Rumus Un=2n²‑3n dan Selisih Suku ke‑3 ke‑5 Analisis Pola

Rumus Un=2n²‑3n dan selisih suku ke‑3 ke‑5 itu ibarat membuka peti harta karun dari sebuah barisan bilangan. Di balik tampilan aljabarnya yang sederhana, tersembunyi cerita tentang transformasi, percepatan, dan pola numerik yang elegan. Bayangkan ini sebagai lensa untuk mengamati bagaimana angka-angka berkembang, bukan secara acak, tetapi mengikuti aturan kuadrat yang dimodifikasi oleh sentuhan linear. Mari kita selami bersama bagaimana rumus ini bekerja dan apa makna di balik selisih dua sukunya.

Secara mendasar, Un=2n²‑3n merupakan turunan dari deret kuadrat murni. Komponen 2n² memberikan karakteristik pertumbuhan yang cepat, sementara -3n bertindak seperti penyeimbang yang mengoreksi nilainya, terutama pada suku-suku awal. Untuk memahami dinamikanya, kita akan menelusuri nilai suku per suku, menganalisis kontribusi masing-masing komponen, dan akhirnya mengungkap mengapa selisih antara suku ke-5 dan suku ke-3 menjadi indikator yang menarik untuk mengukur “kecepatan” pertumbuhan barisan ini.

Mengungkap Pola Tersembunyi dalam Deret Kuadrat yang Dimodifikasi

Barisan dengan rumus Un = 2n²
-3n adalah contoh menarik dari sebuah pola kuadrat yang telah dimodifikasi. Pada intinya, rumus ini merupakan transformasi dari deret kuadrat murni, yaitu 2n², yang kemudian dikurangi oleh komponen linear 3n. Transformasi ini menggeser seluruh lanskap nilai barisan, menciptakan pola pertumbuhan yang tetap cepat namun dengan titik awal dan perilaku awal yang berbeda.

Komponen 2n² mendikte akselerasi atau pertumbuhan yang semakin cepat seiring n membesar, membentuk parabola jika kita gambarkan titik (n, Un). Sementara itu, pengurangan oleh 3n bertindak seperti gaya penahan yang mengurangi nilai setiap sukunya. Dampaknya terlihat jelas pada suku-suku awal: nilai bisa menjadi negatif atau lebih kecil daripada yang dihasilkan oleh rumus kuadrat murni. Visualisasinya, grafik dari titik-titik barisan ini tetap berbentuk parabola, namun parabola tersebut bergeser ke bawah dan sedikit berubah orientasinya dibandingkan parabola murni 2n², sehingga memotong sumbu-n di titik yang berbeda.

Perbandingan Nilai Suku Antara Komponen dan Hasil Akhir

Untuk melihat dampak modifikasi ini secara numerik, mari kita bandingkan nilai dari komponen pembentuknya untuk enam suku pertama. Tabel berikut menyajikan perbandingan tersebut.

Analisis tabel menunjukkan pergeseran nilai yang signifikan. Untuk n=1, komponen linear (3) justru lebih besar dari komponen kuadrat (2), menghasilkan suku pertama yang negatif (-1).

Pada n=2, pengaruh kuadrat mulai mengejar. Barulah mulai n=3 ke atas, komponen kuadrat mendominasi secara mutlak, dan selisih antara kolom 2n² dan Un menjadi konstan sebesar nilai 3n. Pola ini mengindikasikan bahwa meski komponen linear cukup kuat mempengaruhi suku-suku awal, pengaruhnya akan kalah telak oleh ledakan pertumbuhan kuadrat pada suku-suku berikutnya.

Prosedur Menghitung Suku ke-3 dan Suku ke-5

Menghitung selisih U5 dan U3 memerlukan langkah sistematis dalam menentukan nilai masing-masing suku terlebih dahulu. Prosedurnya dimulai dengan substitusi nilai n ke dalam rumus umum Un = 2n²
-3n. Untuk suku ke-3 (U3), kita ganti setiap variabel n dengan angka 3. Perhitungannya adalah 2 dikali (3)² dikurangi 3 dikali 3. Kuadrat dari 3 adalah 9, sehingga 2 x 9 = 18.

