Tunjukkan bahwa 3 merupakan akar persamaan 6y³-19y²+y+6=0 dan tentukan akar‑akar lainnya. Dalam perjalanan memahami aljabar, menemukan akar persamaan ibarat mencari titik terang dalam teka-teki yang rumit; setiap solusi yang ditemukan membawa kelegaan dan pemahaman yang lebih dalam. Proses ini tidak hanya mengasah ketelitian berhitung, tetapi juga melatih kesabaran dan metode berpikir terstruktur untuk mengurai kompleksitas menjadi hal yang sederhana dan dapat dipahami.
Artikel ini akan memandu langkah demi langkah untuk membuktikan bahwa 3 adalah solusi dari persamaan kubik yang diberikan, kemudian mengungkap dua akar lainnya yang tersembunyi. Melalui verifikasi substitusi, pembagian polinomial, dan penyelesaian persamaan kuadrat, kita akan mengupas seluruh akar persamaan ini hingga tuntas, memberikan gambaran utuh tentang karakter dan perilaku persamaan polinomial derajat tiga.
Mencari Akar Persamaan Kubik: Sebuah Eksplorasi Aljabar
Source: gauthmath.com
Dalam kehidupan, kita sering dihadapkan pada masalah yang kompleks, layaknya sebuah persamaan matematika. Untuk menyelesaikannya, kita perlu menemukan titik awal yang benar, sebuah ‘akar’ permasalahan yang jika dipahami, akan memudahkan kita menemukan solusi-solusi lainnya. Artikel ini akan mengajak kita menyelami proses tersebut dalam konteks aljabar, khususnya untuk persamaan polinomial. Memahami cara menemukan akar-akar persamaan bukan sekadar keterampilan akademis, tetapi juga melatih logika sistematis dalam menganalisis dan memecah masalah besar menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana.
Fokus kita adalah pada persamaan kubik 6y³. Persamaan dengan pangkat tertinggi tiga ini memiliki, secara teoritis, tiga buah solusi atau akar. Tujuan utama dari pembahasan ini adalah untuk membuktikan secara valid bahwa satu bilangan, yaitu 3, merupakan akar dari persamaan tersebut. Setelah konfirmasi itu didapat, kita akan melanjutkan pencarian untuk menemukan dua akar yang lain, sehingga kita memperoleh gambaran lengkap dari solusi persamaan ini.
-19y² + y + 6 = 0
Masalah yang akan dipecahkan: Diberikan persamaan polinomial kubik 6y³19y² + y + 6 = 0. Buktikan bahwa y = 3 adalah salah satu akarnya, kemudian tentukan kedua akar yang tersisa.
Verifikasi Akar dengan Substitusi Langsung
Metode paling intuitif untuk memeriksa apakah suatu bilangan adalah akar persamaan adalah dengan mensubstitusikannya langsung ke dalam persamaan. Jika setelah perhitungan nilai persamaan tersebut menjadi nol, maka bilangan itu adalah akar. Mari kita uji untuk y = 3. Kita akan mengganti setiap variabel ‘y’ dalam persamaan 6y³ dengan angka 3.
-19y² + y + 6
| Langkah | Perhitungan | Hasil |
|---|---|---|
| Hitung y³ | 3³ = 3 × 3 × 3 | 27 |
| Hitung 6y³ | 6 × 27 | 162 |
| Hitung y² | 3² = 3 × 3 | 9 |
| Hitung 19y² | 19 × 9 | 171 |
| Substitusi y | 3 | 3 |
| Konstanta | 6 | 6 |
| Total | 162 – 171 + 3 + 6 | 0 |
Hasil perhitungan akhir adalah 0. Ini membuktikan secara definitif bahwa y = 3 memenuhi persamaan, sehingga ia adalah akar. Implikasi penting dari penemuan ini adalah polinomial kubik awal dapat difaktorkan, dengan (y – 3) sebagai salah satu faktornya. Jika (y – 3) adalah faktor, maka kita dapat membagi polinomial awal dengan faktor ini untuk mendapatkan hasil bagi berbentuk kuadrat.
