Tentukan invers fungsi f(x)= (3x+5)/(x-7) bukan sekadar latihan aljabar belaka, melainkan sebuah operasi politik terhadap struktur matematika itu sendiri, di mana kita membongkar relasi kuasa antara variabel untuk menemukan fungsi yang membatalkan aturan awal. Proses ini mengungkap bagaimana sebuah aturan, seperti fungsi rasional, dapat dikendalikan dan dibalik asalkan memenuhi syarat ketat berupa sifat satu-satu, sebuah prinsip yang kerap diabaikan dalam wacana publik yang lebih suka pada simplifikasi.
Fungsi ini, dengan domainnya yang terbatas pada semua bilangan real kecuali tujuh, menciptakan lanskap matematika yang terfragmentasi. Mencari inversnya berarti melakukan negosiasi dengan bentuk (ax+b)/(cx+d), sebuah bentuk yang umum namun penuh jebakan jika prosedur sistematis diabaikan. Hasilnya, fungsi invers, akan memetakan kembali setiap keluaran ke masukannya yang unik, membentuk simetri yang sempurna sekaligus mengonfirmasi kedaulatan hubungan satu-satu tersebut.
Pendahuluan dan Konsep Dasar Fungsi Invers
Sebelum kita menyelami cara mencari invers dari fungsi spesifik seperti f(x) = (3x+5)/(x-7), ada baiknya kita sepakati dulu apa itu fungsi invers dan mengapa kita perlu mempelajarinya. Bayangkan fungsi sebagai sebuah mesin: kamu masukkan bahan baku (input), mesin itu memprosesnya dengan aturan tertentu, lalu keluar produk (output). Fungsi invers adalah mesin yang bekerja secara terbalik. Ia mengambil produk dari mesin pertama sebagai input-nya, lalu mengolahnya kembali menjadi bahan baku awal.
Secara formal, invers dari fungsi f dinotasikan sebagai f⁻¹. Jika f memetakan x ke y, sehingga f(x) = y, maka f⁻¹ akan memetakan y kembali ke x, sehingga f⁻¹(y) = x. Hubungan ini bersifat timbal balik. Namun, tidak semua fungsi bisa dibalik begitu saja. Syarat mutlak sebuah fungsi memiliki invers adalah ia harus merupakan fungsi satu-satu atau injektif.
Artinya, setiap nilai y dalam range-nya hanya berasal dari tepat satu nilai x dalam domain-nya. Jika satu nilai y bisa dihasilkan oleh lebih dari satu x, maka proses membalikkan akan bingung: nilai y itu mau dikembalikan ke x yang mana?
Contoh Sederhana dan Hubungan Domain-Range, Tentukan invers fungsi f(x)= (3x+5)/(x-7)
Mari kita ambil contoh sederhana, fungsi linear f(x) = 2x +
3. Fungsi ini jelas satu-satu karena grafiknya garis lurus yang tidak pernah mendatar. Untuk mencari inversnya, kita ganti f(x) dengan y, lalu tukar posisi x dan y, sehingga menjadi x = 2y +
3. Selanjutnya, kita selesaikan untuk y: y = (x – 3)/2. Jadi, inversnya adalah f⁻¹(x) = (x – 3)/2.
Di sini terlihat hubungan penting: domain dari fungsi f menjadi range dari fungsi f⁻¹, dan sebaliknya, range dari f menjadi domain dari f⁻¹. Pada contoh tadi, domain dan range f adalah semua bilangan real, begitu pula dengan f⁻¹. Konsep pertukaran domain dan range ini akan sangat membantu ketika kita berhadapan dengan fungsi yang lebih kompleks, di mana terdapat pembatasan nilai.
Analisis Fungsi f(x) = (3x+5)/(x-7): Tentukan Invers Fungsi F(x)= (3x+5)/(x-7)
Source: amazonaws.com
Fungsi f(x) = (3x+5)/(x-7) termasuk dalam keluarga fungsi rasional, yaitu fungsi yang berbentuk pecahan dengan pembilang dan penyebut berupa polinomial. Langkah pertama sebelum mencari invers adalah memahami karakteristik dasarnya, terutama domain dan range-nya, karena ini akan langsung menentukan karakteristik fungsi invers nanti.
Penyebut fungsi ini adalah (x-7). Karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi, maka x tidak boleh sama dengan
7. Jadi, domain dari f(x) adalah semua bilangan real kecuali 7, atau dalam notasi interval: x | x ∈ R, x ≠ 7. Fungsi ini memiliki asimtot vertikal di garis x = 7, karena nilai fungsi akan mendekati tak hingga saat x mendekati 7 dari kiri atau kanan.
