Suku ke-20 Barisan 1 6 13 20 dan Rahasia Pola Bilangannya

Suku ke-20 barisan 1,6,13,20,… itu seperti teka-teki angka yang menunggu untuk dipecahkan. Barisan ini bukan sekadar deret biasa, ia punya ritme kenaikan yang unik dan menyimpan pola rahasia yang bakal bikin kamu manggut-manggut kalau udah ketemu rumusnya. Yuk, kita telusuri bareng-bareng bagaimana angka-angka ini berbaris dan apa sih nilai dari sang juara ke-20 nanti.

Dari angka 1 melompat ke 6, lalu 13, dan 20, selisih antar angkanya ternyata terus bertambah secara teratur. Pola inilah yang menjadi kunci utama untuk membongkar rumus suku ke-n dan akhirnya menghitung dengan tepat suku yang jauh seperti suku kedua puluh. Dengan memahami langkah dasarnya, kita bisa menguasai tidak hanya satu barisan, tapi juga jenis pola bilangan bertingkat lainnya.

Memahami Pola Barisan: Suku Ke-20 Barisan 1,6,13,20,…

Mari kita mulai dengan mengamati barisan bilangan yang diberikan: 1, 6, 13, 20, …. Tantangan pertama adalah menemukan polanya. Ini seperti memecahkan kode rahasia sederhana. Kita lihat, dari 1 ke 6 naik 5, dari 6 ke 13 naik 7, dan dari 13 ke 20 naik 7 lagi. Wah, ada yang menarik di sini.

Selisihnya tidak konstan, tetapi selisih dari selisihnya (beda kedua) ternyata tetap. Mari kita jabarkan.

Identifikasi Pola dan Penurunan Rumus

Untuk mengidentifikasi pola, kita buat analisis selisih bertingkat. Nilai suku: 1, 6, 13,
20. Selisih tingkat pertama (b1) adalah 5, 7,
7. Selisih tingkat kedua (b2) adalah 2,
0. Karena kita hanya punya sedikit data, pola stabil di selisih pertama = 7 setelah suku kedua.

Ini menunjukkan barisan ini mirip aritmatika bertingkat, lebih tepatnya barisan dengan pola penambahan yang meningkat di awal lalu konstan. Dari pola, kita bisa modelkan sebagai barisan aritmatika dengan suku pertama 1 dan beda 7, tetapi dengan penyesuaian di suku awal. Rumus umum barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1)b. Jika kita coba, untuk n=1: 1 = a + 0, jadi a=
1.

Untuk n=2: 6 = 1 + (1)b, maka b=
5. Tapi untuk n=3: 13 = 1 + (2)*5 = 11 (tidak cocok). Jadi bukan aritmatika sederhana.

Mari kita lihat lagi. Karena selisih kedua konstan (2, lalu 0), sebenarnya pola penuh adalah: suku ke-1 = 1, suku ke-2 = 6 (1+5), suku ke-3 = 13 (6+7), suku ke-4 = 20 (13+7). Tampaknya mulai suku ke-3, penambahannya tetap
7. Jadi kita bisa bilang, untuk n >= 3, rumusnya adalah Un = U(n-1) +
7. Namun, kita butuh rumus tertutup.

Kita amati: U1 = 1, U2 = 6 = 1+5, U3 = 13 = 6+7 = 1+5+7, U4 = 20 = 13+7 = 1+5+7+
7. Jadi untuk n>2, Un = 1 + 5 + 7*(n-2). Rumus ini bisa disederhanakan: Un = 1 + 5 + 7n – 14 = 7n –
8. Cek: n=3 -> 21-8=13 (benar), n=4 -> 28-8=20 (benar).

Untuk n=2 -> 14-8=6 (benar), n=1 -> 7-8=-1 (salah). Jadi rumus Un = 7n – 8 hanya berlaku untuk n >= 2. Agar berlaku semua n, kita perlu menangani kasus khusus. Tapi dalam konteks mencari suku ke-20 (n>2), rumus ini sangat valid.

Berikut tabel perbandingan untuk lima suku pertama, menunjukkan pola penghitungannya.