Kemudian, 3 x 3 = 9. Hasil akhir U3 adalah 18 – 9 = 9.

Proses serupa dilakukan untuk suku ke-5 (U5). Substitusi n dengan 5 menghasilkan perhitungan 2 x (5)²
-3 x
5. Nilai 5 dikuadratkan adalah 25, lalu 2 x 25 =
50. Komponen linearnya adalah 3 x 5 =
15. Dengan demikian, U5 = 50 – 15 =
35.

Setelah kedua nilai suku diperoleh, selisihnya dapat dihitung dengan pengurangan sederhana: U5 – U3 = 35 – 9. Urutan operasi ini krusial untuk mendapatkan hasil yang akurat.

Penting untuk selalu menghitung nilai kuadrat terlebih dahulu, kemudian kalikan dengan koefisiennya, sebelum melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan dengan komponen linear. Mengabaikan urutan operasi dapat menyebabkan hasil yang keliru.

Menelusuri Jejak Aritmatika pada Lanskap Numerik Barisan

Selisih antara suku ke-5 dan suku ke-3 dalam barisan ini, yang secara numerik adalah 26, bukan sekadar angka biasa. Nilai ini merupakan sebuah jendela yang memungkinkan kita mengamati langsung laju pertumbuhan dan percepatan barisan dalam interval tertentu. Dalam barisan linear, selisih antar suku berurutan selalu konstan, namun dalam barisan kuadrat seperti ini, selisih antar suku yang tidak berurutan justru mengungkap karakteristik akselerasinya.

Pertumbuhan dari U3 (9) ke U5 (35) mencerminkan bagaimana pengaruh komponen kuadrat (2n²) mulai mendominasi secara signifikan dibanding komponen linear (-3n). Selisih sebesar 26 untuk loncatan dua suku (dari n=3 ke n=5) jauh lebih besar daripada selisih untuk loncatan dua suku pertama (dari n=1 ke n=3, yaitu 9 – (-1) = 10). Ini adalah bukti numerik dari percepatan pertumbuhan. Selisih ini memberitahu kita bahwa barisan tidak hanya bertambah, tetapi laju penambahannya sendiri juga semakin cepat seiring waktu.

Pemetaan Jarak Vertikal pada Bidang Kartesius

Jika kita memetakan barisan ini sebagai titik-titik diskrit pada bidang kartesius dengan koordinat (n, Un), kita akan mendapatkan titik (3, 9) dan titik (5, 35). Jarak vertikal antara kedua titik ini tepat sebesar 26 unit, yang merupakan nilai selisih U5 – U3. Jarak horizontalnya adalah 2 unit (dari 3 ke 5). Konsep kemiringan rata-rata (average rate of change) antara dua titik ini secara langsung dihitung dengan membagi perubahan vertikal dengan perubahan horizontal, yaitu 26 / 2 = 13.

Nilai kemiringan rata-rata 13 ini dapat diartikan sebagai rata-rata pertambahan nilai suku per unit kenaikan n dalam interval n=3 hingga n=5. Ini berarti, secara rata-rata, setiap kali n bertambah 1 dari posisi 3 menuju 5, nilai Un bertambah sekitar 13. Interpretasi geometris ini menghubungkan operasi aljabar pengurangan dengan konsep visual gradien, memberikan pemahaman yang lebih kaya tentang bagaimana barisan ini berperilaku di antara dua suku tersebut.

Dua Metode Perhitungan Selisih

Selisih U5 – U3 dapat dihitung melalui dua metode yang valid, yaitu substitusi langsung dan pemfaktoran aljabar. Metode substitusi langsung telah dijabarkan sebelumnya: hitung U5=35 dan U3=9, lalu kurangkan (35-9=26). Metode kedua, pemfaktoran aljabar, memanfaatkan bentuk umum rumus. Kita tuliskan: U5 – U3 = (2*(5)²
-3*5)
-(2*(3)²
-3*3). Dengan mengelompokkan suku-suku sejenis, ini dapat disederhanakan menjadi 2*(25 – 9)
-3*(5 – 3) = 2*(16)
-3*(2) = 32 – 6 = 26.

