Sisa Polinom pada (x‑1)(x‑2)(x‑3) dan Nilai S(-1) mungkin terdengar seperti teka-teki aljabar yang rumit, namun sebenarnya ini adalah petualangan logika yang elegan. Bayangkan Anda memiliki sebuah fungsi misterius, dan satu-satunya petunjuk adalah bekas jejaknya di titik-titik tertentu. Di sinilah teorema sisa berperan sebagai detektif andal, mengungkap potongan informasi yang tersembunyi hanya dari sisa pembagiannya. Konsep ini bukan sekadar manipulasi simbol, melainkan fondasi yang powerful untuk memahami perilaku polinom.
Mari kita bedah kasus spesifik dengan pembagi (x-1)(x-2)(x-3). Ketika sebuah polinom P(x) dibagi oleh ketiga faktor linear ini, sisa yang dihasilkan pasti berbentuk kuadrat, misalnya ax² + bx + c. Keindahannya, kita bisa memecahkan misteri koefisien a, b, dan c hanya dengan mengetahui nilai P(x) di tiga titik sederhana: x=1, x=2, dan x=3. Dari sana, perjalanan menuju nilai S(-1) menjadi sebuah penerapan langsung yang memuaskan, menunjukkan bagaimana informasi minimal dapat menghasilkan wawasan yang maksimal.
Pengantar dan Konsep Dasar Polinom
Polinom, atau suku banyak, adalah ekspresi aljabar yang terdiri dari variabel dan koefisien, yang hanya melibatkan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pangkat bilangan bulat non-negatif. Derajat polinom ditentukan oleh pangkat tertinggi variabelnya. Misalnya, P(x) = 2x³
-x + 5 memiliki derajat 3. Nilai polinom pada suatu titik, katakanlah x = a, diperoleh dengan mengganti (mensubstitusi) variabel x dengan nilai a tersebut, yang ditulis sebagai P(a).
Konsep kunci dalam pembagian polinom adalah Teorema Sisa. Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu polinom P(x) dibagi oleh (x – a), maka sisanya adalah konstanta yang sama dengan P(a). Ini adalah alat yang sangat powerful karena memungkinkan kita mencari sisa tanpa melakukan pembagian panjang yang berbelit. Sebagai contoh sederhana, jika P(x) = x² + 3x – 4 dibagi oleh (x – 2), maka sisanya adalah P(2) = 2² + 3(2)
-4 = 6.
Jadi, kita bisa menulis P(x) = (x-2)*H(x) + 6, di mana H(x) adalah hasil bagi.
Teorema Sisa untuk Pembagi Linear
Teorema sisa menjadi fondasi untuk kasus yang lebih kompleks. Intinya, pembagi linear (x – a) memberikan sisa yang langsung terhubung dengan nilai fungsi di titik a. Prinsip ini nantinya akan kita perluas untuk menangani pembagi yang merupakan perkalian dari beberapa faktor linear, seperti (x-1)(x-2)(x-3).
Memahami Polinom Pembagi (x-1)(x-2)(x-3): Sisa Polinom Pada (x‑1)(x‑2)(x‑3) Dan Nilai S(-1)
Mari kita uraikan polinom pembagi ini menjadi bentuk standar. Perkalian ketiga faktor linear tersebut menghasilkan polinom kubik.
(x-1)(x-2)(x-3) = (x²
-3x + 2)(x-3) = x³
-3x² + 2x – 3x² + 9x – 6 = x³
-6x² + 11x – 6.
Akar-akar dari polinom pembagi ini adalah nilai x yang membuat nilainya nol, yaitu x = 1, x = 2, dan x =
3. Ini sesuai dengan Teorema Faktor: jika (x-a) adalah faktor dari suatu polinom, maka a adalah akarnya. Ketiga akar ini akan menjadi kunci untuk menemukan sisa pembagian.
Nilai Pembagi pada Akar-Akarnya
Tabel berikut membandingkan nilai polinom pembagi Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3) pada ketiga akarnya. Perhatikan bahwa pada titik-titik inilah Q(x) bernilai nol, sebuah fakta yang akan sangat kita manfaatkan.
| Nilai x | Faktor yang Menjadi Nol | Nilai Q(x) | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1 | (x-1) | 0 | Akar pertama |
| 2 | (x-2) | 0 | Akar kedua |
| 3 | (x-3) | 0 | Akar ketiga |
Menentukan Bentuk Umum Sisa Pembagian
Ketika sebuah polinom P(x) dibagi oleh polinom pembagi berderajat tiga seperti (x³
-6x² + 11x – 6), sisa pembagiannya harus memiliki derajat yang lebih rendah dari pembagi. Karena pembagi berderajat 3, maka sisa maksimal yang mungkin adalah berderajat 2. Jika derajat sisa sama atau lebih tinggi, berarti pembagian belum selesai dan kita bisa mendapatkan hasil bagi yang lebih tinggi lagi.