Menghitung Suku ke-20 Secara Rinci

Sekarang kita terjun ke tujuan utama: mencari suku ke-20. Dengan rumus ajaib yang sudah kita temukan, yaitu Un = 7n – 8 untuk n ≥ 2, perhitungannya menjadi sangat langsung. Tapi, tidak ada salahnya kita konfirmasi dengan metode lain, biar pemahaman kita benar-benar menyeluruh dan anti salah.

Perhitungan dengan Rumus dan Metode Berurut

Metode pertama, menggunakan rumus langsung. Substitusikan n = 20 ke dalam rumus Un = 7n – 8. Maka U20 = 7(20)
-8 = 140 – 8 = 132. Selesai. Cepat dan efisien.

Metode kedua, dengan penjumlahan berurut dari suku ke-5 yang sudah kita ketahui (27). Karena dari suku ke-3 dan seterusnya bedanya konstan 7, maka dari suku ke-5 ke suku ke-20 ada 15 loncatan (20 – 5 = 15). Jadi U20 = U5 + (15 × 7) = 27 + 105 = 132. Hasilnya sama persis. Metode ini berguna jika kita lupa rumus tapi ingat pola pertambahan tetap.

Langkah-langkah kritis dalam perhitungan suku ke-20:

• Pastikan rumus yang digunakan sudah benar dengan menguji untuk beberapa suku yang diketahui (n=2,3,4).
• Perhatikan syarat berlakunya rumus. Rumus Un = 7n – 8 bekerja sempurna untuk n ≥
• 3. Dalam perhitungan, utamakan operasi perkalian sebelum pengurangan: 7 × 20 dikerjakan dahulu, baru dikurangi 8.
• Verifikasi dengan metode alternatif (seperti penjumlahan berurut) untuk memastikan tidak ada kesalahan aritmatika sederhana.

Eksplorasi Sifat dan Karakteristik Barisan

Barisan 1, 6, 13, 20, … ini punya karakter unik. Dia bukan barisan aritmatika murni, tapi juga bukan barisan geometri. Dia adalah contoh sederhana dari barisan aritmatika bertingkat, atau lebih tepatnya, barisan yang memiliki selisih konstan di tingkat kedua. Namun, dalam kasus ini, setelah suku ketiga, dia berperilaku persis seperti barisan aritmatika dengan beda 7.

Jenis Barisan dan Peran Selisih Antar Suku

Jika kita hitung selisih tingkat pertama: 5, 7,
7. Selisih tingkat kedua: 2,
0. Karena data terbatas, kita lihat ada upaya ‘stabilisasi’ menuju suatu nilai konstan. Barisan seperti ini bisa muncul dari model dunia nyata yang memiliki biaya awal atau setup cost yang berbeda sebelum masuk ke pola linear stabil. Ciri utamanya adalah pertumbuhan nilainya bersifat linear setelah melewati fase awal.

Peran beda sangat menentukan: beda pertama yang berubah (dari 5 ke 7) menunjukkan percepatan awal, lalu beda yang konstan (7) menunjukkan pertumbuhan yang stabil dan dapat diprediksi secara linear seterusnya.

Ilustrasi Visual Pertumbuhan Barisan

Bayangkan kita menggambar titik-titik pada bidang koordinat, dengan sumbu X sebagai nomor suku (n) dan sumbu Y sebagai nilai suku (Un). Titik-titiknya adalah (1,1), (2,6), (3,13), (4,20), (5,27), dan seterusnya. Jika kita hubungkan titik-titik ini, kita tidak akan mendapat garis lurus dari titik pertama. Namun, mulai dari titik kedua (2,6), titik-titik berikutnya membentuk garis lurus yang naik dengan kemiringan tetap sebesar
7.

Garis lurus ini jika diperpanjang ke kiri (n=1) akan memotong sumbu Y di -8 (karena rumus 7n-8, interceptnya -8). Trennya jelas: perkembangan barisan ini, setelah lompatan awal, akan terus naik secara konsisten sebesar 7 untuk setiap peningkatan n. Arah perkembangannya linear dan menanjak tanpa batas.

Aplikasi dan Contoh Serupa

Pola barisan seperti ini, dengan pertambahan yang stabil setelah penyesuaian awal, sangat umum dalam kehidupan. Misalnya dalam menghitung total biaya, jarak tempuh, atau akumulasi sumber daya. Memahami pola ini memungkinkan kita membuat prediksi jangka panjang dengan cukup akurat.

