Rumus Suku ke‑n pada Barisan Geometri 2,4,8,16 seringkali jadi gerbang awal memahami pola pertumbuhan yang meledak-ledak. Bayangkan sebuah pola angka yang berlipat ganda, seperti sel yang membelah atau minat berbunga majemuk di bank; di situlah keindahan matematika yang satu ini bersembunyi. Konsepnya terlihat sederhana, namun daya aplikasinya dalam memecahkan masalah justru sangat luas dan powerful.
Barisan 2, 4, 8, 16, … adalah contoh klasik yang sempurna untuk membedah konsep ini. Dengan mengidentifikasi rasio dan suku pertama, kita bisa menelusuri logika di balik rumus umum Un = a
– r^(n-1). Penurunan rumus ini bukan sekadar hafalan, melainkan sebuah penjelajahan pola yang akan memberikan kita kunci untuk memprediksi suku ke-10, ke-100, atau bahkan ke-n yang jauh di depan hanya dengan beberapa langkah kalkulasi saja.
Konsep Dasar Barisan Geometri
Sebelum kita menyelami rumus, mari pahami dulu apa itu barisan geometri. Bayangkan sebuah pola bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang tidak nol. Itulah inti dari barisan geometri. Bilangan tetap itu disebut rasio, biasa dilambangkan dengan huruf ‘r’. Ciri utamanya adalah pertumbuhan atau penyusutannya bersifat eksponensial, bukan linier seperti pada barisan aritmatika.
Rumus suku ke-n pada barisan geometri 2,4,8,16, yaitu U n = 2 × 2 n-1, menunjukkan pola pertumbuhan yang eksponensial. Pola pertumbuhan yang terstruktur ini mengingatkan kita pada pendekatan terencana dalam Negara yang Menganut Sistem Ekonomi Sosialis , di mana negara mengatur aspek ekonomi secara menyeluruh. Kembali ke matematika, memahami pola ini, layaknya memahami suatu sistem, membutuhkan penerapan rumus yang tepat untuk memprediksi nilai suku-suku selanjutnya dengan akurat.
Mari kita ambil contoh barisan yang diberikan: 2, 4, 8, 16. Untuk menemukan rasionya, kita cukup membagi suatu suku dengan suku sebelumnya. Misalnya, 4 dibagi 2 hasilnya 2, 8 dibagi 4 hasilnya 2, dan seterusnya. Jadi, rasio (r) dari barisan ini adalah 2. Artinya, setiap langkah ke kanan dalam barisan, nilainya dikalikan dua.
Perbandingan Barisan Geometri dengan Barisan Lain, Rumus Suku ke‑n pada Barisan Geometri 2,4,8,16
Memahami perbedaan mendasar antara jenis-jenis barisan membantu dalam identifikasi dan penyelesaian masalah. Berikut adalah tabel perbandingan singkat antara barisan geometri dan beberapa jenis barisan bilangan lainnya.
| Jenis Barisan | Definisi | Pola Perubahan | Contoh Sederhana |
|---|---|---|---|
| Barisan Geometri | Suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap (rasio). | Eksponensial (perkalian/ pembagian berulang). | 2, 4, 8, 16, 32, … (r=2) |
| Barisan Aritmatika | Suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap (beda). | Linier (penjumlahan/ pengurangan berulang). | 2, 5, 8, 11, 14, … (beda=3) |
| Barisan Fibonacci | Suku berikutnya adalah jumlah dari dua suku sebelumnya. | Non-linier, mengikuti pola penjumlahan rekursif. | 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … |
| Barisan Konstan | Semua sukunya memiliki nilai yang sama. | Tidak ada perubahan (rasio=1, beda=0). | 7, 7, 7, 7, 7, … |
Penurunan Rumus Suku ke-n (Un)
Setelah mengenal konsep dasarnya, kita akan membangun rumus umum untuk mencari suku ke-n. Kekuatan rumus ini terletak pada kemampuannya untuk melompati banyak suku tanpa harus menghitung satu per satu. Proses penurunannya sebenarnya sangat logis dan mengikuti pola yang jelas.
Mari kita telusuri pola dari barisan contoh kita, 2, 4, 8, 16. Suku pertama (a) = 2, dan rasio (r) = 2.
- Suku ke-1 (U1): 2 = a
- Suku ke-2 (U2): 4 = a × r = 2 × 2
- Suku ke-3 (U3): 8 = a × r × r = a × r² = 2 × 4
- Suku ke-4 (U4): 16 = a × r × r × r = a × r³ = 2 × 8
Perhatikan pola pangkat pada rasio (r). Pangkatnya selalu satu kurang dari nomor suku. Untuk suku ke-3, pangkat r adalah 2. Untuk suku ke-4, pangkat r adalah 3. Maka, secara umum, untuk suku ke-n, pangkat r adalah (n-1).
Dari pola ini, kita dapat merumuskannya.