Metode aljabar ini menarik karena memisahkan kontribusi komponen kuadrat dan linear terhadap selisih. Terlihat bahwa komponen kuadrat menyumbang 32 satuan (2*(25-9)), sementara komponen linear mengurangi sumbangan tersebut sebesar 6 satuan (3*(5-3)). Hasil akhir dari kedua metode ini konsisten, mengonfirmasi keakuratan perhitungan.

Baik melalui substitusi bertahap maupun manipulasi aljabar, hasil selisih antara suku ke-5 dan suku ke-3 adalah konsisten, yaitu dua puluh enam (26).

Interpolasi dan Ekstrapolasi Nilai di Luar Suku yang Diketahui

Source: kompas.com

Kekuatan utama dari sebuah rumus eksplisit seperti Un = 2n²
-3n terletak pada kemampuannya untuk melakukan prediksi jauh ke depan tanpa harus menghitung semua suku sebelumnya. Potensi aplikasinya signifikan, misalnya untuk memprediksi biaya, kebutuhan material, atau estimasi pertumbuhan pada tahap yang sangat lanjut. Sebagai contoh, menghitung suku ke-100 (U100) menjadi hal yang sepele: cukup substitusi n=100 ke dalam rumus. Perhitungannya adalah 2*(10000)
-3*(100) = 20000 – 300 = 19700.

Besarnya selisih antar suku pada wilayah sejauh ini menjadi sangat lebar. Misalnya, selisih antara U101 dan U100 dapat dihitung cepat dengan rumus selisih yang akan dibahas kemudian, dan nilainya akan sangat besar, mencerminkan akselerasi yang telah sedemikian tinggi. Kemampuan prediksi ini menjadikan rumus tersebut alat yang powerful dalam pemodelan fenomena diskrit yang mengikuti pola kuadrat, seperti penyusutan nilai yang dipercepat atau pertumbuhan yang meledak pada fase tertentu.

Karakteristik melalui Selisih Tingkat Kedua

Sebuah karakteristik mendalam dari barisan polinomial tingkat dua dapat diidentifikasi melalui selisih tingkat kedua, yaitu selisih dari selisih antar suku berurutan. Jika selisih pertama (Δ1 = U(n+1)
-Un) belum konstan, maka selisih dari selisih pertama (Δ2 = Δ1(n+1)
-Δ1(n)) akan konstan. Mari kita lihat pola ini pada barisan kita.

Tabel dengan jelas menunjukkan bahwa selisih tingkat kedua bernilai konstan, yaitu 4. Nilai konstanta ini memiliki hubungan langsung dengan koefisien kuadrat dalam rumus. Secara umum, untuk rumus Un = an² + bn + c, selisih tingkat kedua selalu konstan sebesar 2a. Dalam kasus ini, 2a = 2*2 = 4, yang sesuai dengan hasil perhitungan tabel. Pola ini adalah “sidik jari” yang memastikan barisan kita memang bersifat kuadratik.

Verifikasi dengan Sifat Simetri Polinomial

Kebenaran perhitungan selisih U5 – U3 dapat diverifikasi menggunakan sifat simetri polinomial kuadrat. Sebuah pendekatan yang elegan adalah dengan memanfaatkan rumus selisih yang berasal dari pemfaktoran: a(n²
-m²) + b(n – m). Untuk n=5 dan m=3, kita masukkan a=2 dan b=-
3. Langkah pertama adalah menghitung selisih kuadrat: 5²
-3² = 25 – 9 =
16. Kalikan dengan a: 2
– 16 =
32.

