Dari suatu barisan aritmetika diketahui U3 = 5, U7 = 13, dan beda 2. Rumus suku ke- n barisan bilangan tersebut adalah teka-teki angka yang sebenarnya punya pola rapi di baliknya. Bayangkan kamu punya deret angka yang loncatnya tetap, seperti anak tangga yang jaraknya selalu sama. Nah, soal ini kasih kita beberapa anak tangga yang sudah diketahui posisinya, lalu tantang kita untuk bikin rumus supaya bisa nebak posisi anak tangga ke berapa pun.
Seru, kan? Nggak perlu takut, karena sebenarnya kita cuma perlu nyelipin angka-angka yang diketahui ke dalam rumus sakti yang sudah ada.
Barisan aritmatika itu ibarat ritme dalam musik, punya ketukan dasar yang konsisten. Di sini, kita dikasih kunci: suku ketiga (U3) bernilai 5, suku ketujuh (U7) bernilai 13, dan beda tiap loncatan adalah 2. Informasi ini lebih dari cukup untuk kita bongkar rahasia seluruh barisannya. Tugas kita sekarang adalah menyelidiki, dari data yang terbatas itu, bagaimana cara menemukan suku pertama yang menjadi titik awal segala perhitungan.
Nah, dari barisan aritmatika dengan U3=5 dan beda 2, kita bisa temukan rumus suku ke-n-nya. Ini mirip logika praktis saat kita bagi-bagi sumber daya, kayak kasus Edi akan memagari kebun bunganya. Untuk itu, ia memerlukan tiang-tiang yang tingginya 1 1/2 m. Berapa banyak tiang yang bisa dibuat dari sebatang besi. Setelah paham pola membaginya, kita kembali ke rumus barisan tadi, yang intinya adalah menemukan pola tetap dari data yang tersedia.
Setelah itu, meracik rumus akhirnya jadi pekerjaan yang hampir otomatis.
Memahami Dasar Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah salah satu konsep matematika yang paling sering kita temui, bahkan dalam hal-hal sederhana sehari-hari. Intinya, barisan ini adalah daftar bilangan dimana selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih tetap inilah yang disebut beda, dilambangkan dengan huruf b. Sementara bilangan pertama dalam barisan itu disebut suku pertama atau a.
Misalnya, bayangkan kamu menabung rutin. Setiap minggu kamu menambah tabungan sebesar Rp10.000,
00. Jika minggu pertama kamu punya Rp50.000,00, maka urutan tabunganmu membentuk barisan aritmetika: 50.000, 60.000, 70.000, dan seterusnya. Di sini, suku pertama (a) adalah 50.000 dan beda (b) adalah 10.
000.
Untuk mencari suku ke berapa pun, kita punya senjata andalan: rumus suku ke- n.
Un = a + (n – 1)b
Rumus ini adalah kunci utama. Dengan mengetahui suku pertama dan bedanya, kita bisa menghitung nilai suku yang letaknya sangat jauh sekalipun tanpa harus menuliskan semua suku sebelumnya. Sebagai gambaran, mari kita lihat tabel perhitungan untuk 5 suku pertama dari contoh tabungan tadi.
| n (Suku ke-) | Rumus Un | Perhitungan | Hasil (Rp) |
|---|---|---|---|
| 1 | a + (1-1)b | 50.000 + 0 × 10.000 | 50.000 |
| 2 | a + (2-1)b | 50.000 + 1 × 10.000 | 60.000 |
| 3 | a + (3-1)b | 50.000 + 2 × 10.000 | 70.000 |
| 4 | a + (4-1)b | 50.000 + 3 × 10.000 | 80.000 |
| 5 | a + (5-1)b | 50.000 + 4 × 10.000 | 90.000 |
Mengurai Soal: Mencari Suku Pertama yang Hilang
Sekarang kita masuk ke kasus spesifik dari soal. Informasi yang diberikan adalah U 3 = 5, U 7 = 13, dan beda (b) = 2. Terdengar seperti teka-teki, di mana kita tahu beberapa petunjuk tapi belum tahu titik awalnya. Di sini, peran suku pertama (a) menjadi krusial. Kita bisa memanfaatkan rumus umum dan informasi dari suku ketiga atau ketujuh untuk mencarinya.