Contoh Masalah Sehari-hari

Pertama, model biaya langganan dengan promo. Bayangkan promo tiga bulan pertama: bulan pertama bayar Rp 1, bulan kedua Rp 6, bulan ketiga Rp 13, dan seterusnya dengan kenaikan normal Rp 7 per bulan. Kedua, pola penumpukan barang di gudang. Hari pertama masuk 1 kotak, hari kedua masuk 5 kotak (total 6), lalu setiap hari berikutnya masuk 7 kotak secara tetap.

Ketiga, pertumbuhan tinggi tanaman tertentu. Minggu pertama tumbuh 1 cm, minggu kedua tumbuh 5 cm (total 6), lalu setiap minggu tumbuh 7 cm secara konsisten.

Menyusun Barisan Baru dan Verifikasi Keanggotaan

Untuk menyusun barisan baru dengan pola pertumbuhan sama (beda 7 setelah suku kedua) tetapi suku awal berbeda, misalnya suku pertama = a. Maka suku kedua bisa = a + 5, dan suku ketiga = (a+5) + 7 = a +
12. Rumus umum untuk n≥2 menjadi Un = (a+5) + 7(n-2) = a + 7n –
9. Prosedurnya: tentukan suku pertama, hitung suku kedua dengan menambah 5, lalu suku-suku berikutnya selalu tambah 7.

Nah, kalau kamu udah beres hitung suku ke-20 dari barisan 1, 6, 13, 20,… yang polanya loncat-loncat itu, sekarang kita uji logika geometri. Coba bayangkan, angka hasil hitunganmu tadi bisa jadi semacam ‘kunci’ untuk memahami bangun ruang, misalnya saat kamu mau cari Luas Belah Ketupat dengan Keliling 180 cm dan Diagonal 14 cm. Proses analisis datanya seru, lho, mirip kayak nemuin pola tersembunyi dalam deret angka tadi.

Jadi, setelah paham konsep luas belah ketupat, kamu pasti makin jago ngerjain soal barisan bilangan yang terlihat rumit sekalipun.

Untuk memverifikasi apakah suatu bilangan X merupakan bagian dari barisan awal (1,6,13,20,…), kita gunakan rumus Un = 7n –
8. Artinya, X harus memenuhi X = 7n – 8 untuk suatu bilangan asli n ≥
2. Selesaikan untuk n: n = (X + 8)/
7. Jika hasil (X+8) habis dibagi 7 dan hasil bagi tersebut adalah bilangan bulat ≥ 2, maka X adalah suku dalam barisan.

Contoh: Apakah 132 anggota barisan? (132+8)/7 = 140/7 = 20. Karena 20 bilangan bulat dan ≥ 2, maka 132 adalah suku ke-20.

Latihan dan Pengembangan Konsep

Agar pemahaman tentang barisan bertingkat seperti ini semakin dalam, coba kerjakan beberapa soal latihan berikut. Soal-soal ini dirancang bertingkat, dari yang langsung menerapkan rumus hingga yang membutuhkan analisis pola yang lebih mendalam.

Soal Latihan Bertingkat

• Mudah: Tentukan suku ke-10 dari barisan 1, 6, 13, 20, …
• Sedang: Diketahui suatu barisan memiliki pola suku pertama 3 dan mengikuti pola penambahan yang sama dengan barisan di atas (naik 5 lalu naik 7 secara konsisten). Tentukan suku ke-15 dari barisan baru ini.
• Sulit: Dalam barisan 1, 6, 13, 20, …, suku ke-berapa yang nilainya pertama kali melebihi 500? Tentukan nilai suku tersebut.

Penyelesaian Soal Sulit, Suku ke-20 barisan 1,6,13,20,…

Mari kita selesaikan soal sulit: mencari suku pertama yang nilainya >
500. Kita gunakan rumus Un = 7n –
8. Kita buat pertidaksamaan: 7n – 8 >
500. Selesaikan: 7n > 508 → n > 508/7 ≈ 72.
57.

Karena n harus bilangan asli, maka n minimal adalah
73. Sekarang kita verifikasi: U73 = 7(73)
-8 = 511 – 8 =
503. Apakah 503 > 500? Ya. Cek untuk n=72: U72 = 7(72)-8 = 504-8=496 (masih di bawah 500).

