Tentukan Akar Persamaan X² – 5x – 36 = 0 dengan Dua Metode

Tentukan akar persamaan X² - 5x - 36 = 0 – Tentukan akar persamaan X²
-5x – 36 = 0, sebuah persoalan klasik matematika yang menjadi fondasi penting dalam aljabar. Persamaan kuadrat seperti ini bukan sekadar angka dan variabel yang berjejer, melainkan sebuah teka-teki logika yang menantang untuk dipecahkan. Pemahaman terhadapnya membuka gerbang untuk menganalisis berbagai fenomena, mulai dari lintasan bola hingga optimasi bisnis, dengan akar-akarnya merepresentasikan titik-titik krusial dimana grafiknya menyentuh sumbu horizontal.

Artikel ini akan mengajak pembaca menyelami proses pencarian solusi tersebut melalui dua pendekatan andalan: pemfaktoran yang elegan dan rumus ABC yang powerful. Dengan langkah-langkah sistematis, kita akan mengurai persamaan ini hingga menemukan nilai-nilai x yang memenuhi, sekaligus memverifikasi hasilnya untuk memastikan keakuratan. Proses ini tidak hanya memberikan jawaban, tetapi juga melatih kerangka berpikir analitis dan teliti.

Pengenalan Persamaan Kuadrat dan Akar-Akarnya

Dalam matematika, persamaan kuadrat merupakan fondasi untuk memahami berbagai hubungan non-linear. Persamaan ini hadir dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah bilangan konstanta dengan syarat a ≠ 0. Ketika a bernilai nol, bentuk persamaannya berubah menjadi linear, sehingga syarat ini penting untuk mempertahankan sifat kuadratiknya.

Akar-akar persamaan kuadrat merujuk pada nilai-nilai variabel x yang membuat persamaan tersebut bernilai benar, yaitu sama dengan nol. Secara geometris, setiap persamaan kuadrat dapat direpresentasikan sebagai sebuah parabola pada bidang kartesian. Akar-akarnya tidak lain adalah titik-titik di mana parabola tersebut memotong atau menyentuh sumbu-x. Sebagai contoh, persamaan x²
-3x + 2 = 0 memiliki akar-akar x = 1 dan x = 2.

Pada grafik, parabola akan melintasi sumbu-x tepat di koordinat (1,0) dan (2,0), memberikan visualisasi yang jelas tentang solusi persamaan.

Definisi dan Interpretasi Akar Persamaan

Konsep akar persamaan sering disebut juga sebagai solusi atau pembuat nol. Dalam konteks aplikasi, menemukan akar berarti menemukan momen kritis atau titik equilibrium dari suatu model. Misalnya, dalam fisika, akar dapat menunjukkan waktu ketika suatu objek mencapai tanah. Pemahaman ini mengubah angka-angka abstrak menjadi informasi yang dapat ditafsirkan dalam konteks dunia nyata, menjembatani kesenjangan antara teori matematika dan penerapannya.

Metode Pemfaktoran untuk Menentukan Akar

Metode pemfaktoran adalah teknik klasik yang elegan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, khususnya ketika koefisiennya berupa bilangan bulat. Inti dari metode ini adalah mengubah bentuk x² + bx + c menjadi perkalian dua faktor linear (x + p)(x + q) = 0. Kunci keberhasilannya terletak pada menemukan dua bilangan p dan q yang memenuhi dua syarat sekaligus: hasil perkaliannya harus sama dengan konstanta c, dan hasil penjumlahannya harus sama dengan koefisien b.

Langkah Pemfaktoran Persamaan X²

Mencari akar persamaan X² – 5x – 36 = 0, yaitu x = 9 dan x = -4, mengasah logika sistematis yang juga berguna dalam kombinatorika, seperti saat menganalisis Banyaknya susunan kata dari huruf GALATAMA. Kedua konsep ini, meski berbeda ranah, sama-sama memerlukan ketelitian dalam penerapan rumus. Pemahaman mendalam tentang persamaan kuadrat menjadi fondasi untuk menyelesaikan berbagai problem matematika yang lebih kompleks.

5x – 36 = 0

Mari terapkan logika tersebut pada persamaan kita. Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -36 dan jika dijumlahkan menghasilkan -5. Proses pencarian ini dapat disistematiskan. Perhatikan bahwa konstanta -36 bernilai negatif, yang mengindikasikan bahwa kedua bilangan tersebut harus memiliki tanda yang berlawanan (satu positif dan satu negatif). Karena hasil penjumlahannya juga negatif (-5), maka bilangan yang bernilai negatif harus memiliki nilai mutlak yang lebih besar daripada bilangan yang positif.

