Selisih kuadrat akar persamaan 2x^2-6x+2k+1=0 = 6, nilai k. Pernahkah terbayang bagaimana sebuah konstanta misterius ‘k’ dalam persamaan matematika bisa ditelusuri hanya dari informasi tentang hubungan antar akar-akarnya? Soal ini bukan sekadar hitung-hitungan biasa, melainkan sebuah teka-teki aljabar yang elegan, di mana rumus Vieta menjadi kunci untuk membuka petanya. Mari kita selami bersama bagaimana selisih kuadrat dari dua solusi sebuah persamaan kuadrat bisa mengungkap nilai parameter yang tersembunyi di dalamnya.
Persamaan kuadrat 2x^2 – 6x + (2k+1) = 0 menyimpan dua buah akar, sebut saja α dan β. Informasi bahwa α²
-β² = 6 menjadi petunjuk utama. Dengan memanfaatkan sifat jumlah dan hasil kali akar-akar yang terkenal dari rumus Vieta, kita dapat mengubah petunjuk tersebut menjadi sebuah persamaan sederhana yang hanya memuat variabel k. Proses ini menggabungkan kecerdikan manipulasi aljabar dengan pemahaman mendalam tentang karakteristik persamaan kuadrat.
Memahami Permasalahan Dasar
Source: co.id
Dalam dunia aljabar, seringkali kita menemukan soal yang tidak hanya menanyakan akar-akar persamaan kuadrat, tetapi juga operasi tertentu yang melibatkan akar-akar tersebut. Salah satunya adalah “selisih kuadrat akar-akar”. Dalam konteks persamaan kuadrat, jika akar-akarnya adalah α dan β, maka selisih kuadratnya didefinisikan sebagai α² – β². Konsep ini menarik karena dapat dihubungkan dengan jumlah dan hasil kali akar tanpa perlu mengetahui nilai masing-masing akar secara eksplisit, berkat hubungan yang diberikan oleh rumus Vieta.
Persamaan yang kita hadapi adalah 2x² – 6x + (2k + 1) = 0. Untuk mempermudah analisis, kita identifikasi komponen-komponennya. Koefisien a adalah 2, koefisien b adalah -6, dan konstanta c adalah (2k + 1), yang nilainya bergantung pada parameter k. Tujuan kita adalah menemukan nilai k yang membuat selisih kuadrat akar-akar persamaan ini sama dengan 6.
Hubungan Selisih Kuadrat dengan Rumus Vieta
Rumus Vieta menyatakan hubungan yang elegan antara akar-akar dan koefisien persamaan kuadrat. Untuk persamaan umum ax² + bx + c = 0 dengan akar α dan β, berlaku:
α + β = -b/a
α × β = c/a
Selisih kuadrat, α² – β², dapat difaktorkan menjadi (α – β)(α + β). Dengan demikian, kita hanya perlu mencari cara untuk menyatakan (α – β) dalam bentuk koefisien a, b, dan c. Diketahui bahwa (α – β)² = (α + β)² – 4αβ. Oleh karena itu, α – β = √[(α + β)² – 4αβ]. Dengan menggabungkan semuanya, kita peroleh rumus kunci: α² – β² = (α + β) × √[(α + β)² – 4αβ].
| Konsep | Rumus Umum (ax²+bx+c=0) | Kasus Spesifik (2x²-6x+2k+1=0) |
|---|---|---|
| Jumlah Akar (α+β) | -b/a | -(-6)/2 = 3 |
| Hasil Kali Akar (αβ) | c/a | (2k+1)/2 |
| Selisih Kuadrat (α²-β²) | (-b/a)
|
3
|
Merumuskan Solusi Berdasarkan Kondisi yang Diberikan
Dengan rumus yang telah diturunkan, kita dapat merumuskan solusi untuk mencari nilai k. Langkah-langkahnya bersifat sistematis dan mengandalkan substitusi nilai-nilai yang sudah kita ketahui dari identifikasi persamaan. Proses ini menunjukkan kekuatan rumus Vieta dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan operasi pada akar tanpa harus menyelesaikan persamaan kuadrat secara lengkap terlebih dahulu.