Pembagian Polinomial Menggunakan Metode Sintetik
Setelah menemukan akar y = 3, kita akan membagi polinomial 6y³ dengan faktor
-19y² + y + 6 (y - 3). Pembagian ini dapat dilakukan dengan metode sintetik (Horner) yang lebih ringkas. Kita menggunakan akar pembagi, yaitu 3, dan koefisien-koefisien dari polinomial: 6, -19, 1, dan 6.
| Koefisien Awal | Operasi | Hasil Sementara | Koefisien Hasil Bagi |
|---|---|---|---|
| 6 | Turun langsung | 6 | 6 (koefisien y²) |
| -19 | (3 × 6) + (-19) = 18 – 19 | -1 | -1 (koefisien y) |
| 1 | (3 × -1) + 1 = -3 + 1 | -2 | -2 (konstanta) |
| 6 | (3 × -2) + 6 = -6 + 6 | 0 | Sisa |
Proses di atas menunjukkan bahwa sisa pembagian adalah 0, mengkonfirmasi kembali bahwa (y – 3) adalah faktor. Koefisien hasil bagi adalah 6, -1, dan -2. Dengan demikian, hasil pembagiannya adalah polinomial kuadrat 6y². Persamaan kubik awal sekarang dapat ditulis ulang sebagai
-y - 2 (y - 3)(6y².
-y - 2) = 0
Penyelesaian Persamaan Kuadrat Hasil Bagi
Untuk menemukan akar-akar lainnya, kita selesaikan persamaan kuadrat 6y². Kita dapat menggunakan metode pemfaktoran. Dari persamaan tersebut, kita identifikasi koefisiennya: a = 6, b = -1, dan c = -2. Kita cari dua bilangan yang hasil kalinya a × c = -12 dan jumlahnya b = -1. Bilangan-bilangan tersebut adalah -4 dan 3.
-y - 2 = 0
Langkah pemfaktorannya adalah sebagai berikut:
- Ungkapkan suku tengah (-y) menjadi -4y + 3y:
6y².
4y + 3y - 2 = 0
- Faktorkan per kelompok:
2y(3y - 2) + 1(3y - 2) = 0. - Faktorkan (3y – 2):
(3y - 2)(2y + 1) = 0.
Dari bentuk faktor terakhir, kita peroleh dua kemungkinan yang membuat persamaan bernilai nol:
- Akar kedua: Dari
3y - 2 = 0, didapatkany = 2/3. Ini adalah akar rasional. - Akar ketiga: Dari
2y + 1 = 0, didapatkany = -1/2. Ini juga merupakan akar rasional.
Interpretasi Geometris dari Akar-Akar Persamaan, Tunjukkan bahwa 3 merupakan akar persamaan 6y³-19y²+y+6=0 dan tentukan akar‑akar lainnya
Secara visual, persamaan 6y³ merepresentasikan sebuah kurva kubik di bidang kartesian. Grafik fungsi kubik ini akan memotong sumbu horizontal (biasanya sumbu-x, tapi dalam kasus ini variabelnya y) di titik-titik yang nilai fungsinya nol. Ketiga akar yang kita temuni—y = 3, y = 2/3, dan y = -1/2—adalah koordinat titik potong kurva tersebut dengan sumbu-y (dalam konteks ini, sumbu horizontal).
-19y² + y + 6 = 0
Ketiga akar tersebut semuanya adalah bilangan real dan rasional. Sifat ini memberikan gambaran bahwa grafiknya akan melintasi sumbu horizontal di tiga titik yang lokasinya dapat dinyatakan dengan tepat dalam bentuk pecahan. Kurva kubik umumnya memiliki bentuk seperti huruf ‘S’ yang memanjang, dan dalam kasus ini, karena koefisien y³ positif (6), ujung kanan grafik akan menuju tak terhingga positif dan ujung kiri menuju tak terhingga negatif, dengan dua belokan di antaranya yang melewati ketiga titik akar tersebut.
Solusi lengkap dari persamaan 6y³
19y² + y + 6 = 0 adalah himpunan akar-akar
y = 3, y = 2/3, dan y = -1/2.
