Sederhanakan 5√200 + 3√72 − 2√500 + 4√128 mungkin terlihat seperti teka-teki angka yang rumit, tapi percayalah, di balik kerumitan itu tersimpan pola yang elegan dan logika matematika yang sangat memuaskan untuk dipecahkan. Ekspresi ini adalah contoh sempurna bagaimana aljabar dan sifat-sifat akar kuadrat bekerja sama untuk mengubah sesuatu yang tampak kompleks menjadi bentuk yang jauh lebih bersih dan mudah dipahami.
Inti dari menyelesaikan soal ini adalah menemukan “inti” dari setiap bilangan di bawah tanda akar. Dengan memfaktorkan 200, 72, 500, dan 128 menjadi bilangan prima, kita bisa mengeluarkan pasangan angka yang membentuk kuadrat sempurna dari dalam akar. Proses ini mirip dengan merapikan kamar yang berantakan—keluarkan barang-barang yang sejenis, kelompokkan, dan susun kembali sehingga semuanya tertata rapi dan jelas terlihat.
Pengenalan dan Konteks Ekspresi Akar: Sederhanakan 5√200 + 3√72 − 2√500 + 4√128
Dalam matematika, khususnya aljabar, kita sering bertemu dengan ekspresi yang melibatkan akar kuadrat. Ekspresi seperti 5√200 + 3√72 − 2√500 + 4√128 mungkin terlihat rumit pada pandangan pertama, namun sebenarnya bisa disederhanakan menjadi bentuk yang jauh lebih elegan dan mudah dikelola. Kunci utamanya terletak pada pemahaman bahwa akar kuadrat dapat diurai.
Prinsip dasarnya adalah menyederhanakan bentuk akar dengan memfaktorkan bilangan di dalam akar menjadi faktor-faktor, lalu mengeluarkan faktor kuadrat sempurna. Sebagai contoh, √50 dapat disederhanakan karena 50 = 25 × 2, dan √25 adalah 5. Jadi, √50 = 5√2. Proses ini mengubah akar yang “berat” menjadi bentuk yang lebih ringan. Dalam operasi penjumlahan dan pengurangan, penyederhanaan ini menjadi krusial karena kita hanya dapat menggabungkan suku-suku yang memiliki bagian akar yang identik, sering disebut suku sejenis.
Dekomposisi Bilangan di Bawah Tanda Akar
Langkah pertama menyelesaikan soal kita adalah membongkar setiap bilangan di bawah tanda akar. Kita perlu mencari faktor kuadrat sempurna terbesar dari 200, 72, 500, dan 128. Faktor kuadrat sempurna seperti 4, 9, 16, 25, 36, 64, 100, dan seterusnya, sangat berharga karena akar kuadratnya adalah bilangan bulat. Dengan mengeluarkan faktor-faktor ini, kita mentransformasi akar yang kompleks menjadi perkalian antara bilangan bulat dan akar yang lebih sederhana.
Berikut adalah tabel yang merinci dekomposisi untuk setiap suku dalam ekspresi kita. Tabel ini memberikan peta jalan yang jelas untuk langkah penyederhanaan selanjutnya.
| Bilangan | Faktorisasi Prima | Faktor Kuadrat Sempurna | Bentuk Akar Disederhanakan |
|---|---|---|---|
| 200 | 2³ × 5² = 8 × 25 | 100 (atau 25 × 4) | √200 = √(100×2) = 10√2 |
| 72 | 2³ × 3² = 8 × 9 | 36 | √72 = √(36×2) = 6√2 |
| 500 | 2² × 5³ = 4 × 125 | 100 | √500 = √(100×5) = 10√5 |
| 128 | 2⁷ | 64 | √128 = √(64×2) = 8√2 |
Proses ekstraksinya sederhana: identifikasi faktor kuadrat sempurna, tulis ulang bilangan sebagai perkalian faktor tersebut dengan sisa bilangan, lalu ambil akar kuadrat dari faktor kuadrat sempurna tersebut dan pindahkan ke luar sebagai koefisien.
Langkah-langkah Penyederhanaan Per Suku
Sekarang, mari kita terapkan pengetahuan dari tabel di atas pada setiap suku dalam ekspresi awal. Kita akan mengolahnya satu per satu dengan sabar.
Untuk suku pertama, 5√200. Dari tabel, kita tahu √200 = 10√2. Maka, 5√200 = 5 × 10√2 = 50√2.
Suku kedua adalah 3√72. Karena √72 = 6√2, maka 3√72 = 3 × 6√2 = 18√2.
Suku ketiga, −2√500, memerlukan perhatian pada tanda negatifnya. √500 = 10√5, sehingga −2√500 = −2 × 10√5 = −20√5.
Terakhir, suku keempat adalah 4√128. Dengan √128 = 8√2, kita peroleh 4√128 = 4 × 8√2 = 32√2.
Menggabungkan dan Menyederhanakan Suku Sejenis
Setelah semua suku diurai, kita memiliki kumpulan suku yang lebih bersih. Aturan utama dalam menggabungkan suku adalah: hanya suku dengan bagian akar yang persis sama yang dapat dijumlahkan atau dikurangi koefisiennya. Bayangkan √2 dan √5 seperti variabel yang berbeda, misalnya ‘x’ dan ‘y’. Anda tidak bisa menjumlahkan 50x dengan 20y, tetapi bisa menjumlahkan 50x dengan 18x.
