Salah Satu Akar x²-(p+1)x-6=0 Adalah 2 Cari Nilai p dan Akar Lainnya

Salah satu akar persamaan kuadrat x²‑(p+1)x‑6=0 adalah 2. Fakta sederhana ini ibarat kunci yang membuka seluruh misteri dalam persamaan tersebut, memungkinkan kita untuk mengungkap nilai parameter p yang tersembunyi dan menemukan saudara kandung dari akar tersebut, yaitu akar kedua yang belum diketahui. Dalam dunia matematika, informasi sekecil apa pun sering kali menjadi titik terang untuk menyelesaikan teka-teki yang lebih besar.

Dengan mengetahui satu akarnya, proses penyelesaian berubah dari upaya memfaktorkan atau menggunakan rumus abc yang rumit menjadi substitusi langsung yang elegan. Nilai p kemudian dapat dihitung dengan presisi, yang pada akhirnya akan membawa kita pada bentuk persamaan kuadrat yang lengkap dan siap dianalisis lebih lanjut, baik untuk menemukan akar lainnya, memverifikasi solusi, maupun memahami sifat grafiknya.

Memahami Permasalahan Dasar

Pernyataan “salah satu akar persamaan kuadrat adalah 2” untuk persamaan x²-(p+1)x-6=0 mengandung makna yang sangat konkret. Dalam bahasa matematika, ini berarti jika variabel x kita ganti dengan angka 2, maka persamaan tersebut akan bernilai benar, atau sama dengan nol. Dengan kata lain, angka 2 adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut. Informasi ini menjadi kunci untuk membuka nilai parameter p yang belum diketahui.

Langkah logis yang diambil adalah melakukan substitusi. Kita masukkan x = 2 ke dalam setiap kemunculan x pada persamaan awal. Proses aljabar sederhana kemudian akan mengungkap nilai p yang tersembunyi. Tabel berikut merangkum perjalanan dari persamaan umum hingga ditemukannya nilai parameter.

Dari perhitungan yang sistematis tersebut, diperoleh kesimpulan yang tegas: nilai parameter p yang membuat angka 2 menjadi akar persamaan adalah -2.

Menemukan Akar Lain dan Bentuk Persamaan Lengkap

Setelah nilai p = -2 ditemukan, persamaan kuadrat berubah dari bentuk parametrik menjadi bentuk numerik yang lengkap. Persamaannya sekarang adalah x²
-(-2+1)x – 6 = 0, yang disederhanakan menjadi x² + x – 6 = 0. Dengan persamaan ini, kita dapat menemukan akar kedua yang selama ini belum terungkap.

Proses Penemuan Akar Kedua

Akar kedua dapat ditemukan dengan beberapa metode, salah satunya adalah memfaktorkan persamaan kuadrat. Berikut adalah langkah-langkah sistematis untuk beralih dari bentuk persamaan dengan parameter ke bentuk persamaan lengkap dan menemukan semua akarnya.

• Substitusi nilai p = -2 ke dalam persamaan awal: x²
  -(-2+1)x – 6 = x² + x – 6 = 0.
• Faktorkan persamaan x² + x – 6. Kita cari dua bilangan yang hasil kalinya -6 dan hasil jumlahnya +1. Bilangan tersebut adalah +3 dan -2.
• Tuliskan dalam bentuk faktor: (x + 3)(x – 2) = 0.
• Akar-akarnya adalah nilai x yang memenuhi masing-masing faktor sama dengan nol: x + 3 = 0 menghasilkan x = -3, dan x – 2 = 0 menghasilkan x = 2.

Dengan demikian, akar kedua dari persamaan tersebut adalah -3. Bentuk persamaan lengkap dalam faktor adalah (x – 2)(x + 3) = 0, yang jika dikalikan akan kembali ke x² + x – 6 = 0.

Verifikasi Solusi dan Analisis Diskriminan

Sebuah solusi matematika memerlukan verifikasi untuk memastikan kebenarannya. Selain itu, analisis diskriminan memberikan gambaran mendalam tentang sifat akar-akar yang telah kita peroleh tanpa harus menyebutkan nilainya secara eksplisit.