Asimtot Horizontal dan Sifat Satu-Satu
Untuk asimtot horizontal, kita amati perilaku fungsi saat x menuju tak hingga. Koefisien x di pembilang adalah 3 dan di penyebut adalah 1, sehingga asimtot horizontalnya adalah y = 3/1 = 3. Range dari fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali 3, y | y ∈ R, y ≠ 3. Mengapa? Karena nilai fungsi 3 tidak akan pernah tercapai, ia hanya didekati saat x membesar atau mengecil tak terhingga.
Untuk membuktikan f(x) satu-satu, kita bisa menggunakan uji garis horizontal secara konseptual pada grafiknya, atau secara aljabar dengan mengasumsikan f(a) = f(b) dan membuktikan bahwa ini mengharuskan a = b. Misalkan (3a+5)/(a-7) = (3b+5)/(b-7). Dengan melakukan perkalian silang dan penyederhanaan, kita akan sampai pada persamaan 3a + 5b – 7*3a? Mari kita lakukan dengan hati-hati: (3a+5)(b-7) = (3b+5)(a-7). Ini menghasilkan 3ab -21a + 5b -35 = 3ab -21b + 5a –
35.
Suku 3ab dan -35 di kedua ruas saling menghilang, menyisakan -21a + 5b = -21b + 5a. Pindahkan semua suku ke satu ruas: -21a -5a + 5b + 21b = 0 -> -26a + 26b = 0 -> 26(b – a) = 0. Dari sini disimpulkan b = a. Terbukti fungsi ini satu-satu, sehingga memiliki invers.
Prosedur Penentuan Invers Fungsi Rasional
Mencari invers fungsi rasional bentuk (ax+b)/(cx+d) mengikuti prosedur aljabar yang sistematis. Metode utamanya adalah menukar variabel x dan y, lalu menyelesaikan persamaan untuk mendapatkan y kembali. Proses ini melibatkan manipulasi aljabar seperti perkalian silang, pengelompokan suku, dan pemfaktoran.
Berikut adalah langkah-langkah detail yang diterapkan pada f(x) = (3x+5)/(x-7), disajikan dalam tabel untuk membandingkan setiap langkah, proses aljabar, tujuannya, dan catatan penting yang perlu diwaspadai.
| Langkah | Proses Aljabar | Tujuan | Catatan Penting |
|---|---|---|---|
| 1. Ganti f(x) dengan y | y = (3x+5)/(x-7) | Mengubah notasi fungsi menjadi bentuk persamaan yang mudah dimanipulasi. | Langkah ini memisahkan variabel dependen dan independen. |
|
2. Tukar posisi x dan y |
x = (3y+5)/(y-7) | Menerapkan prinsip dasar invers
menukar peran input dan output. |
Ini adalah inti dari pencarian invers. Domain f (x ≠7) kini terkait dengan y. |
| 3. Selesaikan untuk y | x(y – 7) = 3y + 5 xy – 7x = 3y + 5 xy – 3y = 7x + 5 y(x – 3) = 7x + 5 |
Mengisolasi variabel y di satu sisi persamaan. | Perkalian silang menghilangkan penyebut. Kelompokkan semua suku yang mengandung y. |
| 4. Tuliskan hasil invers | y = (7x + 5)/(x – 3) | Mendapatkan rumus eksplisit untuk fungsi invers. | Faktor (x-3) di penyebut. Notasikan sebagai f⁻¹(x) = (7x+5)/(x-3). |
Dari proses ini, kita peroleh invers fungsi f⁻¹(x) = (7x+5)/(x-3). Perhatikan bagaimana struktur hasilnya tetap berupa fungsi rasional (ax+b)/(cx+d), tetapi koefisien-koefisiennya telah berubah posisi dan tanda.
Verifikasi dan Pemeriksaan Hasil Invers
Setelah mendapatkan rumus f⁻¹(x), sangat penting untuk memverifikasi kebenarannya. Cara paling meyakinkan adalah dengan menggunakan komposisi fungsi. Definisi dari fungsi invers mensyaratkan bahwa jika f memetakan x ke y, maka f⁻¹ harus memetakan y kembali ke x. Secara matematis, ini berarti komposisi f⁻¹(f(x)) harus menghasilkan x, dan juga f(f⁻¹(x)) harus menghasilkan x, untuk semua x dalam domain yang sesuai.
Mari kita lakukan verifikasi untuk f(x) = (3x+5)/(x-7) dan f⁻¹(x) = (7x+5)/(x-3). Kita akan menghitung kedua komposisi tersebut.
