Sisa 5n dibagi 7 bila n sisanya 3 dan Penjelasan Lengkapnya

Sisa 5n dibagi 7 bila n sisanya 3 itu seperti teka-teki angka yang bikin penasaran, bukan? Kita sering nemuin soal kayak gini di dunia matematika diskrit atau teori bilangan, dan jujur aja, kalau udah paham polanya, rasanya kayak nemuin cheat code buat nyelesein soal-soal modular dengan lebih cepet dan elegan. Jadi, gimana sih ceritanya angka-angka itu berinteraksi di balik layar operasi modulo?

Yuk, kita bedah bareng-bareng biar kamu nggak cuma hapal, tapi juga ngerti sampai ke akar-akarnya.

Inti dari pernyataan ini sebenarnya sederhana: kita punya bilangan bulat `n` yang kalo dibagi 7, sisa hasil baginya adalah 3. Nah, yang mau kita cari tahu adalah, kalo `n` itu kita kalikan 5, terus hasil perkaliannya (5n) kita bagi 7, kira-kira sisanya berapa, ya? Dengan memahami konsep kongruensi modulo, kita bisa nemuin rumus umumnya dan bahkan memprediksi hasilnya dengan tepat.

Ini bukan cuma teori, tapi punya aplikasi praktis dalam kriptografi dan ilmu komputer, lho.

Memahami Pernyataan dan Konsep Dasar

Mari kita buka percakapan ini dengan mencerna kalimat “Sisa 5n dibagi 7 bila n sisanya 3”. Bunyinya memang seperti teka-teki, tapi sebenarnya ia adalah pintu masuk yang manis ke dunia teori bilangan. Intinya, pernyataan ini ingin kita fokus pada satu skenario spesifik: apa yang terjadi dengan sisa pembagian 5n oleh 7, khususnya ketika kita hanya memilih bilangan-bilangan ‘n’ yang jika dibagi 7 selalu menyisakan 3.

Landasan utamanya adalah konsep kongruensi modulo, sebuah cara elegan untuk menyatakan kesamaan sisa pembagian. Dalam bahasa matematika, kondisi “n sisanya 3 bila dibagi 7” ditulis sebagai n ≡ 3 (mod 7). Ini artinya, n bisa direpresentasikan sebagai 7k + 3, di mana k adalah bilangan bulat apa pun. Konsep ini adalah jantung dari pembahasan kita, karena ia memungkinkan kita mengganti ‘n’ yang tampaknya abstrak dengan bentuk yang lebih mudah diolah.

Contoh Konkret Nilai n

Untuk membayangkannya, mari kita panggil beberapa bilangan ‘n’ yang memenuhi syarat. Ingat, syaratnya adalah n dibagi 7 sisa
3. Beberapa kandidatnya adalah: 3, 10, 17, 24, 31, dan seterusnya. Kamu bisa lihat polanya, kan? Mereka semua berselisih 7.

Bilangan seperti 10 adalah contoh yang bagus karena 10 = (7×1) + 3. Bilangan negatif juga bisa, misalnya -4, karena -4 = (7×-1) + 3. Intinya, keluarga bilangan ini tak terhingga banyaknya.

Menurunkan dan Membuktikan Rumus Umum

Sekarang, kita naik level. Kita tak hanya mau contoh, tapi ingin rumus umum yang bisa dipakai untuk semua kasus. Tujuannya: menemukan sisa dari 5n dibagi 7, dengan pengetahuan bahwa n ≡ 3 (mod 7). Ini adalah proses aljabar yang memuaskan.

Langkahnya sangat langsung. Karena n ≡ 3 (mod 7), kita bisa substitusi langsung ke dalam ekspresi 5n. Maka, 5n ≡ 5 × 3 (mod 7). Hitungannya menjadi 5n ≡ 15 (mod 7). Karena 15 lebih besar dari 7, kita sederhanakan lagi: 15 dibagi 7 menghasilkan sisa 1 (karena 15 = 7×2 + 1).