Berikut adalah tabel yang membandingkan beberapa pasangan bilangan yang mungkin, membantu kita dalam proses pencarian yang sistematis.

Dari tabel, terlihat bahwa pasangan 4 dan -9 memenuhi kedua syarat: 4 × (-9) = -36 dan 4 + (-9) = -5. Dengan demikian, persamaan x²
-5x - 36 = 0 dapat difaktorkan menjadi (x + 4)(x - 9) = 0. Akar-akarnya adalah nilai x yang membuat masing-masing faktor bernilai nol, yaitu x = -4 dan x = 9.

Penerapan Rumus Kuadratik (Rumus ABC): Tentukan Akar Persamaan X² - 5x - 36 = 0

Ketika pemfaktoran dirasa sulit atau tidak mungkin, rumus kuadratik hadir sebagai solusi yang pasti dan universal. Rumus ini, sering disebut Rumus ABC, berlaku untuk segala bentuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Keampuhannya terletak pada kemampuannya menangani koefisien apa pun, termasuk bilangan pecahan atau irasional.

x = [-b ± √(b²

4ac)] / 2a

Komponen kunci dalam rumus ini adalah ekspresi di bawah tanda akar kuadrat, yaitu b²
-4ac , yang disebut diskriminan (D). Nilai diskriminan memberikan informasi penting sebelum kita menghitung akar: jika D > 0, persamaan memiliki dua akar real berbeda; jika D = 0, memiliki satu akar real kembar; dan jika D < 0, akar-akarnya adalah bilangan kompleks.

Perhitungan Langkah Demi Langkah untuk X²

5x – 36 = 0

Mari kita hitung akar persamaan kita menggunakan rumus ABC. Dari persamaan, kita identifikasi koefisiennya: a = 1, b = -5, dan c = -36. Berikut adalah prosedur perhitungannya secara berurutan.

• Pertama, hitung nilai diskriminan: D = b²
  -4ac = (-5)²
  -4*(1)*(-36) = 25 + 144 = 169. Karena D = 169 > 0, kita tahu akan ada dua akar real yang berbeda.
• Kedua, substitusikan nilai a, b, dan D ke dalam rumus ABC: x = [5 ± √169] / (2*1).
• Ketiga, selesaikan perhitungan untuk kedua kemungkinan tanda (±):
  • Akar pertama (menggunakan tanda +): x₁ = (5 + 13) / 2 = 18 / 2 = 9.
  • Akar kedua (menggunakan tanda -): x₂ = (5 – 13) / 2 = (-8) / 2 = -4.

Verifikasi dan Pengecekan Kembali Solusi

Setelah memperoleh solusi melalui dua metode yang berbeda, langkah verifikasi menjadi penting untuk memastikan keakuratan hasil. Metode yang paling langsung adalah substitusi balik, yaitu memasukkan nilai akar yang didapat ke dalam persamaan asli. Jika persamaan terpenuhi (menghasilkan nilai 0), maka solusi tersebut valid.

Konsistensi Hasil Antara Metode

Baik metode pemfaktoran maupun rumus ABC menghasilkan pasangan solusi yang identik: x₁ = 9 dan x₂ = -4. Konsistensi ini mengonfirmasi kebenaran dari kedua pendekatan tersebut. Untuk memverifikasi, kita lakukan pengecekan:

• Untuk x = 9: (9)²
  -5*(9)
  -36 = 81 – 45 – 36 = 0. Terpenuhi.
• Untuk x = -4: (-4)²
  -5*(-4)
  -36 = 16 + 20 – 36 = 0. Terpenuhi.

Dengan demikian, solusi akhir dari persamaan dapat dinyatakan dengan pasti.

Akar-akar persamaan kuadrat x²

5x – 36 = 0 adalah x = 9 dan x = -4.

Aplikasi dan Konteks Permasalahan Nyata

Persamaan kuadrat seperti x²
-5x – 36 = 0 bukan hanya sekadar angka; ia dapat merepresentasikan berbagai situasi nyata. Bayangkan seorang pengusaha yang menganalisis keuntungan. Misalkan persamaan P = x²
-5x – 36 memodelkan keuntungan (P) dalam juta rupiah dari penjualan x unit produk tertentu. Mencari break-even point (titik impas) dimana keuntungan nol, sama saja dengan menyelesaikan persamaan x²
-5x – 36 = 0.