Oleh karena itu, bentuk umum sisa pembagian dapat kita nyatakan sebagai polinomial kuadrat: S(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta riil yang perlu kita cari. Parameter inilah yang menjadi misteri yang harus kita pecahkan menggunakan data yang ada.
Secara umum, jika polinom P(x) dibagi oleh polinom D(x) yang berderajat n, maka sisa pembagian S(x) akan memiliki derajat paling tinggi n-1.
Prosedur Mencari Sisa Polinom S(x)
Kita mulai dari hubungan dasar pembagian: P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)
– H(x) + S(x), dengan S(x) = ax² + bx + c. Kejeniusan metode ini terletak pada pemilihan nilai x yang strategis, yaitu akar-akar pembagi. Ketika kita substitusi x = 1, suku yang mengandung pembagi menjadi nol karena (1-1)(1-2)(1-3) =
0. Persamaannya pun tersederhanakan menjadi:
P(1) = 0
– H(1) + a(1)² + b(1) + c → P(1) = a + b + c.
Dengan cara yang sama, kita lakukan untuk kedua akar lainnya:
- Untuk x = 2: P(2) = a(2)² + b(2) + c = 4a + 2b + c
- Untuk x = 3: P(3) = a(3)² + b(3) + c = 9a + 3b + c
Di sini, nilai P(1), P(2), dan P(3) harus diketahui atau diberikan dalam soal. Misalkan dari soal diketahui: P(1) = 2, P(2) = 3, dan P(3) =
6. Maka kita peroleh Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV):
- a + b + c = 2
- 4a + 2b + c = 3
- 9a + 3b + c = 6
Kita selesaikan sistem ini. Kurangkan persamaan (2) dengan (1): (4a+2b+c)
-(a+b+c) = 3-2 → 3a + b = 1 …(4). Kurangkan persamaan (3) dengan (2): (9a+3b+c)
-(4a+2b+c) = 6-3 → 5a + b = 3 …(5). Selanjutnya, kurangkan (5) dengan (4): (5a+b)
-(3a+b) = 3-1 → 2a = 2 → a =
1. Substitusi a=1 ke (4): 3(1)+b=1 → b= –
2.
Substitusi a=1 dan b=-2 ke (1): 1 + (-2) + c = 2 → c = 3. Jadi, sisa pembagiannya adalah S(x) = 1x²
-2x + 3.
Perhitungan Nilai S(-1) dan Interpretasi
Source: slidesharecdn.com
Setelah menemukan bentuk eksplisit S(x) = x²
-2x + 3, menghitung nilai pada x = -1 menjadi hal yang sederhana: S(-1) = (-1)²
-2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6.
Nilai S(-1) = 6 ini memiliki arti khusus. Dalam konteks polinom asal P(x), ini berarti ketika P(x) dibagi oleh (x-1)(x-2)(x-3), nilai yang “tersisa” atau yang tidak habis dibagi pada titik x = -1 adalah 6. Jika kita mengetahui P(-1), kita bisa memverifikasi hubungan P(-1) = [(-1-1)(-1-2)(-1-3)]*H(-1) + 6. Namun, tanpa informasi H(x), S(-1) memberikan gambaran tentang perilaku P(x) di titik yang jauh dari akar pembaginya.
Rangkuman Langkah Kunci
Proses dari awal hingga mendapatkan S(-1) dapat dirangkum dalam poin-poin berikut:
- Identifikasi pembagi dan akar-akarnya. Tentukan derajat maksimal sisa (lebih rendah dari derajat pembagi).
- Tulis bentuk umum sisa S(x) dengan koefisien tak tentu (misal, ax²+bx+c untuk pembagi kubik).
- Substitusi setiap akar pembagi ke dalam persamaan P(x) = Pembagi
– H(x) + S(x). Suku pembagi akan bernilai nol, menyisakan P(akar) = S(akar). - Selesaikan sistem persamaan yang terbentuk untuk mendapatkan koefisien-koefisien pada S(x).
- Setelah S(x) diketahui, substitusi nilai x yang diminta (dalam hal ini -1) untuk mendapatkan jawaban akhir.
Aplikasi dan Contoh Variasi Soal
Metode ini sangat fleksibel. Bayangkan soal dengan pembagi berbeda, misalnya (x² + 1)(x – 4). Pembagi ini berderajat 3 (karena x²+1 tak dapat difaktorkan lagi di bilangan riil dan x-4 linear). Akar-akar riilnya hanya x = 4 dari faktor (x-4). Untuk faktor (x²+1), kita gunakan akar imajiner x = i dan x = -i, atau kita bisa juga menyamakan koefisien.
Bentuk sisa tetap kuadrat: S(x) = ax² + bx + c. Substitusi x=4 memberi satu persamaan: P(4)=16a+4b+c. Untuk mendapatkan dua persamaan lain, kita manfaatkan sifat bahwa jika x²+1 adalah faktor dari “bagian yang dibagi”, maka substitusi x=i (dimana i²=-1) akan memberikan P(i) = S(i). Dari sini kita bisa pisahkan bagian real dan imajiner untuk mendapatkan dua persamaan.