Kesimpulan akhirnya: 5n ≡ 1 (mod 7). Inilah rumus umumnya: untuk setiap n yang bersisa 3 jika dibagi 7, maka 5n-nya pasti bersisa 1 jika dibagi 7.

Demonstrasi dengan Tabel Perbandingan

Mari kita uji kebenaran rumus itu dengan melihat beberapa contoh nyata. Tabel berikut akan menunjukkan hubungan yang konsisten antara n, bentuk representasinya, nilai 5n, dan sisa yang dihasilkan.

Nah, kalau kita bahas sisa 5n dibagi 7 saat n bersisa 3, kita sedang main-main dengan pola dan batasan yang jelas, mirip seperti memahami batasan kedaulatan sebuah negara. Untuk mengerti konsep batasan yang fundamental ini, kamu perlu baca dulu nih Pengertian Wilayah NKRI yang bikin kamu paham dasar-dasar wilayah berdaulat. Setelah itu, balik lagi ke soal tadi, pemahaman tentang batas dan sisa itu jadi lebih terasa relevan dan aplikatif dalam konteks matematika yang kita ulik.

Lihat kolom terakhir? Semuanya angka 1. Ini bukan kebetulan, tapi bukti visual dari rumus kongruensi yang sudah kita turunkan. Pola ini akan terus berulang untuk semua nilai n di keluarga itu.

Eksplorasi Pola dan Sifat Khusus

Nah, dari sini kita bisa mulai berimajinasi lebih jauh. Apa yang terjadi jika kita mengubah kondisi awalnya? Misalnya, bagaimana jika sisa n mod 7 bukan 3, tapi angka lain? Eksplorasi ini akan mengungkap pola yang lebih luas dan indah dalam aritmetika modulo.

Analisis menunjukkan bahwa operasi perkalian dengan 5 modulo 7 sebenarnya membentuk sebuah permutasi sisa. Artinya, ketika n berjalan melalui semua sisa yang mungkin dari 0 sampai 6, nilai 5n mod 7 juga akan menghasilkan semua sisa dari 0 sampai 6, tapi dengan urutan yang berbeda. Ini terjadi karena 5 dan 7 relatif prima (gcd(5,7)=1). Sifat periodiknya sangat jelas: pola sisa akan berulang setiap 7 langkah untuk n, karena modulusnya adalah 7.

Semua Kemungkinan Sisa 5n mod 7

Berikut adalah pemetaan lengkap antara sisa n dibagi 7 dan sisa hasil dari 5n dibagi 7. Daftar ini seperti kunci decoder untuk banyak soal modulo.

• Jika n ≡ 0 (mod 7), maka 5n ≡ 0 (mod 7).
• Jika n ≡ 1 (mod 7), maka 5n ≡ 5 (mod 7).
• Jika n ≡ 2 (mod 7), maka 5n ≡ 3 (mod 7) (karena 5×2=10, dan 10 mod 7 = 3).
• Jika n ≡ 3 (mod 7), maka 5n ≡ 1 (mod 7) – ini adalah kasus spesial kita.
• Jika n ≡ 4 (mod 7), maka 5n ≡ 6 (mod 7) (karena 5×4=20, dan 20 mod 7 = 6).
• Jika n ≡ 5 (mod 7), maka 5n ≡ 4 (mod 7) (karena 5×5=25, dan 25 mod 7 = 4).
• Jika n ≡ 6 (mod 7), maka 5n ≡ 2 (mod 7) (karena 5×6=30, dan 30 mod 7 = 2).

Pola di atas adalah alat yang sangat powerful. Ia menunjukkan bahwa perkalian dengan 5 dalam modulo 7 adalah operasi yang reversibel dan teratur.

Penerapan dalam Contoh Soal Variatif

Teori tanpa praktik ibarat kopi tanpa gelas. Mari kita tuangkan konsep-konsep tadi ke dalam beberapa contoh soal. Kita akan buat dari yang level jalan santai sampai yang butuh sedikit pendakian mental.

Contoh Soal Tingkat Dasar, Sisa 5n dibagi 7 bila n sisanya 3

Diketahui sebuah bilangan bulat n ketika dibagi 7 bersisa 3. Tentukan sisa pembagian bilangan (5n + 2) oleh 7.

