a. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 2, 4, 8, 16, ! b. Mengacu pada jawaban a, tulislah rumus suku ke-n dari barisan geometri berikut! (i) 8, 16,. Kedua soal ini bukan sekadar deretan angka acak, melainkan gerbang untuk memahami sebuah pola matematika yang elegan dan sangat berdaya guna: barisan geometri. Bayangkan pola ini seperti virus yang menyebar, investasi yang berbunga, atau konten yang viral di media sosial—semuanya tumbuh dengan cara melipatgandakan, bukan sekadar menambah.
Di sinilah keajaiban rasio bekerja.
Mari kita bedah konsep dasarnya dulu. Barisan geometri adalah sederet bilangan dimana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r). Kalau barisan aritmatika itu naiknya stabil seperti tangga, barisan geometri melesat seperti roket karena perkalian. Untuk memudahkan, perbedaan keduanya bisa dilihat dari inti geraknya: penambahan tetap versus perkalian tetap.
Pengertian dan Konsep Dasar Barisan Geometri
Kalau kamu pernah melihat video viral yang jumlah view-nya meledak berkali-kali lipat dalam waktu singkat, atau menghitung bunga majemuk dari investasi, sebenarnya kamu sudah bersinggungan dengan konsep barisan geometri. Barisan geometri adalah sederetan bilangan yang memiliki pola perkalian tetap antar sukunya. Pola perkalian tetap ini disebut rasio, dilambangkan dengan huruf ‘r’. Jadi, untuk mendapatkan suku berikutnya, kamu cukup mengalikan suku sebelumnya dengan rasio yang sama itu-itu terus.
Konsep ini terlihat sederhana, tapi dampak pertumbuhan atau penyusutannya bisa sangat dramatis, lho.
Ciri utama barisan geometri adalah adanya rasio (r) yang konstan. Misalnya, dalam barisan 2, 4, 8, 16, … kita selalu mengalikan suku sebelumnya dengan 2 untuk mendapatkan suku berikutnya. Rasio di sini adalah 2. Contoh lain dalam kehidupan sehari-hari adalah peluruhan radioaktif (penyusutan), pembelahan bakteri (pertumbuhan), atau penyusutan nilai barang karena depresiasi.
Perbandingan Barisan Aritmatika dan Geometri, A. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 2, 4, 8, 16, ! b. Mengacu pada jawaban a, tulislah rumus suku ke-n dari barisan geometri berikut! (i) 8, 16,
Source: kompas.com
Banyak yang masih bingung membedakan barisan aritmatika dan geometri. Padahal, kuncinya cuma satu: aritmatika ditandai dengan penambahan/pengurangan yang tetap (selisih/beda), sementara geometri ditandai dengan perkalian/pembagian yang tetap (rasio). Perbedaan mendasar ini menghasilkan pola pertumbuhan yang sangat berbeda. Tabel berikut merangkum perbedaannya.
| Aspek | Barisan Aritmatika | Barisan Geometri |
|---|---|---|
| Pola Perubahan | Penambahan atau pengurangan nilai tetap (beda, b). | Perkalian atau pembagian nilai tetap (rasio, r). |
| Rumus Suku ke-n | Un = a + (n-1)b | Un = a × r(n-1) |
| Grafik | Membentuk garis lurus jika diplot. | Membentuk kurva eksponensial (melengkung tajam). |
| Contoh Sederhana | 3, 7, 11, 15, … (selalu +4) | 3, 6, 12, 24, … (selalu ×2) |
| Dampak Jangka Panjang | Pertumbuhan/penyusutan bersifat linier dan stabil. | Pertumbuhan/penyusutan bersifat eksponensial, bisa sangat cepat atau lambat. |
Menentukan Rumus Suku ke-n (U_n) Barisan Geometri
Setelah paham konsep dasarnya, sekarang kita masuk ke inti persoalan: bagaimana cara menemukan rumus suku ke-n? Rumus ini adalah senjata pamungkas untuk mencari suku ke-100 tanpa harus menulis 99 suku sebelumnya. Proses penurunannya sangat logis dan mengandalkan pemahaman tentang rasio.