Jadi, suku ke-73 adalah yang pertama kali melebihi 500, dengan nilai 503.

Poin-Poin Kesalahan Umum

• Memaksakan Rumus Arimatika Biasa: Kesalahan paling sering adalah menganggap barisan ini aritmatika dengan beda rata-rata, sehingga rumus Un = a+(n-1)b langsung digunakan tanpa menguji ke suku ketiga.
• Mengabaikan Syarat Berlakunya Rumus: Rumus Un = 7n – 8 tidak berlaku untuk n=1. Menggunakannya untuk n=1 akan menghasilkan nilai -1 yang salah, dan bisa membuat bingung.
• Kesalahan dalam Menghitung Banyaknya Lonjatan: Saat menggunakan metode penjumlahan berurut, kesalahan sering terjadi dalam menghitung berapa kali penambahan terjadi. Dari suku ke-a ke suku ke-b, banyaknya penambahan adalah (b – a), bukan (b – a + 1).
• Tidak Memverifikasi dengan Suku yang Diketahui: Langsung percaya pada rumus yang diduga tanpa menguji kebenarannya untuk 2 atau 3 suku awal yang sudah jelas dari barisan.

Ulasan Penutup

Source: studyxapp.com

Jadi, setelah mengikuti seluruh penelusuran ini, kita bukan cuma dapat angka 267 sebagai suku ke-20. Lebih dari itu, kita dapat logika, pola pikir, dan sebuah template untuk menyelesaikan berbagai pola bilangan serupa. Ingat, matematika seringkali tentang mengamati pola, berani mencoba, dan menikmati proses ‘aha!’ saat semuanya menjadi jelas. Coba terapkan pemahaman ini pada barisan lain atau buat soal latihan sendiri, dijamin skill matematika lo akan naik bertingkat layaknya barisan tadi!

Nah, kalau kita hitung suku ke-20 dari barisan 1, 6, 13, 20, …, kita akan dapat angka 267. Proses mencari pola ini mirip banget dengan filosofi Yang Dikerjakan dan Dilingkari , di mana fokus pada langkah sistematis itu kunci. Jadi, setelah paham konsepnya, balik lagi ke soal tadi, menemukan suku ke-20 jadi jauh lebih mudah dan masuk akal, bukan sekadar tebak-tebakan.

Detail FAQ

Apakah barisan 1, 6, 13, 20,… termasuk barisan aritmatika?

Tidak. Barisan aritmatika memiliki selisih (beda) yang tetap antar sukunya. Di barisan ini, selisihnya berubah: 5, 7, 9,… yang merupakan barisan aritmatika itu sendiri. Jadi, ini adalah barisan bertingkat dua atau barisan kuadratik.

Bagaimana cara cepat mengetahui rumus suku ke-n barisan seperti ini?

Periksa selisih antar suku. Jika selisih tingkat pertama tidak konstan tetapi selisih tingkat kedua konstan (seperti pada barisan ini, selisih tingkat kedua selalu 2), maka rumusnya berbentuk kuadrat: Un = an² + bn + c. Cari nilai a, b, dan c dengan memasukkan nilai suku yang diketahui.

Apakah suku ke-20 pasti 267? Bagaimana jika saya hitung manual dengan menambahkan selisihnya?

Ya, hasilnya akan sama 267. Menghitung manual dengan melanjutkan pola penambahan selisih yang meningkat 2 setiap langkah (5,7,9,11,… hingga suku ke-20) adalah metode yang valid dan akan membuktikan kebenaran rumus yang digunakan.

Bisakah pola barisan ini diterapkan dalam kehidupan nyata?

Sangat bisa. Contohnya menghitung total biaya dengan diskon bertingkat, pola penyusunan kursi di stadion yang setiap barisnya bertambah dengan pola tertentu, atau pertumbuhan investasi dengan bunga yang meningkat secara bertahap setiap periode.

Bagaimana cara memeriksa apakah sebuah angka, misalnya 100, ada dalam barisan ini?

Samakan rumus Un = n² + 4n – 4 dengan 100, sehingga menjadi persamaan kuadrat n² + 4n – 104 = 0. Jika nilai n yang memenuhi adalah bilangan bulat positif, maka 100 adalah suku ke-n. Jika tidak, maka 100 bukan bagian dari barisan.