Suku ke‑30 dari deret 4, 12, 22, 34 adalah sebuah destinasi yang tersembunyi di balik labirin pola bilangan. Seperti jejak yang ditinggalkan oleh alam semesta dalam bahasa matematika, setiap angka dalam barisan ini adalah sebuah petunjuk, sebuah loncatan yang membisikkan rahasia bentuknya. Deret ini bukanlah barisan biasa, melainkan sebuah tarian angka yang geraknya mengikuti irama kuadrat, di mana setiap langkahnya membawa kita lebih dalam ke dalam pemahaman tentang keteraturan yang tersembunyi di balik kekacauan yang tampak.
Mengungkap nilai suku yang jauh tersebut memerlukan lebih dari sekadar penjumlahan berulang. Ini adalah sebuah ekspedisi untuk memecahkan kode, menemukan rumus umum yang menjadi jantung dari pola ini. Perjalanan dimulai dari mengamati dengan saksama empat bilangan pertama, menyelidiki selisih antar suku, hingga akhirnya merumuskan sebuah persamaan yang mampu membawa kita melompati puluhan suku langsung menuju jawaban yang dicari.
Memahami Pola Deret Bilangan
Untuk menemukan suku ke-30 dari deret 4, 12, 22, 34, langkah pertama dan terpenting adalah mengidentifikasi polanya dengan cermat. Pendekatan sistematis dimulai dengan melihat selisih antar suku. Dari 4 ke 12 selisihnya 8, dari 12 ke 22 selisihnya 10, dan dari 22 ke 34 selisihnya
12. Terlihat selisih pertama ini belum konstan, tetapi membentuk pola sendiri: 8, 10, 12, yang merupakan deret aritmatika dengan beda 2.
Ketika selisih pertama belum konstan, kita lanjutkan dengan menghitung selisih kedua.
Analisis Pola Melalui Tabel
Menganalisis pola menjadi lebih mudah dengan bantuan tabel. Tabel berikut merangkum nilai suku dan selisihnya untuk lima suku pertama, di mana suku kelima kita prediksi berdasarkan pola yang berjalan.
| Suku ke-n (n) | Nilai Suku (Un) | Selisih Pertama | Selisih Kedua |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | – | – |
| 2 | 12 | 8 | – |
| 3 | 22 | 10 | 2 |
| 4 | 34 | 12 | 2 |
| 5 | 48 | 14 | 2 |
Dari tabel, terlihat bahwa selisih kedua bernilai konstan, yaitu 2. Inilah ciri khas dari sebuah deret kuadratik. Deret ini bukan aritmatika karena selisih pertamanya tidak sama, dan juga bukan geometri karena rasio antar sukunya (12/4=3, 22/12≈1.83) tidak konsisten.
Menemukan Rumus Umum Suku ke-n
Karena selisih kedua konstan, rumus umum suku ke-n pasti berbentuk persamaan kuadrat: U n = An² + Bn + C. Tugas kita adalah mencari nilai konstanta A, B, dan C. Langkah pertama, nilai A setengah dari selisih kedua konstan. Karena selisih kedua adalah 2, maka A = 2/2 = 1. Jadi bentuk sementara rumusnya adalah U n = n² + Bn + C.
Selanjutnya, kita substitusi nilai n dan U n yang kita ketahui untuk membentuk sistem persamaan linear. Kita gunakan suku pertama (n=1, U 1=4) dan suku kedua (n=2, U 2=12).
- Untuk n=1: 1² + B(1) + C = 4 → 1 + B + C = 4 → B + C = 3.
- Untuk n=2: 2² + B(2) + C = 12 → 4 + 2B + C = 12 → 2B + C = 8.
Dengan mengurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua (2B+C)
-(B+C) = 8 – 3, kita peroleh B =
5. Substitusi B=5 ke B+C=3 menghasilkan C = –
2. Dengan demikian, rumus umum suku ke-n deret ini adalah:
Un = n² + 5n – 2
Kita dapat verifikasi cepat: untuk n=3, U 3=9+15-2=22 (sesuai). Untuk n=4, U 4=16+20-2=34 (sesuai). Rumus telah terbukti benar.
Menentukan Rumus Umum dan Suku ke-30: Suku Ke‑30 Dari Deret 4, 12, 22, 34
Setelah rumus umum U n = n² + 5n – 2 ditemukan, menentukan suku ke-30 menjadi proses substitusi yang langsung. Namun, ketelitian dalam perhitungan aritmatika sederhana justru sering menjadi titik kesalahan. Mari kita lakukan langkah demi langkah.
Prosedur Perhitungan Suku ke-30
Kita substitusikan nilai n = 30 ke dalam setiap komponen rumus. Perhitungan ini lebih baik dilakukan secara terstruktur untuk meminimalisir kesalahan.
U30 = (30)² + 5*(30)
2
Langkah 1: Hitung kuadrat dari n → 30² = 900.
Langkah 2: Hitung perkalian 5n → 530 = 150.
Langkah 3: Jumlahkan semua komponen → 900 + 150 – 2.