Langkah sistematisnya selalu dimulai dengan mengidentifikasi dua hal: suku pertama (a) dan rasio (r). Setelah kedua angka kunci ini ditemukan, kita tinggal memasukkannya ke dalam rumus umum. Mari kita demonstrasikan dengan contoh barisan 2, 4, 8, 16, …
Langkah 1: Tentukan suku pertama (a).
a = 2
Langkah 2: Tentukan rasio (r) dengan membagi suatu suku dengan suku sebelumnya.
r = 4 / 2 = 2 (atau 8 / 4 = 2, dan seterusnya).
Langkah 3: Substitusi ke dalam rumus umum U n = a × r (n-1).
U n = 2 × 2 (n-1)
Langkah 4 (opsional): Sederhanakan rumus.U n = 2 1 × 2 (n-1) = 2 (1 + n – 1) = 2n
Jadi, rumus suku ke-n untuk barisan 2, 4, 8, 16, … adalah U n = 2 n. Coba tes untuk suku ke-3: U 3 = 2 3 = 8. Benar, kan? Tabel berikut merinci penerapannya untuk beberapa suku awal.
| Suku ke-n (n) | Nilai Suku | Rasio (r) | Penerapan Rumus Un = 2n |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | – | 21 = 2 |
| 2 | 4 | 4/2 = 2 | 22 = 4 |
| 3 | 8 | 8/4 = 2 | 23 = 8 |
| 4 | 16 | 16/8 = 2 | 24 = 16 |
| 5 | 32 | 32/16 = 2 | 25 = 32 |
Aplikasi Rumus pada Berbagai Variasi Soal
Sekarang, kita terapkan ilmu yang sama untuk soal yang kamu berikan: menentukan rumus suku ke-n dari barisan 8, 16, … Prosedurnya persis sama, hanya angkanya yang berbeda. Kuncinya adalah identifikasi yang tepat.
Dari barisan 8, 16, … kita bisa langsung melihat bahwa suku pertama (a) adalah
8. Rasio (r) didapat dari 16 dibagi 8, yang hasilnya
2. Dengan a = 8 dan r = 2, rumus suku ke-n-nya adalah:
Un = a × r (n-1)
U n = 8 × 2 (n-1)
Rumus ini sudah final dan dapat digunakan. Untuk mengasah kemampuan, coba selesaikan tiga contoh latihan dengan tingkat kesulitan berbeda berikut ini.
Contoh 1 (Mudah): Diketahui barisan geometri 3, 6, 12, 24, … Tentukan suku ke-7 (U 7).
Penyelesaian: a = 3, r = 6/3 = 2. U n = 3 × 2 (n-1). Maka U 7 = 3 × 2 (6) = 3 × 64 = 192.
Contoh 2 (Sedang): Suku ke-2 suatu barisan geometri adalah 6 dan suku ke-5 adalah 48. Tentukan rumus suku ke-n.
Penyelesaian: U 2 = a × r = U 5 = a × r 4 =
48. Bagi U5 dengan U 2
(a × r 4) / (a × r) = r 3 = 48/6 =
- Jadi r = ∛8 =
- Substitusi ke a × r = 6, maka a × 2 = 6, sehingga a =
3. Rumusnya
Un = 3 × 2 (n-1).
Contoh 3 (Menantang): Tentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri 81, -27, 9, -3, …
Penyelesaian: a = r = (-27) / 81 = -1/3. Perhatikan tanda negatif pada rasio. Rumusnya
U n = 81 × (-1/3) (n-1). Bisa juga ditulis: Un = 81 × (-1) (n-1) / 3 (n-1).