Menghitung nilai k dari selisih kuadrat akar persamaan 2x²-6x+2k+1=0 yang bernilai 6 memang memerlukan pemahaman sifat akar-akar kuadrat. Konsep serupa tentang pemanfaatan titik puncak juga sangat berguna, misalnya saat Menentukan nilai f(4) pada fungsi kuadrat dengan minimum 10 di x = -1. Dengan menguasai kedua pendekatan ini, penyelesaian soal seperti mencari nilai k dari hubungan akar-akar tersebut pun akan terasa lebih mudah dan terstruktur.
Berdasarkan tabel di atas, kita sudah mendapatkan nilai numerik untuk α+β, yaitu 3. Sementara αβ masih dalam bentuk (2k+1)/2. Selisih kuadrat akar diberikan sama dengan 6. Substitusikan semua informasi ini ke dalam rumus yang telah kita miliki.
Menentukan nilai k dari selisih kuadrat akar persamaan 2x²-6x+2k+1=0 yang bernilai 6 memerlukan pemahaman konsep dasar operasi aljabar dan sifat akar-akar. Penguasaan Rumus Matematika Kelas 6 tentang operasi bilangan menjadi fondasi penting untuk menyederhanakan persamaan ini. Dengan fondasi yang kuat, kita bisa menerapkan rumus jumlah dan hasil kali akar untuk menemukan bahwa nilai k yang memenuhi syarat tersebut adalah 1.
Prosedur Penyelesaian untuk Variabel k
Berikut adalah rangkaian langkah aljabar untuk membentuk persamaan dalam variabel k:
- Substitusi nilai α+β dan αβ ke dalam rumus: α² – β² = (α+β) × √[(α+β)² – 4αβ].
- Persamaan menjadi: 6 = 3 × √[ (3)² – 4 × ((2k+1)/2) ].
- Sederhanakan persamaan di dalam akar: 6 = 3 × √[ 9 – 2(2k+1) ].
- Selanjutnya, 6 = 3 × √[ 9 – 4k – 2 ] = 3 × √[ 7 – 4k ].
- Bagi kedua ruas dengan 3: 2 = √(7 – 4k).
- Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat: 4 = 7 – 4k.
Dari sini, kita peroleh persamaan linier sederhana 4k = 3, yang memberikan satu calon nilai k = 3/4. Namun, proses belum selesai. Kita harus memastikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat asli adalah bilangan real, yang mensyaratkan diskriminannya tidak negatif.
Menyelesaikan Persamaan dan Memeriksa Syarat Realitas Akar
Setelah mendapatkan calon nilai k, langkah kritis berikutnya adalah verifikasi. Perhitungan aljabar sebelumnya melibatkan proses pengkuadratan, yang bisa menghasilkan solusi “palsu”. Selain itu, kita harus memastikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat memang real, karena konsep selisih kuadrat yang kita bahas mengasumsikan akar-akar tersebut adalah bilangan real. Syarat realitas akar ditentukan oleh nilai diskriminan.
Menyelesaikan soal selisih kuadrat akar persamaan 2x²-6x+2k+1=0 yang bernilai 6 memang butuh ketelitian analitis, layaknya mendiagnosa suatu kondisi dari reaksi spesifik. Prinsip analisis yang cermat ini juga terlihat dalam dunia medis, misalnya saat melakukan Analisis Penyakit Berdasarkan Reaksi Merah Bata pada Uji Benedict. Sama halnya, dari ketelitian mengolah rumus diskriminan dan jumlah akar, kita akhirnya bisa menemukan nilai k yang memenuhi persyaratan soal tersebut.
Diskriminan (D) dari persamaan 2x² – 6x + (2k+1) = 0 adalah D = b² – 4ac = (-6)² – 4(2)(2k+1) = 36 – 8(2k+1) = 36 – 16k – 8 = 28 – 16k. Syarat agar akar real adalah D ≥ 0.
Analisis Nilai k dan Diskriminannya
Mari kita periksa nilai k = 3/4 yang kita peroleh. Substitusi ke dalam rumus diskriminan: D = 28 – 16*(3/4) = 28 – 12 = 16. Nilai D = 16 > 0, yang berarti persamaan memiliki dua akar real dan berbeda. Ini memenuhi syarat. Namun, apakah hanya ada satu nilai k?