Langkah 4: Lakukan pengurangan terakhir → 900 + 150 = 1050, kemudian 1050 – 2 = 1048.
Jadi, nilai dari suku ke-30 deret tersebut adalah 1048.
Verifikasi Rumus dan Menghindari Kesalahan
Sebelum mempercayai rumus untuk n besar, sangat penting untuk memverifikasinya dengan suku-suku yang sudah diketahui. Hitung ulang suku ke-1 hingga ke-4 menggunakan rumus U n = n² + 5n – 2:
- U 1 = 1 + 5 – 2 = 4 (Benar).
- U 2 = 4 + 10 – 2 = 12 (Benar).
- U 3 = 9 + 15 – 2 = 22 (Benar).
- U 4 = 16 + 20 – 2 = 34 (Benar).
Verifikasi ini memastikan kita tidak salah dalam menentukan koefisien A, B, dan C. Potensi kesalahan umum lainnya terletak pada perhitungan akhir untuk n besar, seperti salah dalam mengkuadratkan (misalnya 30² dihitung 90), lupa mengalikan koefisien B dengan n, atau salah urutan operasi. Cara menghindarinya adalah dengan menuliskan setiap langkah perhitungan secara jelas seperti pada blockquote di atas, dan jika memungkinkan, melakukan kalkulasi silang.
Aplikasi dan Variasi Soal Serupa
Source: studyxapp.com
Pemahaman tentang deret kuadratik menjadi lebih kokoh ketika kita berlatih dengan variasi pola lainnya. Pola bilangan kuadratik dapat muncul dengan koefisien dan konstanta yang berbeda-beda, tetapi ciri utamanya tetap: selisih kedua yang konstan. Berikut beberapa contoh untuk memperkaya latihan.
Contoh Variasi Pola Kuadratik
Tabel berikut menyajikan tiga contoh deret kuadratik dengan tingkat kerumitan berbeda, lengkap dengan penyelesaian kuncinya.
| Deret Awal (5 suku) | Pola & Rumus Un | Nilai U10 | Penjelasan Kunci |
|---|---|---|---|
| 2, 5, 10, 17, 26 | Selisih kedua =
2. Rumus U n = n² + 1 |
10² + 1 = 101 | Suku pertama (n=1) adalah 1²+1=2. Pola ini dekat dengan bilangan kuadrat sempurna. |
| 3, 12, 25, 42, 63 | Selisih kedua = A=
2. Rumus U n = 2n² + n |
2*100 + 10 = 210 | Perhatikan koefisien A=2 berasal dari selisih kedua (4) dibagi
2. Verifikasi untuk n=2 2*4+2=10? Salah. Koreksi: U n = 2n² + n. Untuk n=2: 8+2=10? Masih salah (harus 12). Perlu pengecekan ulang. Mari kita hitung: Selisih: 9,13,17,
2. Dari n=1 2(1)+B+C=3 → 2+B+C=3 → B+C= 1. n=2 2(4)+2B+C=12 → 8+2B+C=12 → 2B+C= 4. Kurangkan B=3, maka C=- 2. Rumus U n=2n²+3n-2. U 10=200+30-2=228. |
| -1, 6, 17, 32, 51 | Selisih kedua = A=
2. Rumus U n = 2n² + n – 4 |
200 + 10 – 4 = 206 | Memiliki konstanta negatif. Verifikasi untuk n=1: 2+1-4=-1 (Benar). |
Koreksi pada contoh kedua di atas menunjukkan pentingnya verifikasi. Rumus yang benar untuk deret 3,12,25,42,63 adalah U n = 2n² + 3n – 2, dan U 10 = 228.
Perbandingan Jenis-Jenis Deret
Membedakan jenis deret adalah keterampilan dasar. Deret aritmatika memiliki selisih pertama (beda) yang konstan, dan grafiknya membentuk titik-titik yang segaris lurus. Deret geometri memiliki rasio (pembagi/pengali) yang konstan antar suku, pertumbuhannya eksponensial. Sementara deret kuadratik, seperti yang kita bahas, memiliki selisih kedua yang konstan, dan grafiknya membentuk parabola.
Penerapan dalam Soal Cerita
Sebuah pagar dibangun dengan susunan batu bata. Baris paling bawah memuat 6 bata, baris di atasnya memuat 9 bata, baris berikutnya 14 bata, dan baris keempat 21 bata. Jika pola penambahan jumlah bata per baris mengikuti deret kuadratik, berapa banyak bata pada baris ke-15?
Penyelesaian: Dari data 6, 9, 14, 21, didapat selisih pertama: 3, 5, 7 dan selisih kedua: 2, 2 (konstan). Dengan A=1, dan menggunakan suku pertama dan kedua, kita peroleh rumus U n = n² + 2n + 3. Maka, bata pada baris ke-15 adalah 15² + 2*15 + 3 = 225 + 30 + 3 = 258 bata.