Visualisasi dan Pola Pertumbuhan Geometri
Membayangkan pertumbuhan barisan geometri akan lebih mudah jika kita visualisasikan. Bayangkan grafik dengan sumbu horizontal sebagai nomor suku (n) dan sumbu vertikal sebagai nilai suku (U n). Untuk barisan 2, 4, 8, 16,… grafiknya akan menunjukkan titik-titik yang melonjak semakin tinggi dengan cepat, membentuk kurva yang melengkung tajam ke atas. Ini menggambarkan pertumbuhan eksponensial, di mana penambahan nilai tidak konstan, tetapi proporsional terhadap nilai saat ini.
Karakter visual grafik ini sangat bergantung pada nilai rasio (r). Perubahan kecil pada rasio bisa mengubah wajah grafik secara drastis. Berikut adalah dampak perubahan rasio terhadap nilai suku-suku barisan.
- Rasio > 1 (contoh: r=2, r=3): Barisan akan naik secara eksponensial. Semakin besar r, semakin curam kurva naiknya. Contoh: pertumbuhan bakteri atau investasi dengan bunga majemuk tinggi.
- 0 < Rasio < 1 (contoh: r=1/2, r=0.8): Barisan akan turun secara eksponensial mendekati nol. Grafiknya menurun dan melandai. Contoh: penyusutan nilai mobil atau peluruhan dosis obat dalam tubuh.
- Rasio < 0 (contoh: r=-2, r=-1/2): Barisan akan berselang-seling (alternating) antara positif dan negatif. Jika |r|>1, nilai mutlaknya membesar; jika |r| <1, nilai mutlaknya mengecil. Contoh: pola osilasi dalam beberapa model fisika atau ekonomi.
Latihan dan Pengembangan Pemahaman
Teori tanpa praktek ibarat pisau tumpul. Bagian ini dirancang untuk mengasah ketajamanmu dalam menentukan rumus suku ke-n melalui latihan mandiri dan masalah kontekstual. Jangan lewatkan juga pembahasan tentang jebakan-jebakan umum yang sering menjerat.
Berikut lima soal latihan untuk kamu kerjakan. Coba selesaikan sendiri sebelum melihat kunci jawaban di bagian paling bawah.
- Tentukan rumus suku ke-n dari barisan: 5, 15, 45, 135, …
- Tentukan suku ke-8 dari barisan: 256, 128, 64, 32, …
- Diketahui barisan geometri dengan U3 = 20 dan U 6 = 160. Tentukan suku pertama (a) dan rasio (r).
- Tuliskan 4 suku pertama barisan geometri dengan a = 100 dan r = 0.9.
- Tentukan rumus suku ke-n dari barisan: 1, -4, 16, -64, …
Untuk melihat penerapannya dalam dunia nyata, simak masalah kontekstual ini. Sebuah video diunggah ke platform dan mendapatkan 500 view di hari pertama. Karena algoritma, jumlah view hari berikutnya selalu 1.5 kali view hari sebelumnya. Berapa perkiraan view pada hari ke-10? Penyelesaiannya jelas menggunakan barisan geometri dengan a=500 dan r=1.5.
Kita cari U 10 = 500 × (1.5) 9.
Dalam perjalanan belajar, beberapa kesalahan sering terjadi. Pertama, kesalahan menentukan rasio. Pastikan kamu selalu membagi suku berikutnya dengan suku sebelumnya (U n+1/U n), bukan sebaliknya. Kedua, lupa bahwa suku pertama (a) bukan selalu angka pertama yang terlihat. Jika soal memberi informasi U p dan U q, kamu harus menurunkan rumus untuk menemukan a.
Ketiga, mengabaikan tanda negatif pada rasio. Rasio negatif menghasilkan barisan selang-seling, dan tanda ini harus ikut dipangkatkan dalam rumus.