Rumus Suku ke-n Barisan Geometri: Un = a × r (n-1)
Ilustrasi visual dari pola ini dapat digambarkan sebagai sebuah tangga perkalian. Dari suku pertama (a), kita melangkah ke suku berikutnya dengan mengalikan r. Setiap langkah adalah satu kali perkalian dengan r. Untuk mencapai suku ke-n dari suku pertama, kita perlu melakukan (n-1) langkah perkalian. Itulah esensi dari r (n-1) dalam rumus tersebut.
Penerapan Rumus pada Berbagai Contoh
Source: kompas.com
Rumus U n = a × r (n-1) baru akan terasa manfaatnya ketika kita aplikasikan ke dalam soal. Mari kita mulai dengan menghitung suku ke-10 dari barisan awal kita. Dengan a=2 dan r=2, perhitungannya menjadi sangat langsung.
Berikut adalah langkah-langkah perhitungan untuk mencari U 10:
Diketahui: a = 2, r = 2, n = 10
U n = a × r (n-1)
U 10 = 2 × 2 (10-1)
U 10 = 2 × 2 9
U 10 = 2 × 512
U 10 = 1024
Jadi, suku ke-10 dari barisan 2, 4, 8, 16 adalah 1024.
Untuk mengasah pemahaman, mari kita coba tiga soal latihan dengan variasi yang berbeda. Penyelesaiannya akan ditampilkan dalam format yang menekankan langkah kunci.
Soal 1: Diketahui barisan geometri 3, 6, 12, … Tentukan suku ke-8 (U 8).
Penyelesaian: a = 3, r = 6/3 = 2. Maka, U 8 = 3 × 2 7 = 3 × 128 = 384.
Soal 2: Suku pertama suatu barisan geometri adalah 5 dan rasionya 3. Tentukan suku ke-6 (U 6).
Penyelesaian: a = 5, r = 3. Maka, U 6 = 5 × 3 5 = 5 × 243 = 1215.
Soal 3: Diketahui suku ke-2 suatu barisan geometri adalah 12 dan suku ke-5 adalah 96. Tentukan rasio (r) dan suku pertama (a).
Penyelesaian: U 2 = a × r = U 5 = a × r 4 =96. Bagi U5 dengan U 2
(a × r 4)/(a × r) = r 3 = 96/12 = 8. Jadi, r = ∛8 = 2. Substitusi ke a × r = 12, maka a × 2 = 12, sehingga a = 6.
Variasi Soal dan Penyelesaiannya
Soal tentang barisan geometri tidak melulu menanyakan suku ke-n. Seringkali, informasi yang diberikan bervariasi dan menuntut kita untuk memanipulasi rumus dengan cermat. Tabel berikut merangkum beberapa variasi soal umum beserta pendekatan penyelesaiannya.
| Variasi Soal | Informasi Diketahui | Strategi Penyelesaian | Contoh Singkat |
|---|---|---|---|
| Mencari Suku ke-n | a, r, n | Gunakan rumus langsung Un = a × r(n-1). | a=3, r=2, n=5 → U5=48. |
| Mencari Rasio (r) | Dua suku berurutan (e.g., U3 dan U4) | Bagi suku yang lebih besar dengan suku sebelumnya: r = Un / Un-1. | U3=18, U4=54 → r = 54/18 = 3. |
| Mencari Suku Pertama (a) | r, dan satu suku ke-k (Uk) | Substitusi ke rumus: a = Uk / r(k-1). | r=4, U3=64 → a = 64 / 42 = 4. |
| Mencari Posisi Suku (n) | a, r, dan nilai suku ke-n (Un) | Gunakan logaritma: Un/a = r(n-1), lalu selesaikan untuk n. | a=2, r=3, Un=162 → n = (log(81)/log(3)) + 1 = 5. |
Strategi khusus diperlukan ketika informasi yang diberikan tidak lengkap, misalnya hanya diketahui dua suku yang tidak berurutan, seperti U 2 dan U 5. Kuncinya adalah mengekspresikan kedua suku tersebut dalam bentuk a dan r, lalu membaginya untuk mengeliminasi a. Seperti pada Soal 3 di bagian sebelumnya, dari U 2 = a × r dan U 5 = a × r 4, pembagian menghasilkan r 3.
Nah, kalau kita lihat barisan geometri 2, 4, 8, 16, rumus suku ke-n-nya adalah Un = 2 × 2^(n-1). Pola pertumbuhan eksponensial ini mirip dengan cara suatu reaksi kimia berkembang, misalnya seperti yang terjadi pada Reaksi antara etena dengan asam fluorida termasuk reaksi adisi elektrofilik. Kembali ke matematika, memahami pola dasar seperti rasio 2 inilah kunci untuk menguasai rumus deret geometri secara otoritatif.
