki komponen yang bergantung linear pada a (melalui suku -q*a) dan komponen konstan p, plus komponen 1/N1 yang juga bergantung pada θ. Untuk translasi tetap, variasi b terhadap θ akan mengikuti pola yang dipengaruhi oleh variasi a dan 1/N1.

Hubungan Periodik atau Linier antara θ dan a+b

Berdasarkan analisis, nilai a sendiri merupakan fungsi periodik dari θ, dengan periode 180° atau 360° tergantung pada bagaimana ia didefinisikan (karena garis dengan normal yang berlawanan sebenarnya sama). Nilai b, untuk translasi tetap, adalah fungsi dari θ yang melibatkan kombinasi linear dari a (yaitu -q*a) dan fungsi 1/N1 yang juga periodik. Oleh karena itu, jumlah a + b = a + (p – q*a + 1/N1) = p + (1 – q)*a + 1/N1.

Jelas bahwa a+b bukanlah fungsi linier sederhana terhadap θ karena mengandung a dan 1/N1 yang keduanya non-linier (trigonometrik). Ia adalah fungsi periodik dari θ, karena merupakan kombinasi dari fungsi-fungsi periodik (sinθ, cosθ, dan rasio-rasionya). Grafik a+b terhadap θ akan menunjukkan gelombang dengan periode tertentu. Sifat periodik ini mengkonfirmasi bahwa untuk setiap putaran penuh (360°), meskipun orientasi garis kembali sama, posisinya mungkin berbeda karena translasi, sehingga a+b tidak harus kembali ke nilai awal yang sama kecuali translasi bernilai nol atau memiliki sifat khusus.

Eksplorasi ini mengungkap kompleksitas dan keindahan yang tersembunyi di balik operasi transformasi yang tampaknya sederhana.

Ringkasan Akhir

Jadi, apa sebenarnya yang kita dapatkan dari eksplorasi Rotasi dan Translasi Garis y=2x+1 Menjadi x‑ay=b, Hitung a+b ini? Ternyata, nilai a + b bukanlah angka mati yang tunggal, melainkan sebuah entitas yang hidup dan bernapas, sangat bergantung pada parameter rotasi dan translasi yang kita pilih. Setiap sudut putar dan setiap langkah pergeseran menghasilkan cerita dan pasangan (a,b) yang berbeda, mengungkapkan fleksibilitas dan keindahan matematika dalam mengubah bentuk.

Proses ini memperlihatkan kekuatan transformasi linear sebagai bahasa universal untuk mendeskripsikan pergerakan dalam ruang.

Dengan demikian, perjalanan dari y=2x+1 menuju x-ay=b lebih dari sekadar mencari jawaban numerik. Ini adalah latihan memahami bagaimana struktur dasar geometri berinteraksi dengan operasi aljabar. Nilai a+b yang kita cari akhirnya menjadi sebuah capaian, sebuah titik terang yang mengkonfirmasi bahwa setelah melalui putaran dan pergeseran, segala sesuatu pada akhirnya dapat ditemukan kembali dengan logika yang runtut dan metodis.

Pertanyaan Umum yang Sering Muncul: Rotasi Dan Translasi Garis Y=2x+1 Menjadi X‑ay=b, Hitung A+b

Apakah garis hasil rotasi dan translasi selalu memotong sumbu koordinat di tempat yang berbeda?

Ya, hampir selalu. Rotasi mengubah kemiringan, sedangkan translasi menggeser posisi, sehingga titik potongnya dengan sumbu X dan Y akan berubah kecuali dalam kasus transformasi khusus yang kebetulan mengembalikan garis ke posisi semula relatif terhadap sumbu.

Bisakah nilai a atau b menjadi nol?

Sangat mungkin. Nilai a bisa nol jika rotasi menghasilkan garis vertikal (x = suatu konstanta), sehingga bentuk x – 0*y = b. Nilai b bisa nol jika translasi akhirnya menggeser garis sehingga melewati titik asal (0,0).

Metode mana yang lebih mudah, pendekatan geometris atau aljabar linear, untuk menyelesaikan masalah ini?

Untuk transformasi standar seperti rotasi terhadap titik asal, pendekatan aljabar linear menggunakan matriks lebih sistematis dan kurang rawan error. Pendekatan geometris murni membutuhkan pemahaman visual yang kuat dan lebih rumit untuk translasi yang tidak sejajar sumbu.

Apakah urutan melakukan rotasi dulu lalu translasi bisa dibalik?

Tidak bisa. Dalam transformasi komposit, urutan sangat penting. Rotasi lalu translasi akan menghasilkan garis akhir yang berbeda posisi dan orientasinya dibandingkan translasi lalu rotasi. Soal ini secara spesifik mendefinisikan urutan: rotasi dulu, baru kemudian translasi.

Bagaimana jika garis awal bukan y=2x+1, melainkan garis horizontal atau vertikal?

Prinsipnya tetap sama. Rotasi terhadap garis horizontal akan menghasilkan garis miring, dan proses perhitungan a dan b mengikuti alur yang serupa. Perbedaannya terletak pada matriks rotasi yang diaplikasikan pada himpunan titik yang berbeda.