Perbandingan Proses untuk Berbagai Derajat Pembagi, Sisa Polinom pada (x‑1)(x‑2)(x‑3) dan Nilai S(-1)
Kompleksitas pencarian sisa sangat bergantung pada derajat pembagi. Tabel berikut membandingkan pendekatan untuk tiga kasus umum.
| Derajat Pembagi | Contoh | Bentuk Sisa | Jumlah Persamaan yang Dibutuhkan |
|---|---|---|---|
| 1 (Linear) | (x – 5) | Konstanta (k) | 1 (langsung dari P(5)) |
| 2 (Kuadrat) | (x²
|
Linear (ax + b) | 2 (dari 2 akar, x=2 dan x=3) |
| 3 (Kubik) | (x-1)(x-2)(x-3) | Kuadrat (ax²+bx+c) | 3 (dari 3 akar, x=1,2,3) |
Visualisasi dan Penjelasan Grafis
Bayangkan grafik polinom asal P(x) yang berderajat tinggi, misalnya derajat 5, dan grafik sisa pembagian S(x) = x²
-2x + 3 yang berbentuk parabola. Teorema sisa menjamin bahwa pada titik-titik x = 1, 2, dan 3 (akar-akar pembagi), nilai P(x) dan S(x) adalah sama persis. Secara grafis, ini berarti kurva P(x) dan kurva parabola S(x) pasti berpotongan di ketiga titik tersebut.
Di titik-titik lain, seperti x = -1, nilai P(x) dan S(x) umumnya berbeda. Jarak vertikal antara kurva P(x) dan S(x) pada x = -1 merepresentasikan besarnya suku (x-1)(x-2)(x-3)*H(x). Nilai S(-1)=6 yang kita hitung adalah tinggi kurva parabola S(x) tepat di atas x = -1.
Interpretasi grafis dari teorema sisa adalah: Sisa S(x) merupakan polinomial sederhana (berderajat rendah) yang grafiknya “menyentuh” atau memotong grafik P(x) yang lebih kompleks tepat pada setiap akar dari polinom pembagi.
Dengan kata lain, S(x) berperan sebagai aproksimasi atau “jejak” dari P(x) di sekitar daerah akar pembagi, dan nilai S(-1) memberikan titik referensi dari aproksimasi tersebut di lokasi yang spesifik.
Kesimpulan Akhir
Jadi, setelah menelusuri langkah-langkah analitisnya, terlihat jelas bahwa mencari Sisa Polinom pada (x‑1)(x‑2)(x‑3) dan Nilai S(-1) adalah demonstrasi yang sempurna tentang keanggunan matematika. Proses ini mengajarkan kita bahwa seringkali, struktur dan pola lebih berharga daripada mengetahui keseluruhan fungsi aslinya. Nilai S(-1) yang kita dapatkan bukan sekadar angka akhir, tetapi bukti konsistensi dari teorema yang telah dibangun. Penerapannya sangat luas, dari menyederhanakan soal olimpiade yang kompleks hingga menjadi dasar dalam interpolasi polinom.
Pada akhirnya, menguasai konsep ini ibarat memiliki kunci untuk membuka banyak pintu dalam pemahaman aljabar yang lebih dalam.
FAQ Terkini
Apa bedanya “sisa” dengan “hasil bagi” dalam pembagian polinom?
Sisa (S(x)) adalah polinom dengan derajat lebih rendah dari pembagi, yang “tersisa” setelah pembagian sempurna oleh hasil bagi (H(x)). Analoginya seperti pembagian bilangan: 7 dibagi 3 hasilnya 2 dengan sisa 1.
Mengapa sisa pembagian oleh (x-1)(x-2)(x-3) harus berbentuk kuadrat?
Karena pembaginya berderajat 3. Teorema sisa menyatakan bahwa derajat sisa harus lebih rendah dari derajat pembagi. Jadi, derajat maksimal yang mungkin untuk sisa adalah 2, yaitu berbentuk ax² + bx + c.
Bagaimana jika yang diketahui bukan nilai P(1), P(2), P(3) tetapi nilai P di titik lain?
Metode standar ini tidak akan langsung bekerja. Kita membutuhkan informasi nilai polinom tepat pada akar-akar pembagi (x=1,2,3) untuk membuat sistem persamaan yang solvable. Informasi di titik lain membutuhkan pendekatan yang berbeda.
Apakah nilai S(-1) sama dengan nilai P(-1)?
Tidak selalu. S(-1) adalah nilai fungsi sisa di x=-1. Nilai P(-1) hanya akan sama dengan S(-1) jika hasil bagi H(-1) bernilai nol. Secara umum, P(-1) = (Pembagi di x=-1)*H(-1) + S(-1).
Bisakah metode ini digunakan untuk pembagi dengan akar imajiner atau kembar?
Bisa. Prinsipnya tetap sama. Untuk akar kembar, diperlukan pendekatan tambahan karena substitusi langsung hanya memberi satu persamaan; kita mungkin perlu menggunakan turunan (Teorema Sisa Berulang).