Verifikasi 1: f⁻¹(f(x)) = x
Substitusi f(x) ke dalam f⁻¹(x):
f⁻¹(f(x)) = (7
– f(x) + 5) / (f(x)
-3)
= (7
– ((3x+5)/(x-7)) + 5) / (((3x+5)/(x-7))
-3)
= ((21x+35)/(x-7) + 5) / (((3x+5)/(x-7))
-(3(x-7)/(x-7)))
= ((21x+35 + 5(x-7))/(x-7)) / ((3x+5 – 3x + 21)/(x-7))
= ((21x+35+5x-35)/(x-7)) / ((26)/(x-7))
= (26x/(x-7))
– ((x-7)/26) = x. Terbukti.
Verifikasi 2: f(f⁻¹(x)) = x
Substitusi f⁻¹(x) ke dalam f(x):
f(f⁻¹(x)) = (3
– f⁻¹(x) + 5) / (f⁻¹(x)
-7)
= (3
– ((7x+5)/(x-3)) + 5) / (((7x+5)/(x-3))
-7)
= ((21x+15)/(x-3) + 5) / (((7x+5)/(x-3))
-(7(x-3)/(x-3)))
= ((21x+15 + 5(x-3))/(x-3)) / ((7x+5 – 7x + 21)/(x-3))
= ((21x+15+5x-15)/(x-3)) / ((26)/(x-3))
= (26x/(x-3))
– ((x-3)/26) = x. Terbukti.
Kedua verifikasi ini mengonfirmasi bahwa hasil invers yang kita peroleh adalah benar. Proses verifikasi juga secara tidak langsung menunjukkan pertukaran domain dan range: saat menghitung f(f⁻¹(x)), kita mengasumsikan x ≠ 3 (domain f⁻¹), dan perhitungannya valid. Saat menghitung f⁻¹(f(x)), kita mengasumsikan x ≠ 7 (domain f).
Aplikasi dan Variasi Soal Terkait
Pemahaman tentang mencari invers fungsi rasional dapat diuji dan dikembangkan melalui berbagai variasi soal. Soal-soal ini tidak hanya menanyakan rumus invers, tetapi juga mengeksplorasi konsekuensi dari proses inversi terhadap domain, range, dan grafik.
Berikut tiga variasi soal dengan tingkat kesulitan berbeda, disertai strategi penyelesaiannya.
- Variasi 1 (Dasar): Tentukan invers dari g(x) = (2x – 1)/(x + 4). Tuliskan domain dan range dari g(x) dan g⁻¹(x).
Strategi: Ikuti langkah sistematis: y=(2x-1)/(x+4), tukar x dan y, selesaikan untuk y. Domain g adalah x ≠ -4, range-nya y ≠ 2 (koefisien ratio). Domain dan range ini akan bertukar untuk g⁻¹. - Variasi 2 (Menengah): Diketahui h(x) = (5x)/(x – k) dan h⁻¹(x) = h(x). Tentukan nilai k.
Strategi: Cari rumus umum invers dari h(x). Jika h⁻¹(x) = h(x), maka rumus yang didapat dari proses inversi harus identik dengan fungsi awal. Samakan koefisiennya setelah menemukan bentuk umum invers (ax+b)/(cx+d). - Variasi 3 (Komprehensif): Sketsalah hubungan grafik fungsi f(x) = (3x+5)/(x-7) dan inversnya f⁻¹(x) = (7x+5)/(x-3) dalam satu bidang koordinat.
Strategi: Identifikasi elemen kunci masing-masing: asimtot vertikal (x=7 untuk f, x=3 untuk f⁻¹) dan horizontal (y=3 untuk f, y=7 untuk f⁻¹). Titik potong dengan sumbu bisa dicari (f memotong sumbu Y di (0, -5/7), f⁻¹ di (0, -5/3)). Ingat bahwa grafik fungsi dan inversnya simetris terhadap garis y = x.Asimtot-asimtotnya juga akan bertukar dan bersimetri.
Ilustrasi grafik dari f dan f⁻¹ akan menunjukkan simetri yang sempurna terhadap garis y=x. Asimtot vertikal f (x=7) berubah menjadi asimtot horizontal f⁻¹ (y=7). Asimtot horizontal f (y=3) berubah menjadi asimtot vertikal f⁻¹ (x=3). Kedua kurva akan saling mencerminkan di sekitar garis diagonal y=x, dan tidak akan pernah memotong asimtot mereka masing-masing.