Langkah kedua, hitung selisih linear: 5 – 3 =
2. Kalikan dengan b: (-3)
– 2 = –
6. Langkah terakhir, jumlahkan kedua hasil tersebut: 32 + (-6) = 26.

Prosedur ini tidak hanya verifikasi, tetapi juga memberikan insight bahwa selisih antara dua suku dalam barisan kuadrat selalu dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari selisih posisi mereka. Teknik ini lebih efisien jika kita hanya membutuhkan selisihnya tanpa perlu tahu nilai individual U5 dan U3 secara penuh, terutama untuk nilai n yang sangat besar.

Transformasi Geometri dari Rumus Aljabar ke Bentuk Visual

Setiap rumus barisan kuadrat seperti Un = 2n²
-3n memiliki padanan visual yang elegan: sebuah parabola. Jika kita menganggap n sebagai variabel kontinu x, maka fungsi f(x) = 2x²
-3x menggambarkan sebuah parabola yang terbuka ke atas. Koefisien 2 pada x² menentukan “kecepatan pembukaan” atau kelengkungan parabola. Semakin besar koefisien positif ini, parabola akan semakin sempit dan curam. Koefisien -3 pada x mempengaruhi posisi parabola, menggeser sumbu simetrinya dan titik potongnya dengan sumbu-y.

Dalam konteks barisan diskrit, kita hanya mengambil titik-titik dengan koordinat bilangan bulat (1, U1), (2, U2), dan seterusnya, yang semuanya terletak tepat pada kurva parabola tersebut. Parabola untuk rumus ini memotong sumbu-x di dua titik, salah satunya antara n=0 dan n=1, yang menjelaskan mengapa suku pertama bisa negatif. Transformasi dari bentuk dasar 2x² menjadi 2x²
-3x menyebabkan parabola turun dan bergeser, mengubah lokasi titik-titik diskrit yang kita amati.

Posisi Suku ke-3 dan ke-5 pada Kurva Parabola, Rumus Un=2n²‑3n dan selisih suku ke‑3 ke‑5

Bayangkan sebuah parabola halus yang terbuka ke atas. Pada sumbu horizontal n (atau x), titik n=3 dan n=5 ditandai. Dari titik-titik ini, ditarik garis vertikal ke atas hingga menyentuh kurva parabola. Ketinggian titik persinggungan tersebut adalah U3=9 dan U5=35. Jarak vertikal antara kedua titik persinggungan ini adalah tepat selisih yang kita hitung, 26 satuan.

Interpretasi geometris ini memperjelas bahwa selisih U5-U3 bukanlah jarak sepanjang kurva, melainkan jarak tegak lurus (vertikal) antara dua tingkat ketinggian yang berbeda pada kurva yang sama.

Pemandangan ini juga membantu memahami konsep pertumbuhan yang dipercepat. Jarak vertikal antara titik di n=4 dan n=5 akan lebih besar daripada jarak antara titik di n=3 dan n=4, karena kurvanya semakin curam ke arah kanan. Ini adalah visualisasi dari selisih tingkat pertama yang semakin besar, seperti yang terlihat pada tabel sebelumnya.

Contoh Penerapan dalam Pemodelan Fenomena Diskrit

Konsep barisan kuadrat seperti ini memiliki aplikasi praktis dalam pemodelan fenomena dunia nyata yang bersifat diskrit. Misalnya, dalam analisis biaya produksi per batch. Anggap biaya total untuk memproduksi n batch suatu barang mengikuti pola Un = 2n²
-3n (dalam ratusan ribu rupiah). Komponen 2n² mungkin merepresentasikan biaya yang meningkat secara kuadratik karena inefisiensi logistik atau kebutuhan overtime, sedangkan komponen -3n bisa merepresentasikan diskon atau efisiensi belajar (learning curve) yang konstan per batch.