Dari langkah sebelumnya, kita telah memperoleh suku-suku berikut:
- 50√2 (dari 5√200)
- 18√2 (dari 3√72)
- -20√5 (dari −2√500)
- 32√2 (dari 4√128)
Kita lihat ada tiga suku dengan √2 dan satu suku dengan √
5. Mari kita gabungkan suku-suku sejenis √2: 50√2 + 18√2 + 32√2 = (50 + 18 + 32)√2 = 100√
2. Suku dengan √5 tetap sendiri karena tidak memiliki pasangan sejenis. Jadi, ekspresi akhir yang telah disederhanakan adalah:
100√2 − 20√5
Transformasi dari ekspresi awal yang panjang menjadi bentuk sederhana ini menunjukkan kekuatan teknik aljabar dasar. Bentuk ini tidak hanya lebih ringkas tetapi juga lebih siap untuk digunakan dalam perhitungan atau analisis lebih lanjut.
Visualisasi dan Pengecekan Kebenaran, Sederhanakan 5√200 + 3√72 − 2√500 + 4√128
Untuk membayangkan manfaat penyederhanaan, anggap kita sedang menghitung total panjang beberapa batang. Ekspresi awal seperti daftar panjang batang mentah: 5 batang sepanjang √200 cm, 3 batang √72 cm, dikurangi 2 batang √500 cm, ditambah 4 batang √128 cm. Setelah disederhanakan, gambaran menjadi jauh lebih jelas: kita sebenarnya memiliki 100 batang imajiner sepanjang √2 cm dan kita mengurangi 20 batang imajiner sepanjang √5 cm.
Bentuk sederhana ini langsung memberi kita proporsi dan besaran relatif dari komponen-komponen penyusunnya.
Sebagai pengecekan kebenaran, kita bisa menggunakan pendekatan numerik. Hitung nilai desimal dari ekspresi awal: 5√200 ≈ 5×14.1421 = 70.7105, 3√72 ≈ 3×8.4853 = 25.4559, −2√500 ≈ −2×22.3607 = −44.7214, dan 4√128 ≈ 4×11.3137 = 45.
2548. Jumlahkan semuanya: 70.7105 + 25.4559 − 44.7214 + 45.2548 ≈ 96.
6998.
Sekarang, hitung nilai bentuk sederhana kita: 100√2 ≈ 100×1.4142 = 141.42, dan 20√5 ≈ 20×2.2361 = 44.722. Maka, 141.42 − 44.722 = 96.698. Kedua hasil tersebut sama (perbedaan sangat kecil karena pembulatan), membuktikan kebenaran penyederhanaan kita.
Dalam aplikasi matematika yang lebih tinggi, seperti kalkulus atau fisika teoritis, bekerja dengan bentuk akar yang paling sederhana sangat penting. Itu mengurangi kompleksitas manipulasi aljabar, meminimalkan kesalahan perhitungan, dan sering kali mengungkap struktur hubungan yang lebih dalam antar variabel. Bentuk 100√2 − 20√5 jauh lebih mudah untuk diturunkan, diintegralkan, atau dibandingkan dengan konstanta lain daripada bentuk aslinya yang berantakan.
Ulasan Penutup
Jadi, perjalanan dari ekspresi yang panjang 5√200 + 3√72 − 2√500 + 4√128 akhirnya bermuara pada hasil yang rapi, yaitu 54√2. Proses penyederhanaan ini bukan sekadar rutinitas mekanis, melainkan sebuah penerapan konsep matematika dasar yang powerful. Hasil akhir yang sederhana ini jauh lebih mudah untuk digunakan dalam perhitungan lanjutan, analisis grafik, atau aplikasi praktis lainnya, membuktikan bahwa kesederhanaan seringkali adalah puncak dari efisiensi dan kejelasan dalam matematika.
Panduan Tanya Jawab
Apa itu suku sejenis dalam bentuk akar seperti ini?
Suku sejenis adalah suku yang memiliki bagian akar yang persis sama. Misalnya, 30√2 dan 24√2 adalah sejenis karena sama-sama mengandung √2. Suku seperti 10√3 dan 10√2 tidak sejenis, sehingga tidak bisa langsung dijumlahkan atau dikurangi koefisiennya.
Mengapa harus menyederhanakan bentuk akar terlebih dahulu sebelum menjumlahkan?
Penyederhanaan memastikan kita mengidentifikasi semua suku sejenis dengan benar. Bentuk awal seperti √200 dan √500 mungkin menyembunyikan suku sejenis (√2) yang tidak terlihat jelas sebelum disederhanakan menjadi 10√2 dan 10√5.
Bagaimana jika di bawah akar bukan bilangan bulat, melainkan variabel?
Prinsipnya sama. Faktorkan ekspresi di bawah akar untuk mencari faktor yang berpangkat genap (kuadrat sempurna). Misalnya, √(x³) = √(x²
– x) = x√x, asalkan x ≥ 0.
Apakah hasil penyederhanaan selalu lebih kecil nilainya daripada bentuk awal?
Tidak selalu lebih kecil secara numerik. Nilainya tetap sama persis. Penyederhanaan hanya mengubah bentuk penulisannya menjadi yang paling ringkas, tanpa mengubah nilai atau makna geometris/kuantitatifnya.