Aplikasi dalam Contoh Soal Lain
Pemahaman tentang prosedur ini dapat diterapkan pada berbagai persamaan polinomial. Pola umumnya selalu dimulai dari menebak atau diberikan satu akar potensial (sering dari faktor konstanta), memverifikasinya, kemudian melakukan pembagian untuk menurunkan derajat persamaan. Mari kita lihat contoh penerapannya pada soal baru.
Contoh Soal dan Penyelesaiannya
Diberikan persamaan kubik 2x³. Diketahui bahwa x = -2 adalah salah satu akarnya. Tentukan akar-akar lainnya dari persamaan tersebut.
-3x²
-11x + 6 = 0
Pertama, verifikasi akar x = -2 dengan substitusi: 2(-8)
-3(4)
-11(-2) + 6 = -16 -12 +22 +6 =
0. Terverifikasi. Kedua, lakukan pembagian sintetik dengan akar –
2. Koefisien awal: 2, -3, -11, 6.
- Turunkan 2.
- -2 × 2 = -4; (-3) + (-4) = -7.
- -2 × (-7) = 14; (-11) + 14 = 3.
- -2 × 3 = -6; 6 + (-6) = 0 (Sisa).
Hasil bagi adalah 2x². Faktorkan persamaan kuadrat ini: (2x – 1)(x – 3) =
-7x + 3 = 0
0. Dari sini diperoleh akar-akar:
- x = 1/2
- x = 3
Tips umum dalam menyelesaikan masalah seperti ini adalah memanfaatkan Teorema Faktor Rasional untuk mendaftar kemungkinan akar rasional, yang merupakan pembagi dari konstanta dibagi pembagi dari koefisien utama. Verifikasi dengan substitusi yang hati-hati adalah kunci, diikuti oleh pembagian sintetik yang sistematis untuk menyederhanakan masalah.
Akhir Kata: Tunjukkan Bahwa 3 Merupakan Akar Persamaan 6y³-19y²+y+6=0 Dan Tentukan Akar‑akar Lainnya
Dengan demikian, perjalanan untuk membuktikan dan menemukan akar persamaan 6y³-19y²+y+6=0 telah berakhir. Ketiga akar, yaitu 3, -1/2, dan 2/3, telah berhasil diidentifikasi. Seperti halnya ibadah yang memerlukan ketekunan, penyelesaian masalah aljabar ini mengajarkan nilai konsistensi dan percaya pada proses. Setiap langkah, dari substitusi hingga pemfaktoran, adalah bagian integral yang saling menguatkan, mengarah pada solusi yang lengkap dan memuaskan.
Ringkasan FAQ
Apa yang dimaksud dengan “akar” dari suatu persamaan polinomial?
Akar atau solusi dari suatu persamaan polinomial adalah nilai variabel yang ketika disubstitusikan ke dalam persamaan akan menghasilkan nilai nol. Secara grafis, akar-akar ini merepresentasikan titik potong kurva fungsi polinomial dengan sumbu horizontal.
Mengapa kita membagi polinomial dengan (y – 3) setelah membuktikan 3 adalah akar?
Karena Teorema Faktor menyatakan bahwa jika suatu bilangan ‘a’ adalah akar dari polinomial P(y), maka (y – a) adalah faktor dari P(y). Membagi P(y) dengan faktor ini akan menurunkan derajat persamaan, sehingga akar-akar lainnya dapat ditemukan dari hasil bagi yang berderajat lebih rendah.
Apakah semua persamaan kubik pasti memiliki tiga akar real?
Tidak selalu. Sebuah persamaan kubik selalu memiliki tiga akar, tetapi ketiganya bisa berupa bilangan real semua, atau satu bilangan real dan dua bilangan kompleks (yang berbentuk a + bi). Dalam kasus persamaan ini, ketiga akarnya adalah bilangan real.
Bagaimana jika setelah pembagian, hasil bagi kuadrat tidak dapat difaktorkan dengan mudah?
Jika pemfaktoran langsung sulit, metode rumus kuadrat (rumus abc) dapat selalu digunakan untuk menemukan akar-akar dari persamaan kuadrat apapun, meskipun hasilnya berupa bilangan irasional atau kompleks.