Penyajian Informasi dalam Format Visual
Untuk memberikan gambaran yang jelas dan cepat, informasi penting tentang fungsi f(x) dan inversnya f⁻¹(x) dapat dirangkum dalam tabel perbandingan. Tabel ini menyoroti pertukaran sifat-sifat mendasar antara fungsi dan inversnya.
| Aspek | Fungsi f(x) = (3x+5)/(x-7) | Fungsi Invers f⁻¹(x) = (7x+5)/(x-3) |
|---|---|---|
| Domain | x | x ∈ R, x ≠ 7 | x | x ∈ R, x ≠ 3 |
| Range | y | y ∈ R, y ≠ 3 | y | y ∈ R, y ≠ 7 |
| Asimtot Vertikal | x = 7 | x = 3 |
| Asimtot Horizontal | y = 3 | y = 7 |
Dalam proses belajar, beberapa kesalahan sering kali terjadi. Kesadaran akan hal ini dapat membantu menghindari jebakan umum.
- Lupa menukar variabel x dan y di awal proses, yang justru adalah langkah kunci definisi invers.
- Tidak menentukan atau menyebutkan pembatasan domain dan range. Invers dari fungsi rasional hampir selalu memiliki pembatasan nilai karena penyebutnya tidak boleh nol.
- Kesalahan dalam manipulasi aljabar, khususnya saat mengelompokkan suku-suku yang mengandung variabel y. Ketelitian dalam distribusi dan pengurangan suku sangat penting.
- Tidak melakukan verifikasi melalui komposisi, padahal ini adalah cara pasti untuk memeriksa kebenaran hasil.
Sebagai penutup bagian ini, berikut ringkasan rumus praktis untuk invers fungsi rasional linear, yang dapat digunakan sebagai pemeriksaan cepat setelah melakukan perhitungan manual.
Untuk fungsi rasional berbentuk f(x) = (ax + b)/(cx + d) dengan ad – bc ≠ 0, inversnya adalah:
f⁻¹(x) = (-dx + b)/(cx – a).
Perhatikan pertukaran posisi a dan d disertai perubahan tanda. Kondisi ad – bc ≠ 0 menjamin fungsi tersebut satu-satu (bukan fungsi konstan).
Pada contoh kita, f(x) = (3x+5)/(x-7), berarti a=3, b=5, c=1, d=-
7. Substitusi ke rumus: f⁻¹(x) = (-(-7)x + 5)/(1*x – 3) = (7x+5)/(x-3). Hasilnya sama.
Kesimpulan Akhir
Pencarian invers fungsi f(x)= (3x+5)/(x-7) akhirnya bukan hanya menghasilkan rumus f⁻¹(x)= (7x+5)/(x-3), tetapi juga menjadi kritis terhadap klaim-klaim reversibilitas dalam sistem mana pun. Proses verifikasi melalui komposisi fungsi bertindak sebagai mekanisme checks and balances, memastikan tidak ada celah untuk ambiguitas atau kekuasaan yang absolut dari satu arah. Penguasaan terhadap prosedur ini, dengan segala variasi dan jebakannya, adalah bentuk literasi yang esensial untuk menantang narasi-narasi deterministik yang disajikan sebagai kebenaran tunggal yang tak terbantahkan.
Tanya Jawab Umum
Apakah fungsi f(x)= (3x+5)/(x-7) pasti memiliki invers?
Tidak selalu. Fungsi ini memiliki invers karena terbukti bersifat satu-satu (injektif). Syarat utama sebuah fungsi memiliki invers adalah sifat satu-satu tersebut, yang untuk fungsi rasional bentuk ini dapat diuji atau diasumsikan jika koefisiennya memenuhi kondisi tertentu.
Mengapa dalam perhitungan invers, variabel x dan y ditukar?
Penukaran variabel x dan y adalah langkah simbolis yang merepresentasikan inti dari fungsi invers: menukar peran input dan output. Kita menyelesaikan untuk y yang baru, yang kemudian menjadi f⁻¹(x), sehingga relasi asli benar-benar terbalik.
Bagaimana jika saya lupa menuliskan domain dan range untuk fungsi invers?
Maka jawaban Anda belum lengkap dan berpotensi salah. Domain fungsi invers adalah range fungsi asal, dan range fungsi invers adalah domain fungsi asal. Untuk f(x) ini, domain f⁻¹(x) adalah semua bilangan real kecuali 3.
Apakah ada rumus cepat untuk invers fungsi berbentuk (ax+b)/(cx+d)?
Ya, terdapat rumus praktis: f⁻¹(x) = (dx – b) / (-cx + a), dengan catatan bahwa (ad – bc) ≠ 0. Namun, memahami proses penurunannya jauh lebih penting daripada sekadar menghafal rumus.