Dengan model ini, kita dapat menghitung bahwa biaya untuk 3 batch adalah Rp 900.000 dan untuk 5 batch adalah Rp 3.500.000. Selisihnya, Rp 2.600.000, adalah tambahan biaya untuk memproduksi batch ke-4 dan ke-5. Analisis ini menunjukkan bahwa biaya marjinal (tambahan biaya per tambahan batch) semakin besar, yang bisa menjadi sinyal untuk mengevaluasi proses produksi. Contoh lain adalah memodelkan jarak tempuh sebuah objek yang mengalami percepatan dalam selang waktu diskrit, di mana n mewakili interval waktu.

Dekonstruksi Rumus untuk Membongkar Peran Setiap Komponen: Rumus Un=2n²‑3n Dan Selisih Suku Ke‑3 Ke‑5

Memisahkan kontribusi komponen kuadrat dan linear dalam rumus Un = 2n²
-3n memungkinkan kita memahami secara persis bagaimana setiap bagian membentuk nilai akhir suatu suku. Komponen kuadrat, 2n², adalah mesin pertumbuhan yang memberikan kontribusi positif dan meningkat sangat cepat. Komponen linear, -3n, bertindak sebagai pengurang yang pengaruhnya juga meningkat secara linear, tetapi tidak secepat komponen kuadrat. Interaksi tarik-menarik antara kedua gaya inilah yang menghasilkan pola barisan yang unik.

Pada suku ke-3, komponen kuadrat menyumbang 18 satuan, sementara komponen linear mengurangi 9 satuan, menghasilkan net 9. Pada suku ke-5, kontribusi kuadrat melonjak menjadi 50, dan pengurangan linear menjadi 15, menghasilkan net 35. Untuk selisih U5-U3, kontribusi bersih komponen kuadrat terhadap selisih adalah (50-18)=32, dan kontribusi bersih komponen linear adalah (-15 – (-9)) = -6. Jadi, selisih akhir 26 adalah hasil dari kuadrat yang mendorong pertumbuhan sebesar 32 dikurangi oleh pengaruh linear sebesar 6.

Nah, kalau kita punya rumus barisan Un = 2n² – 3n, mencari suku ke-3 dan ke-5 itu gampang. Tinggal substitusi nilai n, deh. Setelah ketemu U₃ dan U₅, selisihnya bisa langsung dihitung. Tapi, kalau masih bingung, cara asyiknya adalah dengan Minta Jawaban dari Kakak yang biasanya dikemas dengan penjelasan santai. Jadi, setelah dapat insight, kamu bisa kembali fokus ngerjain soal selisih suku tadi dengan pemahaman yang lebih mantap.

Momen Dominasi Komponen Kuadrat

Tabel berikut mengurai nilai setiap komponen dari n=1 hingga 6, memberikan gambaran jelas tentang peralihan dominasi.

Analisis tabel menunjukkan momen kritis terjadi di antara n=1 dan n=2. Pada n=1, nilai absolut komponen linear (3) lebih besar dari komponen kuadrat (2), sehingga hasil akhir negatif. Pada n=2, komponen kuadrat (8) sudah melampaui nilai absolut komponen linear (6), meski selisihnya tipis. Setelah n=2, dominasi komponen kuadrat semakin tak terbantahkan. Jarak mutlak antara kolom A dan Un semakin lebar, yang secara visual berarti parabola semakin menjauh dari garis lurus yang merepresentasikan pengaruh -3n.

Menghitung Selisih dengan Memanipulasi Perubahan n

Ada cara yang lebih cerdas untuk menghitung selisih seperti U5 – U3 tanpa harus mengetahui nilai individual U5 dan U3 secara lengkap. Caranya adalah dengan hanya berfokus pada perubahan yang terjadi pada komponen ketika n berubah dari 3 ke 5. Perubahan pada komponen kuadrat adalah 2*(5²
-3²) = 2*(25-9)=32. Perubahan pada komponen linear adalah (-3*5)
-(-3*3) = -15 + 9 = –
6.

Selisih akhir adalah jumlah dari kedua perubahan ini: 32 + (-6) = 26. Metode ini efisien karena langsung bekerja pada selisih, menghemat langkah perhitungan.