Penyelesaian: Karena n ≡ 3 (mod 7), maka 5n ≡ 5×3 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7). Selanjutnya, (5n + 2) ≡ 1 + 2 ≡ 3 (mod 7). Jadi, sisa pembagian (5n + 2) oleh 7 adalah 3.

Tips: Selalu sederhanakan setiap langkah modulo. 15 langsung disederhanakan jadi 1, baru ditambahkan 2.

Contoh Soal Tingkat Menengah

Tentukan sisa pembagian 5^(2023) oleh 7.

Penyelesaian: Soal ini terlihat menakutkan, tapi kita bisa pakai konsep yang sama dengan berpikir kreatif. Kita cari pola pangkat dari 5 modulo 7.

• 5^1 ≡ 5 (mod 7)
• 5^2 ≡ 25 ≡ 4 (mod 7)
• 5^3 ≡ 5^2 × 5 ≡ 4 × 5 ≡ 20 ≡ 6 (mod 7)
• 5^4 ≡ 5^3 × 5 ≡ 6 × 5 ≡ 30 ≡ 2 (mod 7)
• 5^5 ≡ 5^4 × 5 ≡ 2 × 5 ≡ 10 ≡ 3 (mod 7)
• 5^6 ≡ 5^5 × 5 ≡ 3 × 5 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7)

Kita temukan bahwa 5^6 ≡ 1 (mod 7). Artinya, polanya berulang setiap 6 pangkat. Pangkat 2023 kita bagi dengan periode 6: 2023 ÷ 6 = 337 sisa 1. Karena bersisa 1, maka 5^(2023) ≡ 5^1 ≡ 5 (mod 7). Jadi, sisanya adalah 5.

Contoh Soal Tingkat Lanjut

Carilah semua bilangan bulat x yang memenuhi kongruensi: 5x ≡ 8 (mod 7).

Penyelesaian: Pertama, sederhanakan ruas kanan: 8 ≡ 1 (mod 7). Jadi persamaannya menjadi 5x ≡ 1 (mod 7). Sekarang, kita perlu mencari invers modulo dari 5 modulo
7. Dari daftar pola kita sebelumnya, kita tahu bahwa 5 × 3 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7). Jadi, invers dari 5 adalah
3.

Kalikan kedua ruas dengan 3: 3 × 5x ≡ 3 × 1 (mod 7) → 15x ≡ 3 (mod 7) → 1x ≡ 3 (mod 7). Jadi, solusinya adalah x ≡ 3 (mod 7). Ini berarti himpunan solusinya adalah semua bilangan berbentuk x = 7k + 3, dengan k bilangan bulat.

Langkah kritis: Mengenali bahwa menyelesaikan 5x ≡ 1 (mod 7) sama dengan mencari nilai n yang membuat 5n bersisa 1, dan kita sudah tahu jawabannya dari eksplorasi pola, yaitu n yang bersisa 3.

Visualisasi dan Representasi Alternatif: Sisa 5n Dibagi 7 Bila N Sisanya 3

Kadang, persamaan dan tabel butuh teman visual agar lebih mudah dicerna. Mari kita coba gambarkan konsep ini dengan kata-kata yang membentuk imaji di kepala.

Bayangkan sebuah roda dengan 7 titik, berlabel angka 0 sampai 6, yang mewakili sisa pembagian oleh
7. Ini adalah “Roda Modulo 7”. Sekarang, setiap titik n di roda itu, ketika dikalikan 5, akan melompat ke titik sisa yang lain. Hubungan khusus kita (n ≡ 3) berarti kita selalu start dari titik angka 3 di roda. Dari titik 3, operasi “kalikan 5” akan membawa kita berjalan: 3 × 5 = 15, yang dalam roda modulo (setelah dikurangi 7 berkali-kali) akan mendarat tepat di titik angka 1.

Visual roda ini memperjelas mengapa hasilnya selalu konsisten.