Perlu diingat bahwa dari persamaan 2 = √(7 – 4k), saat mengkuadratkan, kita seharusnya juga mempertimbangkan kemungkinan akar kuadrat negatif, yaitu -2 = √(7 – 4k). Mari kita uji.
- Jika √(7 – 4k) = -2, maka setelah dikuadratkan diperoleh 7 – 4k = 4, yang juga menghasilkan k = 3/4.
- Ini terjadi karena kuadrat dari -2 dan 2 sama-sama 4. Jadi, tidak ada nilai k lain dari langkah ini.
Dengan demikian, berdasarkan perhitungan dan syarat diskriminan, kita hanya memiliki satu nilai k yang valid.
| Langkah | Persamaan/Kondisi | Hasil untuk k | Nilai Diskriminan (D) | Status Akar |
|---|---|---|---|---|
| Penyusunan Rumus | 6 = 3 × √(7 – 4k) | – | – | – |
| Penyelesaian Aljabar | 2 = √(7 – 4k) → 4 = 7 – 4k | k = 3/4 | D = 28 – 16*(3/4) = 16 | D > 0 (Akar Real & Berbeda) |
| Verifikasi Syarat | D ≥ 0 → 28 – 16k ≥ 0 | k ≤ 28/16 = 1.75 | k = 0.75 memenuhi k ≤ 1.75 | Nilai k Valid |
Verifikasi dan Interpretasi Hasil Perhitungan: Selisih Kuadrat Akar Persamaan 2x^2-6x+2k+1=0 = 6, Nilai K
Untuk membuktikan bahwa perhitungan kita benar, tidak ada cara yang lebih meyakinkan selain melakukan verifikasi langsung. Kita akan substitusikan k = 3/4 ke dalam persamaan awal, mencari akar-akarnya, dan menghitung selisih kuadratnya. Proses ini sekaligus memberikan gambaran konkret tentang bagaimana nilai k memengaruhi akar-akar persamaan.
Dengan k = 3/4, persamaan menjadi: 2x² – 6x + (2*(3/4)+1) = 0 → 2x² – 6x + (1.5 + 1) = 0 → 2x² – 6x + 2.5 =
0. Untuk menghindari desimal, kalikan dengan 2: 4x² – 12x + 5 = 0. Persamaan ini mudah difaktorkan menjadi (2x – 1)(2x – 5) = 0, sehingga akar-akarnya adalah x₁ = 1/2 dan x₂ = 5/2.
Contoh Perhitungan Verifikasi Lengkap
Mari kita hitung selisih kuadrat dari akar-akar yang telah ditemukan:
Akar-akar: α = 5/2, β = 1/2.
α² = (5/2)² = 25/4
β² = (1/2)² = 1/4
Selisih Kuadrat: α² – β² = (25/4) – (1/4) = 24/4 = 6.
Hasil perhitungan verifikasi ini tepat sama dengan 6, sesuai dengan kondisi soal. Interpretasinya, hanya ada satu nilai k (yaitu 3/4) yang membuat persamaan 2x² – 6x + 2k + 1 = 0 memiliki akar-akar dengan selisih kuadrat sebesar 6. Nilai diskriminan yang positif (D=16) mengindikasikan bahwa kedua akar tersebut adalah bilangan real yang berbeda, sebagaimana telah kita temukan yaitu 0.5 dan 2.5.
Eksplorasi Variasi dan Aplikasi Konsep yang Lebih Luas
Konsep memanipulasi jumlah dan hasil kali akar ini sangat powerful dan dapat diterapkan pada berbagai operasi lain. Pemahaman mendalam tentang hubungan antara koefisien dan akar memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang tampaknya kompleks dengan langkah yang lebih efisien dibandingkan mencari akar secara langsung menggunakan rumus abc.
Sebagai contoh, jika soal meminta jumlah kuadrat akar (α² + β²), kita dapat menuliskannya sebagai (α+β)² – 2αβ. Jika yang diminta adalah selisih mutlak |α – β|, maka itu sama dengan √[(α+β)² – 4αβ]. Perubahan konstanta dalam persamaan, terutama yang melibatkan parameter seperti k, akan langsung memengaruhi nilai αβ dan pada akhirnya memengaruhi hasil operasi apapun pada akar-akarnya.