Verifikasi dan Perhitungan Diskriminan

Verifikasi dilakukan dengan mensubstitusi kedua akar, yaitu 2 dan -3, kembali ke dalam persamaan awal dalam bentuk numerik, x² + x – 6 =
0. Untuk x=2: (2)² + (2)
-6 = 4+2-6=
0. Untuk x=-3: (-3)² + (-3)
-6 = 9-3-6=0. Keduanya memenuhi, membuktikan solusi kita benar.

Diskriminan (D) dihitung dengan rumus D = b²
-4ac dari persamaan umum ax²+bx+c=0. Untuk persamaan x² + x – 6 = 0, nilai a=1, b=1, c=-6. Maka D = (1)²
-4(1)(-6) = 1 + 24 = 25. Nilai diskriminan 25 yang lebih besar dari nol mengonfirmasi bahwa persamaan memiliki dua akar real yang berbeda, sesuai dengan temuan kita yaitu 2 dan -3.

Sebuah bilangan α dikatakan sebagai akar dari suatu persamaan polinomial P(x)=0 jika dan hanya jika substitusi x = α menghasilkan pernyataan yang benar, yaitu P(α) = 0. Implikasinya, (x – α) merupakan faktor dari polinomial P(x).

Eksplorasi Variasi Soal Terkait: Salah Satu Akar Persamaan Kuadrat x²‑(p+1)x‑6=0 Adalah 2

Source: z-dn.net

Diketahui salah satu akar persamaan kuadrat x²‑(p+1)x‑6=0 adalah 2. Menyelesaikan masalah ini memerlukan logika sistematis, mirip dengan pendekatan Ilmuwan Pembuat Program Komputer Pertama yang merintis algoritma. Kembali ke persamaan, substitusi x=2 menghasilkan nilai p=1, membuktikan konsistensi dalam struktur matematika yang terukur.

Pemahaman konsep menjadi lebih kokoh ketika kita mengujinya pada berbagai variasi soal. Perubahan pada jenis bilangan akar yang diketahui atau informasi yang diberikan akan menguji keluwesan penerapan prinsip dasar yang sama.

Mengetahui bahwa salah satu akar dari persamaan kuadrat x²‑(p+1)x‑6=0 adalah 2 memungkinkan kita mencari nilai p. Proses manipulasi akar-akar seperti ini serupa dengan teknik yang dibutuhkan saat Menentukan persamaan kuadrat baru dari akar‑akar x²+6x‑12=0 , di mana hubungan antar koefisien menjadi kunci. Pemahaman mendalam tentang kedua konsep ini akan memperkuat kemampuan analitis dalam menyelesaikan variasi soal persamaan kuadrat, termasuk menuntaskan pencarian nilai p pada persamaan awal.

Variasi Akar dan Informasi yang Diberikan

Misalkan pernyataan diubah menjadi “salah satu akar persamaan x²-(p+1)x-6=0 adalah -½”. Prosedur penyelesaian tetap identik: substitusi x = -½ ke persamaan dan selesaikan untuk p. Hal ini menunjukkan bahwa metode substitusi bersifat universal, tidak bergantung pada akar berupa bilangan bulat positif.

Jika pernyataan awal diganti dengan “hasil kali akar-akarnya adalah -6”, maka pendekatannya berubah. Kita akan menggunakan hubungan antara koefisien dan akar pada persamaan kuadrat (Rumus Vieta), yaitu hasil kali akar = c/a = -6/1 = -6. Informasi ini ternyata selalu berlaku untuk persamaan ini berapapun nilai p, sehingga pernyataan “hasil kali akar-akarnya adalah -6” tidak cukup untuk menentukan nilai p yang unik.

Kita memerlukan informasi tambahan, seperti jumlah akar atau salah satu akarnya.

Ilustrasi Grafis Persamaan Kuadrat

Persamaan akhir kita, x² + x – 6 = 0, merepresentasikan sebuah parabola yang terbuka ke atas (karena koefisien x² positif). Grafik ini memotong sumbu-X di dua titik, yaitu pada x = -3 dan x = 2, yang tidak lain adalah akar-akar persamaannya. Titik puncak (vertex) parabola dapat dicari. Sumbu simetrinya terletak di x = -b/2a = -1/2 = -0.5.