Langkahnya cukup sistematis. Kita tahu rumus U 3 adalah a + (3-1)b. Karena nilai U 3 dan b sudah diketahui, kita bisa menyusun persamaan sederhana untuk mencari a.
Nah, kalau kamu udah nemu rumus suku ke-n barisan aritmetika dari data U3=5 dan beda 2, yaitu Un = 2n – 1, berarti kamu paham konsep pola pertambahan yang teratur. Pola terstruktur kayak gini mirip banget sama cara kita analisis data nyata, kayak Berdasarkan data BPS tahun 2010 (www.bps.go.id) jumlah penduduk pulau Jawa mencapai 130 juta jiwa (melalui proses pembulatan).
Sedangkan luas pulau. Kembali ke soal barisan, dengan rumus tadi, kamu bisa prediksi suku berapa pun dengan mudah, kan? Intinya, logika matematika bikin hal kompleks jadi sederhana.
U3 = a + (3-1)b
- = a + (2) × 2
- = a + 4
a = 5 – 4
a = 1
Untuk memastikan tidak ada kesalahan, kita verifikasi dengan data dari suku ketujuh. Jika a = 1 dan b = 2, maka U 7 harusnya 1 + (6)×2 = 13. Hasilnya cocok dengan informasi soal. Ini membuktikan perhitungan kita konsisten. Jadi, titik awal barisan kita, suku pertamanya, adalah 1.
Merancang dan Menguji Rumus Suku ke-n: Dari Suatu Barisan Aritmetika Diketahui U3 = 5, U7 = 13, Dan Beda 2. Rumus Suku Ke- N Barisan Bilangan Tersebut Adalah
Setelah berhasil mengungkap nilai a = 1 dan b = 2, kita kini punya semua bahan untuk merumuskan pola barisan ini secara lengkap. Tinggal masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus umum, maka jadilah rumus spesifik untuk barisan kita.
Un = 1 + (n – 1) × 2
U n = 1 + 2n – 2
U n = 2n – 1
Rumus U n = 2n – 1 ini lebih ringkas dan siap pakai. Sebelum digunakan lebih jauh, penting untuk mengujinya dengan menghitung ulang U 3 dan U 7. Untuk n=3, hasilnya 2(3)-1=5. Untuk n=7, hasilnya 2(7)-1=13. Semuanya sesuai.
Untuk melihat pola yang terbentuk, berikut perhitungan sepuluh suku pertama menggunakan rumus ini.
| n | Rumus Un = 2n-1 | Perhitungan | Hasil |
|---|---|---|---|
| 1 | 2(1) – 1 | 2 – 1 | 1 |
| 2 | 2(2) – 1 | 4 – 1 | 3 |
| 3 | 2(3) – 1 | 6 – 1 | 5 |
| 4 | 2(4) – 1 | 8 – 1 | 7 |
| 5 | 2(5) – 1 | 10 – 1 | 9 |
| 6 | 2(6) – 1 | 12 – 1 | 11 |
| 7 | 2(7) – 1 | 14 – 1 | 13 |
| 8 | 2(8) – 1 | 16 – 1 | 15 |
| 9 | 2(9) – 1 | 18 – 1 | 17 |
| 10 | 2(10) – 1 | 20 – 1 | 19 |
Menerapkan Rumus dalam Berbagai Situasi
Dengan rumus U n = 2n – 1 yang sudah terverifikasi, kita bisa menjawab berbagai pertanyaan lanjutan dengan mudah. Misalnya, berapa nilai suku ke-20? Tinggal substitusi: U 20 = 2(20)
-1 =
39. Dalam soal yang lebih kompleks, seringkali beda (b) tidak diberikan langsung. Misal, jika hanya diketahui U 2 = 7 dan U 5 = 16, kita bisa mencari bedanya dulu dengan konsep jarak: dari suku ke-2 ke ke-5 ada selisih 3 langkah, dan nilai naik 9 (dari 7 ke 16), sehingga b = 9/3 = 3.
Baru kemudian cari a.
Jika kita gambarkan barisan ini dalam bidang koordinat, dengan sumbu X sebagai nomor suku (n) dan sumbu Y sebagai nilai suku (U n), kita akan mendapatkan titik-titik yang membentuk garis lurus. Titik-titik seperti (1,1), (2,3), (3,5), dan seterusnya akan terletak sempurna pada garis linear dengan kemiringan 2 (yang tak lain adalah nilai beda b) dan memotong sumbu Y di -1 (jika garis diperpanjang).