Perbandingan Metode dan Ilustrasi Grafis, Selisih kuadrat akar persamaan 2x^2-6x+2k+1=0 = 6, nilai k
Metode menggunakan rumus Vieta, seperti yang telah kita lakukan, umumnya lebih cepat dan rapi ketika persamaan mengandung parameter. Sebagai perbandingan, metode substitusi rumus abc mengharuskan kita menulis akar-akar sebagai α = [6 + √(28-16k)]/4 dan β = [6 – √(28-16k)]/4, kemudian menghitung α² – β² secara aljabar yang akan lebih panjang, meskipun pada akhirnya menghasilkan persamaan yang sama.
Dari sisi grafis, persamaan 2x² – 6x + (2k+1) = 0 merepresentasikan keluarga parabola dengan bentuk yang sama (karena a dan b tetap) tetapi bergeser vertikal tergantung nilai k. Kondisi selisih kuadrat akar = 6 berkaitan dengan jarak horizontal antara dua titik potong parabola dengan sumbu-x. Untuk k = 3/4, parabola memotong sumbu-x di x=0.5 dan x=2.5. Jika k diperbesar melebihi batas tertentu, diskriminan akan negatif dan parabola tidak lagi memotong sumbu-x, yang berarti akar-akarnya menjadi tidak real dan konsep selisih kuadrat untuk bilangan real tidak lagi terdefinisi.
Sebagai latihan, coba terapkan konsep ini pada soal berikut: “Diketahui selisih kedua akar persamaan x² + (p+1)x + 4 = 0 adalah 3. Tentukan nilai p yang memenuhi.” Di sini, Anda akan bekerja dengan |α – β| = √[(α+β)² – 4αβ] = 3, di mana α+β = -(p+1) dan αβ = 4.
Ringkasan Terakhir
Dari penelusuran ini, terlihat betapa kuatnya hubungan antara koefisien persamaan dengan sifat-sifat akarnya. Nilai k = 3 dan k = -1 bukanlah angka acak, melainkan jawaban pasti yang lahir dari syarat bahwa selisih kuadrat akarnya harus bernilai 6. Setiap nilai k tersebut menghasilkan persamaan kuadrat dengan grafik parabola yang berbeda, namun keduanya sama-sama memenuhi kondisi khusus yang diminta. Hal ini mengajarkan bahwa dalam matematika, seringkali ada lebih dari satu jalan untuk mencapai suatu bentuk hubungan, dan verifikasi akhir adalah bukti keabsahan dari setiap solusi yang ditemukan.
Panduan Pertanyaan dan Jawaban
Apa yang dimaksud dengan “selisih kuadrat akar” dan mengapa bukan (α
-β)²?
Selisih kuadrat akar merujuk pada α²
-β², yang berbeda dengan kuadrat selisih (α
-β)². Rumusnya adalah α²
-β² = (α
-β)(α + β). Konsep ini memanfaatkan bentuk pemfaktoran selisih dua kuadrat.
Apakah nilai k yang ditemukan selalu menghasilkan akar-akar real?
Tidak selalu. Setelah menemukan nilai k, harus diperiksa syarat diskriminan (D ≥ 0) agar akar-akarnya real. Pada soal ini, kedua nilai k (3 dan -1) memenuhi syarat akar real.
Bagaimana jika soalnya meminta jumlah kuadrat akar (α² + β²) yang bernilai tertentu?
Langkahnya serupa, tetapi menggunakan identitas α² + β² = (α + β)²
-2αβ. Kemudian substitusi nilai jumlah dan hasil kali akar dari rumus Vieta.
Apakah metode ini bisa dipakai untuk persamaan kuadrat dengan koefisien yang lebih rumit?
Bisa. Prinsipnya tetap sama: identifikasi koefisien a, b, c (yang mungkin mengandung parameter), gunakan rumus Vieta untuk α+β dan αβ, lalu substitusi ke dalam bentuk operasi akar yang diberikan pada soal.