Kesalahan umum yang sering terjadi adalah salah dalam menentukan nilai n atau pangkat pada r. Misal, untuk mencari suku ke-5, banyak yang menulis r 5 padahal seharusnya r 4. Selalu ingat bahwa pangkatnya adalah (n-1). Kesalahan lain adalah langsung membagi dua suku yang tidak berurutan tanpa memperhatikan selisih indeksnya untuk menemukan pangkat r.
Aplikasi dalam Konteks Nyata
Konsep barisan geometri bukan sekadar abstraksi matematika. Pola pertumbuhan eksponensial ini banyak dijumpai dalam kehidupan. Memahaminya membantu kita membuat prediksi dan keputusan yang lebih baik, misalnya dalam menghitung investasi atau memproyeksikan penyebaran informasi.
Contoh pertama adalah dalam bidang keuangan: bunga majemuk. Jika Anda menginvestasikan uang dengan bunga majemuk, saldo Anda tumbuh secara geometris. Misal, modal awal (a) Rp 1.000.000 dengan bunga 10% per tahun (r = 1 + 0.1 = 1.1). Prediksi saldo pada tahun ke-n dapat dihitung dengan rumus yang persis sama: U n = 1.000.000 × (1.1) (n-1). Saldo di tahun ke-5 akan menjadi U 5 = 1.000.000 × (1.1) 4 ≈ Rp 1.464.100.
Contoh kedua adalah penyebaran berita atau virus (dalam model yang sangat sederhana). Bayangkan satu orang membagikan informasi hoaks ke 3 orang baru setiap jam (r=3). Jika dimulai dari 1 orang (a=1), jumlah orang yang mengetahui hoaks tersebut setelah 5 jam (U 6, karena jam ke-0 adalah suku pertama) adalah U 6 = 1 × 3 5 = 243 orang. Ini menunjukkan bagaimana sesuatu dapat menyebar dengan sangat cepat.
Pemahaman tentang barisan geometri menjadi fondasi penting dalam berbagai disiplin ilmu. Berikut beberapa poin aplikasinya:
- Ekonomi & Keuangan: Untuk menghitung pertumbuhan investasi, inflasi, dan analisis pertumbuhan ekonomi makro.
- Biologi: Memodelkan pertumbuhan populasi bakteri dalam lingkungan ideal (pembelahan biner) dan penyebaran penyakit.
- Ilmu Komputer: Menganalisis kompleksitas algoritma tertentu (seperti divide and conquer) dan pertumbuhan data dalam struktur pohon.
- Fisika: Menghitung peluruhan radioaktif atau intensitas cahaya yang melemah melalui medium penyerap.
Penutup: Rumus Suku Ke‑n Pada Barisan Geometri 2,4,8,16
Jadi, menguasai Rumus Suku ke‑n pada Barisan Geometri 2,4,8,16 itu ibarat punya kunci master untuk membuka berbagai pola pertumbuhan eksponensial di sekitar kita. Dari menghitung penyebaran virus dalam model sederhana hingga memproyeksikan investasi, rumus ini adalah alat yang elegan. Intinya, setelah memahami dasar dan variasinya, yang tersisa hanyalah latihan untuk mengasah intuisi sehingga soal-soal yang tampak rumit bisa diurai dengan percaya diri dan presisi.
Kumpulan Pertanyaan Umum
Apakah barisan 2, 4, 8, 16 bisa disebut barisan aritmatika?
Tidak. Barisan aritmatika memiliki selisih (beda) yang tetap antar sukunya. Pada barisan ini, selisihnya berubah (2, 4, 6, …), sedangkan yang tetap adalah rasio atau hasil baginya, yaitu 2. Jadi, ini adalah barisan geometri.
Bagaimana jika soalnya hanya diketahui suku ke-2 adalah 4 dan suku ke-5 adalah 32, apakah masih bisa dicari rumus Un-nya?
Bisa! Dengan informasi dua suku, kita bisa membentuk sistem persamaan. Misal U2 = a*r = 4 dan U5 = a*r^4 = 32. Bagi U5 dengan U2, diperoleh r^3 = 8, sehingga r = 2. Setelah itu, nilai a (suku pertama) bisa ditemukan.
Apa beda pangkat (n-1) dan pangkat n dalam rumus Un?
Pangkat (n-1) muncul karena suku pertama (U1) tidak dikalikan rasio. U1 = a
– r^0 = a. Jadi, untuk mencapai suku ke-n, kita hanya perlu mengalikan suku pertama dengan rasio sebanyak (n-1) kali. Ini adalah konvensi standar yang konsisten.
Apakah rasio dalam barisan geometri selalu bilangan bulat positif?
Tidak sama sekali. Rasio bisa pecahan (seperti 1/2), negatif (seperti -3), atau bahkan bilangan desimal. Barisan 16, 8, 4, 2 memiliki rasio 1/2, sementara barisan 2, -6, 18, -54 memiliki rasio -3.