Ini menunjukkan hubungan erat antara barisan aritmetika dan fungsi linear.
Eksplorasi Konsep: Dari Suku ke Jumlah dan Hubungannya
Source: colearn.id
Rumus suku ke-n yang linear, U n = 2n – 1, sebenarnya bisa dilihat sebagai sebuah fungsi f(x) = 2x – 1, dimana domain x adalah bilangan asli. Pandangan ini membuka pintu untuk menghitung jumlah dari beberapa suku pertama, yang sering ditanyakan dalam soal. Jumlah n suku pertama barisan aritmetika disimbolkan S n dan memiliki rumusnya sendiri.
Sn = (n/2) × (2a + (n-1)b) atau S n = (n/2) × (suku pertama + suku terakhir)
Untuk barisan kita (a=1, b=2), rumus jumlahnya menjadi S n = (n/2) × (2 + (n-1)2) = (n/2) × (2n) = n 2. Ternyata, jumlah n suku pertama barisan ini sederhana sekali, yaitu n kuadrat. Fakta menarik lainnya adalah selisih antara S n dan S n-1 pasti akan menghasilkan suku ke-n (U n). Berikut tabel yang menunjukkan hubungan harmonis antara n, U n, S n, dan selisih jumlahnya.
| n | Un = 2n-1 | Sn = n2 | Selisih (Sn – Sn-1) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | – |
| 2 | 3 | 4 | 3 (4-1) |
| 3 | 5 | 9 | 5 (9-4) |
| 4 | 7 | 16 | 7 (16-9) |
| 5 | 9 | 25 | 9 (25-16) |
Dari tabel terlihat jelas bahwa kolom terakhir sama persis dengan nilai U n. Ini membuktikan konsistensi logika matematika di balik barisan dan deret aritmetika.
Kesimpulan
Jadi, setelah mengutak-atik angka, akhirnya kita temukan bahwa rumus suku ke-n untuk barisan ini adalah Un = 2n – 1. Rumus yang sederhana ini punya kekuatan besar; ia bisa menjawab pertanyaan tentang suku ke-100, ke-1000, atau berapa pun tanpa harus menghitung satu per satu dari awal. Ini bukti bahwa matematika seringkali tentang menemukan pola dan merumuskannya, bukan sekadar menghafal. Dengan rumus di tangan, kamu sekarang punya kunci untuk membuka semua pintu pertanyaan tentang deret ini.
Coba terapkan, buktikan sendiri, dan lihat bagaimana angka-angka itu jatuh pada tempatnya dengan sempurna.
FAQ Terpadu
Apakah beda (b) = 2 itu selalu ditambahkan?
Ya, dalam barisan ini, beda 2 selalu ditambahkan ke suku sebelumnya untuk mendapatkan suku berikutnya. Jika bedanya negatif, maka justru akan dikurangi.
Bagaimana jika soalnya tidak memberi tahu nilai bedanya?
Jika diketahui dua suku berbeda, misalnya U3 dan U7, beda (b) bisa dicari dulu dengan rumus: b = (U7 – U3) / (7 – 3). Setelah dapat b, baru cari suku pertama (a).
Apakah rumus Un = 2n – 1 bisa digunakan untuk n bukan bilangan bulat positif?
Secara definisi barisan, n biasanya bilangan asli (1,2,3,…). Rumusnya bisa menghitung untuk n lain secara matematis, tetapi hasilnya bukan lagi “suku ke-n” dalam konteks barisan diskrit.
Bagaimana cara cepat mengecek kebenaran rumus yang saya dapat?
Substitusikan nilai n dari suku yang diketahui (seperti n=3 dan n=7) ke dalam rumus. Jika hasilnya sesuai dengan data soal (5 dan 13), maka rumusmu sudah benar.
Apa hubungan barisan ini dengan fungsi linear?
Rumus Un = 2n – 1 mirip dengan fungsi linear f(x) = 2x – 1. Grafiknya akan berbentuk titik-titik terpisah (karena n bilangan bulat) yang segaris lurus.