Perbandingan Metode Penyelesaian

Mari kita bandingkan dua pendekatan untuk soal dasar: mencari sisa 5n mod 7 jika n = 7k + 3.

Metode Substitusi Langsung: Kita ambil contoh n = 10. Hitung 5×10 = 50. Lalu cari sisa 50 ÷ 7 = 7 sisa 1. Metode ini langsung tapi terbatas pada satu nilai n spesifik. Jika n-nya sangat besar, seperti n = 7(1000000) + 3, kita tetap harus menghitung 5n yang besar lalu membaginya.

Metode Kongruensi: Kita gunakan fakta n ≡ 3 (mod 7). Maka 5n ≡ 5×3 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7). Selesai. Metode ini elegan, general, dan bekerja untuk semua n dalam bentuk itu, sekalipun n bernilai triliunan. Ia memanfaatkan sifat aljabar modulo sehingga kita tidak perlu melakukan perhitungan bilangan raksasa.

Kesimpulan singkatnya: untuk pemeriksaan cepat dengan contoh kecil, substitusi langsung cukup. Namun, untuk pemahaman mendalam, pembuktian umum, dan penyelesaian soal yang kompleks atau general, metode kongruensi adalah pilihan yang jauh lebih efektif dan powerful.

Akhir Kata

Source: slidesharecdn.com

Jadi, gimana, udah makin cerah kan pemahamannya? Intinya, saat n bersisa 3 saat dibagi 7, maka 5n akan selalu bersisa 1 saat dibagi 7. Pola yang rapi dan konsisten ini menunjukkan keindahan matematika yang sering tersembunyi. Jangan cuma diinget, coba deh praktikin sendiri dengan angka-angka lain. Tantang dirimu buat nemuin pola serupa untuk pembagi atau pengali yang berbeda.

Siapa tau, dari sini kamu malah bisa nemuin insight baru yang nggak terduga. Selamat bereksplorasi!

FAQ Umum

Apakah hasil ini (sisa 1) akan selalu sama untuk semua n yang bersisa 3 dibagi 7?

Jadi, kalau sisa 5n dibagi 7 adalah 3 saat n bersisa 3, itu seperti menemukan pola rahasia yang bikin tugas jadi lebih cepat. Nah, prinsip efisiensi serupa juga berlaku saat kamu lagi selesai ngetik, di mana kamu bisa langsung tutup dokumen dengan Tombol keyboard untuk menutup Microsoft Word 2007 tanpa ribet. Dengan begitu, kamu bisa fokus balik ke soal sisa pembagian tadi sambil hemat waktu, karena hidup terlalu singkat untuk hal-hal yang bertele-tele.

Ya, pasti. Ini adalah sifat dasar kongruensi modulo. Selama n memenuhi kondisi n ≡ 3 (mod 7), maka 5n akan selalu ≡ 1 (mod 7).

Bisakah konsep ini diterapkan untuk angka selain 5 dan 7?

Tentu bisa! Konsepnya universal. Misalnya, cari “sisa 4n dibagi 11 bila n sisanya 2”. Langkah penyelesaiannya serupa: nyatakan n, kalikan, lalu sederhanakan modulo-nya.

Mengapa metode kongruensi dianggap lebih efektif daripada substitusi angka langsung?

Kongruensi memberikan pembuktian umum yang valid untuk semua kasus, bukan hanya contoh spesifik. Metode ini lebih kuat, elegan, dan efisien untuk soal yang kompleks.

Adakah cara visual yang mudah untuk memahami pola ini?

Bisa dengan “roda modulo” atau tabel siklus. Bayangkan lingkaran dengan angka 0 sampai 6. Dari angka 3 (sisa n), loncat 5 langkah berulang kali (karena dikali 5), kamu akan selalu mendarat di angka 1.

Bagaimana jika yang diketahui adalah sisa dari 5n, lalu kita disuruh mencari kemungkinan sisa n?

Itu soal tipe kebalikan. Kamu harus mencari bilangan yang jika dikali 5 hasilnya kongruen dengan sisa yang diketahui mod 7. Ini melibatkan pencarian invers modulo.