Visualisasi dan Penjelasan Konseptual
Memvisualisasikan deret bilangan membantu memahami perilaku dan pertumbuhannya secara intuitif. Jika kita memplot titik-titik koordinat dari deret kita, dengan sumbu X sebagai nomor suku (n) dan sumbu Y sebagai nilai suku (U n), kita akan mendapatkan gambaran yang jelas.
Visualisasi Grafis dan Makna Selisih Konstan
Koordinat untuk lima suku pertama adalah (1,4), (2,12), (3,22), (4,34), (5,48). Ketika titik-titik ini diplot pada bidang kartesius, mereka tidak terletak pada satu garis lurus, melainkan membentuk sebuah kurva yang melengkung. Kurva ini adalah bagian dari parabola, yang sesuai dengan bentuk persamaan kuadrat U n = n² + 5n – 2. Kekonstanan selisih kedua (dalam hal ini 2) secara matematis berkaitan dengan koefisien A pada persamaan kuadrat.
Dalam kalkulus, selisih kedua yang konstan ini merepresentasikan turunan kedua yang konstan, yang memang merupakan ciri fungsi kuadrat.
Perbandingan Pertumbuhan dengan Deret Lain
Mari bandingkan pertumbuhan deret kuadratik kita (4, 12, 22, 34,…) dengan deret aritmatika sederhana, misalnya 4, 9, 14, 19,… yang memiliki beda 5. Pada awalnya, nilai suku mereka berdekatan. Namun, seiring n membesar, deret kuadratik tumbuh jauh lebih cepat. Pada n=10, deret aritmatika kita hanya mencapai 4 + 9*5 = 49, sementara deret kuadratik kita sudah mencapai 10²+50-2=148.
Perbedaan kecepatan pertumbuhan ini semakin melebar untuk n yang lebih besar, menunjukkan sifat pertumbuhan kuadratik yang lebih “curam” dibandingkan pertumbuhan linear.
Ilustrasi dalam Konteks Nyata, Suku ke‑30 dari deret 4, 12, 22, 34
Pola seperti ini sering muncul dalam situasi yang melibatkan luasan atau susunan dua dimensi. Bayangkan kita menyusun kursi di sebuah ruang dengan pola tertentu. Baris pertama berisi 4 kursi. Setiap baris berikutnya, karena bentuk ruang yang melebar, kita tambahkan kursi dengan pola yang meningkat: baris kedua punya 12, ketiga 22, dan seterusnya. Pola penambahan ini tidak tetap (bukan aritmatika), tetapi mengikuti aturan kuadratik karena terkait dengan penambahan panjang dan lebar susunan.
Contoh lain adalah menghitung jumlah titik persimpangan dari sejumlah garis yang saling berpotongan, atau jumlah maksimum daerah yang terbentuk dari potongan sejumlah garis lurus. Konsep deret kuadratik memberikan kerangka untuk memprediksi jumlah dalam pola-pola kompleks semacam itu.
Penutup
Dengan demikian, perjalanan menelusuri deret ini telah membawa kita dari pengamatan sederhana menuju generalisasi yang elegan. Nilai suku ke‑30 bukan lagi sebuah misteri, tetapi sebuah bukti nyata dari kekuatan pola dan rumus. Seperti menemukan konstelasi di antara bintang-bintang yang berserakan, memahami deret kuadratik membuka mata untuk melihat keteraturan yang mendasari banyak fenomena, baik dalam abstraksi matematika maupun dalam pola-pola yang muncul di dunia nyata.
Setiap bilangan adalah sebuah cerita, dan rumus adalah kunci untuk membacanya.
Tanya Jawab Umum
Apakah rumus suku ke-n untuk deret ini selalu berbentuk kuadrat?
Ya, karena selisih kedua dari deret ini konstan, itu adalah ciri khas bahwa rumus umumnya pasti merupakan fungsi kuadrat berbentuk Un = an² + bn + c.
Bagaimana jika deretnya dimulai dari suku ke-0 (n=0), apakah rumusnya berubah?
Nilai sukunya akan berubah jika indeksnya diubah. Jika suku pertama (4) dianggap sebagai suku ke-0, maka rumus umumnya perlu diturunkan ulang berdasarkan data baru, yang akan menghasilkan persamaan kuadrat yang berbeda, meskipun pola bilangannya sama.
Bisakah deret seperti ini memiliki selisih ketiga yang konstan?
Jika selisih ketiga konstan, maka deret tersebut mengikuti pola kubik (pangkat tiga), dan rumus umum suku ke-n akan berbentuk polinomial pangkat tiga.
Apakah ada cara cepat mencari suku ke-30 tanpa rumus?
Tidak praktis. Mencari suku ke-30 tanpa rumus mengharuskan kita menghitung semua suku dari ke-5 hingga ke-29 secara berurutan, yang sangat memakan waktu dan rentan kesalahan.
Dalam konteks apa pola deret kuadratik seperti ini muncul dalam kehidupan sehari-hari?
Pola ini dapat muncul dalam menghitung jumlah kursi yang disusun berbentuk segitiga atau persegi, jumlah bata pada susunan piramida, atau pertumbuhan suatu objek yang luasnya bertambah secara kuadratik terhadap dimensi liniernya.
