Suku ke‑12 pada barisan 1, 3, 6, 10, … menampilkan keindahan pola barisan segitiga yang sering dijumpai dalam matematika dasar, sekaligus membuka pintu pemahaman tentang hubungan kombinatorial dan visual geometris.
Barisan ini terbentuk dari penjumlahan berurutan 1 + 2 + 3 + … + n, menghasilkan nilai yang meningkat secara kuadrat setengah, sehingga setiap suku ke‑n dapat dihitung dengan rumus sederhana namun kuat, dan khususnya suku ke‑12 menghasilkan 78 titik yang tersusun rapi dalam bentuk segitiga sama sisi.
Barisan Segitiga: Definisi, Rumus, dan Pola
Barisan yang dimulai dengan 1, 3, 6, 10, … dikenal sebagai barisan segitiga karena setiap suku menggambarkan jumlah titik yang dapat membentuk segitiga sama sisi. Memahami pola ini membantu menghubungkan konsep aritmetika sederhana dengan geometri dan kombinasi.
Definisi dan Pola Barisan Segitiga
Barisan segitiga didefinisikan sebagai deret yang setiap sukunya merupakan jumlah bilangan bulat positif secara berurutan, dimulai dari
Suku ke‑12 pada barisan 1, 3, 6, 10, dan seterusnya menghasilkan angka 78, menandakan pertambahan progresif yang menarik. Bila Anda ingin mengukur ruang penyimpanan, cek Ukuran Tinggi Tabung Gas Elpiji 12 kg yang sesuai dengan standar industri. Dengan data itu, perbandingan antara tinggi tabung dan urutan suku ke‑12 menjadi lebih jelas.
1. Pola penambahan terlihat jelas
Suku ke‑12 pada barisan 1, 3, 6, 10, dan seterusnya adalah 78 karena pola segitiga. Memahami pola ini membantu menjelaskan fenomena fisika, contohnya pada artikel Kecepatan Balok pada Pegas dengan Gesekan yang membahas percepatan blok. Kembali, suku ke‑12 tetap memberi contoh konkret pertumbuhan kuadrat dalam matematika.
selisih antara suku ke‑n dan suku ke‑(n‑1) bertambah satu setiap langkah. Hubungan formal antara suku ke‑n (Tₙ) dan nilai n dapat dituliskan sebagai Tₙ = 1 + 2 + … + n.
| n | Tₙ | n | Tₙ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 21 |
| 2 | 3 | 7 | 28 |
| 3 | 6 | 8 | 36 |
| 4 | 10 | 9 | 45 |
| 5 | 15 | 10 | 55 |
Rumus Umum Suku ke‑n
Untuk memperoleh nilai suku ke‑n tanpa harus menambahkan satu per satu, dapat diturunkan rumus umum berdasarkan penjumlahan aritmetika. Langkah‑langkah derivasi meliputi:
- Tuliskan penjumlahan berurutan: Tₙ = 1 + 2 + … + n.
- Kalikan kedua sisi dengan 2 sehingga 2Tₙ = (1 + n) + (2 + (n‑1)) + ….
- Perhatikan bahwa setiap pasangan menghasilkan nilai konstan (n + 1) dan ada n pasangan.
- Sehingga 2Tₙ = n × (n + 1) dan Tₙ = n × (n + 1) / 2.
Tₙ = n × (n + 1) / 2 Rumus ini memberikan nilai suku ke‑n secara langsung.
Contoh perhitungan suku ke‑5 menggunakan rumus tersebut dapat dilihat pada tabel berikut:
| n | Tₙ (rumus) |
|---|---|
| 5 | 5 × 6 / 2 = 15 |
Menghitung Suku ke‑12 dan Visualisasi Geometris
Source: kompas.com
Setelah rumus dasar dipahami, menghitung suku ke‑12 menjadi sekadar substitusi nilai n ke dalam persamaan. Hasilnya dapat divisualisasikan sebagai segitiga berisi 12 baris titik.
Suku ke‑12 pada barisan 1, 3, 6, 10, dan seterusnya menghasilkan angka 78 yang menandai pertumbuhan pola segitiga. Di sisi lain, Siswa SMK Ikut Olimpiade Sains O2SN, MIPA, Cerdas Cermat menunjukkan semangat serupa dalam memecahkan soal‑soal menantang. Kembali ke barisan tersebut, suku ke‑12 tetap menjadi contoh menarik dalam pembelajaran matematika.
Menghitung Suku ke‑12
Proses perhitungan suku ke‑12 mengikuti langkah‑langkah berikut:
- Identifikasi nilai n = 12.
- Masukkan n ke dalam rumus Tₙ = n × (n + 1) / 2.
- Hitung perkalian: 12 × 13 = 156.
- Bagi hasil dengan 2: 156 / 2 = 78.
| Langkah |
|---|
| n = 12 |
| n × (n + 1) = 156 |
| 156 ÷ 2 = 78 |
| T₁₂ = 78 |
Representasi segitiga dengan 12 baris titik dapat digambarkan secara teks sebagai berikut:
- -* - * * * *
Visualisasi Geometris Barisan Segitiga
Setiap suku mewakili jumlah titik yang dapat disusun menjadi segitiga sama sisi. Pada tiga baris pertama, pola titik terlihat jelas:
- -* -
Tabel perbandingan antara jumlah titik (suku) dan jumlah baris pada segitiga:
| Baris | Titik (Suku) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 6 |
Setiap penambahan baris meningkatkan jumlah titik sebesar nilai baris itu sendiri, menghasilkan pola segitiga yang konsisten.