Untuk menghitung selisih U(n)

U(m) pada barisan Un = an² + bn + c, gunakan rumus

Selisih = a*(n²m²) + b*(n – m). Ini memungkinkan perhitungan langsung tanpa perlu mengetahui nilai suku-suku individual terlebih dahulu.

Penutupan

Jadi, setelah menjelajahi detail-detail numerik dan aljabar, kita sampai pada kesimpulan yang memikat. Analisis terhadap Rumus Un=2n²‑3n dan selisih suku ke‑3 ke‑5 lebih dari sekadar latihan hitung-menghitung; ini adalah eksplorasi tentang pola dan struktur. Selisih U5 – U3 = 28 yang kita dapatkan bukanlah angka biasa. Ia adalah bukti nyata dari akselerasi barisan kuadrat, sebuah jendela yang menunjukkan betapa cepat kurva parabola ini melesat naik.

Pola ini konsisten dan dapat diprediksi, membuka potensi aplikasinya untuk memodelkan berbagai fenomena diskrit di dunia nyata.

Pada akhirnya, memecah kode barisan seperti ini mengajarkan kita untuk melihat keindahan matematika dalam kerapian polanya. Setiap koefisien dan operasi memiliki peran ceritanya sendiri. Dengan memahami cerita untuk suku ke-3 dan ke-5, kita sebenarnya telah membekali diri dengan kerangka untuk memahami suku ke-100, ke-1000, atau seterusnya. Inilah kekuatan sebuah rumus: ia adalah kunci untuk membuka tak terhingga kemungkinan.

Panduan Pertanyaan dan Jawaban

Apakah barisan Un=2n²‑3n termasuk barisan aritmatika atau geometri?

Bukan keduanya. Barisan ini adalah barisan kuadrat (polinomial berderajat dua). Ciri khasnya, selisih antar suku yang berurutan (beda pertama) tidak konstan, tetapi selisih dari selisihnya (beda kedua) adalah konstan. Untuk rumus ini, beda keduanya selalu 4.

Bagaimana cara cepat menghitung selisih U5 – U3 tanpa menghitung U5 dan U3 secara terpisah?

Kita bisa memanfaatkan sifat polinomial. Selisih U5 – U3 dapat difaktorkan menjadi (5-3)
– [2*(5+3)
-3] = 2
– [2*8 – 3] = 2
– 13 = 28. Metode ini menghemat waktu karena langsung bekerja pada selisih ‘n’.

Mengapa suku pertama (U1) dari rumus ini bernilai -1, padahal biasanya suku pertama positif?

Nilai negatif pada U1 = -1 muncul karena pengaruh komponen linear (-3n) yang terlalu dominan pada nilai ‘n’ kecil. Komponen -3n memberikan pengurangan besar, sehingga mengalahkan komponen kuadrat 2n². Pada suku-suku berikutnya, komponen kuadrat yang tumbuh lebih cepat akhirnya mengambil alih dan membuat nilai suku menjadi positif.

Apakah rumus ini bisa digunakan untuk mencari suku ke-n jika diketahui jumlah beberapa suku pertamanya?

Ya, secara teori bisa. Namun, karena ini adalah barisan polinomial derajat dua, kita memerlukan minimal tiga informasi (misalnya nilai tiga suku berurutan) untuk membentuk sistem persamaan dan menemukan kembali koefisien 2, -3, dan konstanta (yang dalam rumus ini 0). Prosesnya melibatkan penyelesaian sistem persamaan linear.

Bagaimana visualisasi grafik dari titik-titik (n, Un) barisan ini?

Titik-titik (n, Un) akan terletak pada sebuah parabola yang terbuka ke atas (karena koefisien n² positif). Parabola ini memotong sumbu-y di titik (0,0) dan memiliki titik puncak di suatu nilai ‘n’ positif. Suku ke-3 dan ke-5 direpresentasikan sebagai dua titik pada kurva ini, dan selisihnya adalah jarak vertikal antara kedua titik tersebut.