Kunci Jawaban Latihan:
1. U n = 5 × 3 (n-1)
2. r = 128/256 = 1/2. U 8 = 256 × (1/2) 7 = 256/128 = 2.
3.
Dari U 3 dan U 6: r 3 = 160/20 = 8, jadi r=
2. Substitusi: a × 2 2=20 → a=5.
4. 100; 90; 81; 72.9.
5.
a=1, r=-4. U n = 1 × (-4) (n-1) atau U n = (-4) (n-1).
Kesimpulan Akhir
Jadi, setelah mengulik dari barisan 2, 4, 8, 16 hingga 8, 16, …, intinya cuma dua: tangkap suku pertamanya (a) dan rasio (r), lalu masukkan ke rumus sakti U_n = a
– r^(n-1). Pola perkalian ini adalah bahasa universal untuk memahami pertumbuhan yang eksplosif atau penyusutan yang drastis. Sekarang, coba lihat sekeliling—banyak fenomena yang ternyata mengikuti pola ini. Rumus yang barusan kita pecahkan bersama itu bukan cuma untuk menjawab soal, tapi juga untuk membaca ritme dunia.
Selamat bereksplorasi lebih jauh!
Area Tanya Jawab: A. Tentukan Rumus Suku Ke-n Dari Barisan 2, 4, 8, 16, ! B. Mengacu Pada Jawaban A, Tulislah Rumus Suku Ke-n Dari Barisan Geometri Berikut! (i) 8, 16,
Bagaimana jika suku yang diketahui tidak berurutan, misalnya hanya suku ke-2 dan suku ke-5?
Kita tetap bisa mencari rasio. Jika U_2 = a*r dan U_5 = a*r^4, maka bagi U_5 dengan U_2 untuk menghilangkan ‘a’, sehingga didapat r^3. Cari akar pangkat tiga dari hasil bagi tersebut untuk mendapatkan nilai r, lalu substitusi ke salah satu persamaan untuk mencari a.
Apa bedanya rumus suku ke-n barisan geometri dengan deret geometri?
Rumus suku ke-n (U_n = a
– r^(n-1)) digunakan untuk mencari nilai satu suku tertentu pada posisi ke-n. Sementara rumus deret geometri (S_n = a(1 – r^n)/(1 – r) untuk r≠1) digunakan untuk menjumlahkan seluruh suku dari suku pertama hingga suku ke-n.
Nah, kalau kamu lagi berurusan dengan barisan geometri kayak 2, 4, 8, 16, rumus suku ke-n-nya itu Un = 2 x 2^(n-1). Prinsip yang sama bisa kamu terapin buat barisan 8, 16, dan seterusnya. Eh, ngomong-ngomong soal hitungan, pernah nggak nemu soal Tentukan hasil dari: 1. 1/4 x 3/4 2. 3/4 x 5/7 ?
Latihan dasar perkalian pecahan gitu penting banget, lho, biar nalar matematika lo makin tajam buat ngerjain soal kompleks kayak nyari rumus suku ke-n tadi. Jadi, setelah paham konsep dasarnya, pasti kamu bisa nemuin rumus untuk barisan 8, 16 itu dengan lebih gampang.
Bagaimana cara membedakan barisan geometri naik atau turun hanya dari rasionya?
Jika rasio (r) > 1, barisan akan naik (contoh: 2, 6, 18,…). Jika 0 < r < 1, barisan akan turun (contoh: 16, 8, 4,...). Jika r < 0, barisan akan naik-turun secara bergantian tanda (contoh: 3, -6, 12, -24,...).
Apakah barisan 2, 4, 8, 16,… bisa disebut barisan aritmatika juga?
Tidak. Barisan aritmatika memiliki selisih (beda) yang tetap antar suku. Di barisan ini, selisihnya (2, 4, 6,…) tidak tetap. Yang tetap adalah rasionya, yaitu 2 (setiap suku dikali 2), sehingga ia adalah barisan geometri murni.