Nilai y titik puncak adalah (-0.5)² + (-0.5)
-6 = 0.25 – 0.5 – 6 = -6.25. Jadi, titik puncak parabola berada di koordinat (-0.5, -6.25). Visual ini memperkuat pemahaman bahwa akar-akar adalah titik potong grafik dengan sumbu horizontal.

Aplikasi dalam Konteks Masalah Nyata

Matematika sering kali menjadi kerangka tak terlihat yang mengatur banyak hal di sekitar kita. Persamaan kuadrat seperti ini dapat muncul dari model sederhana dalam bidang ekonomi, desain, atau ilmu alam.

Bayangkan seorang pengusaha kecil yang memproduksi suatu barang. Biaya produksi per unit mengikuti pola tertentu, dan ia menemukan model keuntungan hariannya (dalam ratus ribu rupiah) dinyatakan sebagai U(x) = x²
-(p+1)x – 6, di mana x adalah jumlah barang yang terjual (dalam puluh unit). Suatu hari, ketika menjual 20 unit (x=2), ternyata ia tidak untung tidak rugi (U=0). Skenario ini persis memodelkan persamaan kita: 2²
-(p+1)*2 – 6 = 0.

Interpretasi Nilai Parameter dalam Konteks, Salah satu akar persamaan kuadrat x²‑(p+1)x‑6=0 adalah 2

Nilai p = -2 yang kita temukan kemudian dapat diinterpretasikan dalam model ini. Misalnya, (p+1) mungkin merepresentasikan gabungan dari biaya variabel dan faktor lain. Dengan p = -2, maka (p+1) = -1. Dalam model keuntungan U(x) = x² + x – 6, koefisien positif dari x (yaitu +1) bisa diartikan sebagai kontribusi positif penjualan terhadap keuntungan setelah berbagai faktor biaya diperhitungkan.

Tabel berikut membandingkan elemen matematika murni dengan interpretasi kontekstualnya.

Dengan demikian, penyelesaian matematis tidak hanya sekadar mencari angka, tetapi juga memberikan insight tentang kondisi bisnis pengusaha tersebut.

Ringkasan Penutup

Dari sebuah petunjuk tunggal bahwa angka 2 merupakan akar, kita berhasil menelusuri seluruh rangkaian solusi persamaan x²‑(p+1)x‑6=0. Perjalanan ini tidak hanya berhenti pada ditemukannya nilai p = -1 dan akar kedua -3, tetapi juga menguatkan pemahaman tentang hubungan fundamental antara akar dan koefisien dalam polinomial. Eksplorasi semacam ini mendemonstrasikan kekuatan logika matematika yang, meski berangkat dari data minimal, mampu menghasilkan simpulan yang komprehensif dan terverifikasi.

FAQ Umum

Apakah nilai p yang ditemukan selalu unik jika diketahui satu akarnya?

Ya, untuk persamaan kuadrat dengan bentuk seperti ini, mengetahui satu akar spesifik (dalam hal ini 2) akan menghasilkan nilai p yang unik dan tunggal.

Bagaimana jika soal menyebut “2 adalah akar kembar” bukan “salah satu akar”?

Jika 2 adalah akar kembar (akar ganda), maka diskriminan persamaan harus sama dengan nol, dan prosedur penyelesaiannya akan melibatkan turunan atau syarat D=0, bukan hanya substitusi sederhana.

Bisakah soal ini diselesaikan tanpa substitusi, misal dengan rumus jumlah dan hasil kali akar?

Bisa. Jika satu akar (r1)=2 dan hasil kali akar = -6 (dari konstanta persamaan), maka akar kedua (r2) = -3. Selanjutnya, jumlah akar (2 + (-3)) = -1 harus sama dengan -(koefisien x) = (p+1), sehingga p juga ditemukan bernilai -1.

Apa implikasi nilai diskriminan dari persamaan akhir setelah p ditemukan?

Setelah p = -1 disubstitusi, persamaan menjadi x²
-(-1+1)x -6 = x²
-6 = 0. Diskriminannya D=24 yang >0, mengkonfirmasi bahwa akar-akarnya nyata, berbeda, dan rasional (karena 24 adalah kuadrat sempurna dikali 6).