Interpretasi Akar dalam Konteks Aplikasi, Tentukan akar persamaan X² - 5x - 36 = 0

Dalam skenario bisnis ini, akar x = 9 memiliki interpretasi yang masuk akal: perusahaan mencapai titik impas ketika berhasil menjual 9 unit produk. Sementara itu, akar negatif x = -4, meskipun valid secara matematis, mungkin tidak memiliki makna praktis langsung dalam konteks jumlah unit penjualan yang tidak mungkin negatif. Namun, dalam konteks lain seperti fisika yang melibatkan waktu ke belakang (sebelum pengamatan), akar negatif bisa saja bermakna.

Mencari akar persamaan X² – 5x – 36 = 0, yakni x = 9 dan x = -4, mengajarkan kita tentang kondisi tertentu yang harus dipenuhi untuk mendapatkan solusi. Prinsip ini serupa dengan bagaimana dalam fisika, Syarat Berlakunya Hukum Newton I memerlukan kerangka acuan inersia agar benda mempertahankan keadaan geraknya. Dengan demikian, baik dalam matematika maupun fisika, pemahaman mendalam tentang syarat awal atau kondisi batas menjadi kunci untuk mencapai hasil yang akurat dan konsisten, seperti halnya menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Ilustrasi Grafik Parabola

Grafik dari fungsi y = x²
-5x – 36 adalah sebuah parabola yang terbuka ke atas (karena koefisien x² positif). Parabola ini memotong sumbu-x di dua titik, yaitu pada koordinat (-4, 0) dan (9, 0), yang sesuai dengan akar-akar persamaan kita. Selain itu, parabola juga memotong sumbu-y pada saat x = 0, yaitu di titik (0, -36). Titik puncak atau vertex parabola ini terletak di tengah-tengah antara kedua akar, yaitu pada x = (9 + (-4))/2 = 2.5.

Nilai y pada titik puncak ini adalah (2.5)²
-5*(2.5)
-36 = -42.25, sehingga vertex berada di koordinat (2.5, -42.25). Visualisasi ini menggambarkan bagaimana akar-akar persamaan merupakan bagian integral dari bentuk geometri fungsi kuadrat tersebut.

Simpulan Akhir

Source: peta-hd.com

Dengan demikian, perjalanan untuk menentukan akar persamaan X²
-5x – 36 = 0 telah membuahkan hasil yang konkret dan terverifikasi. Dua metode yang berbeda, pemfaktoran dan rumus ABC, secara konsisten mengantarkan pada kesimpulan yang sama: x = 9 dan x = -4. Temuan ini bukan akhir, melainkan sebuah awal. Memahami proses di baliknya memberikan alat yang ampuh untuk menafsirkan dunia di sekitar kita, di mana pola-pola kuadrat sering kali muncul sebagai model dari realitas yang kompleks.

Penguasaan terhadap konsep dasar ini adalah investasi berharga untuk menjelajahi matematika yang lebih tinggi.

Panduan Tanya Jawab

Apa arti dari akar persamaan kuadrat dalam konteks grafik?

Akar-akar persamaan kuadrat merupakan titik potong grafik parabola (yang merepresentasikan persamaan) dengan sumbu-X (garis y=0).

Menentukan akar persamaan X² – 5x – 36 = 0, yang menghasilkan x = 9 dan x = -4, mengajarkan kita ketelitian dalam menganalisis struktur. Prinsip analitis yang sama sangat dibutuhkan dalam Usaha Memajukan Bahasa Indonesia di Era Milenial Saat Ini , di mana bahasa harus diurai dan dibangun kembali agar relevan namun tetap bernalar. Dengan demikian, ketepatan dalam menyelesaikan persamaan matematika sejalan dengan presisi yang diperlukan untuk menjaga marwah bahasa nasional di tengah arus global.

Mengapa diskriminan penting dalam rumus ABC?

Nilai diskriminan (b²
-4ac) menentukan sifat akar: positif berarti dua akar real berbeda, nol berarti satu akar real kembar, dan negatif berarti akar-akar tidak real (imajiner).

Bagaimana jika persamaan tidak bisa difaktorkan dengan bilangan bulat?

Jika pemfaktoran langsung sulit, rumus ABC adalah metode yang selalu bisa diandalkan untuk menemukan akar, berapapun jenis bilangannya (rasional, irasional, atau kompleks).

Apakah akar negatif (-4) memiliki makna dalam aplikasi dunia nyata?

Tergantung konteksnya. Dalam skenario seperti mencari panjang sisi, akar negatif biasanya diabaikan. Namun, dalam konteks lain seperti selisih waktu atau posisi relatif, akar negatif bisa memiliki interpretasi yang valid.