Kaitan Kombinasi, Perbedaan, dan Aplikasi Nyata
Barisan segitiga tidak hanya muncul dalam geometri, tetapi juga dalam kombinasi dan banyak bidang praktis. Memahami hubungannya dengan kombinasi memperluas aplikasi rumus.
Hubungan dengan Kombinasi
Suku ke‑n dalam barisan segitiga sama dengan kombinasi (n + 1) pilih 2, ditulis C(n + 1, 2). Ini dapat dibuktikan dengan substitusi nilai ke dalam definisi kombinasi.
| n | Tₙ | C(n+1, 2) | Selisih |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 3 | 3 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | 0 |
| 4 | 10 | 10 | 0 |
| 5 | 15 | 15 | 0 |
| 12 | 78 | 78 | 0 |
Perbedaan Pertama dan Kedua, Suku ke‑12 pada barisan 1, 3, 6, 10, …
Perbedaan pertama adalah selisih antara suku berurutan, sedangkan perbedaan kedua adalah selisih antara perbedaan pertama yang berurutan. Pada barisan segitiga, perbedaan pertama meningkat secara konstan satu satuan, sehingga perbedaan kedua tetap konstan.
- Perbedaan pertama: 2, 3, 4, 5, … (menambah satu setiap langkah).
- Perbedaan kedua: 1, 1, 1, … (selalu satu).
| n | Perbedaan Pertama | Perbedaan Kedua |
|---|---|---|
| 1 | – | – |
| 2 | 2 | – |
| 3 | 3 | 1 |
| 4 | 4 | 1 |
| 5 | 5 | 1 |
| 6 | 6 | 1 |
| 7 | 7 | 1 |
| 8 | 8 | 1 |
| 9 | 9 | 1 |
| 10 | 10 | 1 |
| 11 | 11 | 1 |
| 12 | 12 | 1 |
Perbedaan kedua pada barisan segitiga selalu bernilai 1, menandakan pertumbuhan linier pada perbedaan pertama.
Penerapan dalam Masalah Nyata
Barisan segitiga muncul dalam berbagai konteks, mulai dari pengaturan objek fisik hingga perhitungan kombinatorial dalam ilmu komputer.
| Bidang Aplikasi | Deskripsi Singkat |
|---|---|
| Arsitektur | Penghitungan jumlah batu dalam piramida berlapis. |
| Ilmu Komputer | Menentukan jumlah pasangan unik dalam jaringan. |
| Statistika | Menghitung kombinasi dua sampel dari populasi. |
Ilustrasi teks penggunaan dalam pengaturan piramida batu:
Lapis 1: 1 batu Lapis 2: 3 batu Lapis 3: 6 batu ... Lapis 12: 78 batu Total = 78 batu
Barisan segitiga menyediakan cara cepat menghitung total elemen dalam struktur berlapis, mengurangi kebutuhan penghitungan manual.
Ekstensi dan Variasi Barisan
Dengan menambahkan faktor konstan pada setiap suku, barisan segitiga dapat dimodifikasi menjadi pola baru yang tetap memiliki hubungan linier.
Ekstensi dan Variasi Barisan
Jika setiap suku asli ditambah dengan angka konstan k, maka suku baru menjadi Tₙ′ = Tₙ + k. Contoh dengan k = 5 ditunjukkan pada tabel berikut:
| Tₙ (asli) | Faktor Penambahan (k) | Tₙ′ (baru) | Selisih |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 6 | 5 |
| 3 | 5 | 8 | 5 |
| 6 | 5 | 11 | 5 |
| 10 | 5 | 15 | 5 |
| 15 | 5 | 20 | 5 |
Prosedur pembuatan barisan baru:
- Tentukan barisan segitiga standar menggunakan Tₙ = n × (n + 1)/2.
- Pilih nilai konstan k yang akan ditambahkan pada tiap suku.
- Hitung suku baru dengan rumus Tₙ′ = Tₙ + k.
- Verifikasi bahwa selisih antar suku baru tetap konstan k.
Penambahan faktor konstan menggeser seluruh barisan ke atas tanpa mengubah pola pertumbuhan, menghasilkan variasi yang mudah dipahami.
Ringkasan Akhir: Suku Ke‑12 Pada Barisan 1, 3, 6, 10, …
Dengan menelusuri definisi, rumus umum, hingga aplikasi nyata, suku ke‑12 pada barisan 1, 3, 6, 10, … terbukti lebih dari sekadar urutan angka; ia menjadi jembatan antara konsep abstrak dan visualisasi yang memudahkan pemahaman matematika dalam konteks sehari‑hari.
Daftar Pertanyaan Populer
Apa beda antara barisan segitiga dan barisan aritmetika?
Barisan segitiga menambah selisih yang bertambah satu tiap langkah (1,2,3,…), sedangkan barisan aritmetika menambah selisih konstan setiap suku.
Bagaimana cara menghubungkan barisan segitiga dengan kombinasi?
Suku ke‑n sama dengan C(n+1,2), yaitu banyaknya cara memilih 2 elemen dari kumpulan n+1 elemen.
Apakah barisan segitiga dapat diaplikasikan dalam kehidupan nyata?
Ya, pola ini muncul dalam penyusunan bola ping‑pong dalam piramida, perhitungan jumlah titik pada jaringan segitiga, serta dalam teori graf dan kombinatorik.
