Nyatakan perpangkatan berikut ini dalam bentuk yang paling sederhana: (-125) x (-5)^6. Kedengarannya seperti teka-teki angka yang bikin penasaran, ya? Soal seperti ini seringkali muncul dan menguji pemahaman kita tentang sifat-sifat dasar perpangkatan, terutama ketika melibatkan bilangan negatif. Tapi jangan khawatir, menyelesaikannya ternyata lebih mudah dari yang dibayangkan, asal kita tahu trik sederhana untuk melihat pola yang tersembunyi di balik angka-angka tersebut.
Inti dari soal ini adalah mengubah ekspresi yang tampak kompleks menjadi satu bentuk perpangkatan tunggal yang rapi. Kita akan bermain-main dengan angka 125 dan 5, serta mengamati bagaimana pangkat genap pada bilangan negatif bekerja. Dengan pendekatan yang tepat, kita bisa mengurai soal ini langkah demi langkah hingga menemukan jawaban akhir yang elegan dan, tentu saja, paling sederhana.
Memahami Permasalahan Dasar
Sebelum kita masuk ke dalam perhitungan yang spesifik, ada baiknya kita sepakati dulu beberapa aturan main dasar. Soal ini melibatkan dua hal krusial: perpangkatan bilangan negatif dan perkalian antar bilangan. Keduanya punya logikanya sendiri yang jika digabungkan justru bisa menghasilkan penyederhanaan yang elegan. Mari kita ulas pelan-pelan agar fondasinya kuat.
Pertama, tentang bilangan negatif yang dipangkatkan. Hasilnya sangat ditentukan oleh si pangkatnya. Jika pangkatnya genap, hasilnya selalu positif karena perkalian negatif berpasangan akan saling meniadakan tanda minus. Sebaliknya, pangkat ganjil akan menjaga tanda negatifnya. Kedua, aturan perkalian tanda: negatif dikali negatif hasilnya positif.
Nah, dalam ekspresi (-125) x (-5)^6, kita akan memainkan kedua aturan ini dengan cerdik.
Langkah Awal Penyederhanaan Ekspresi
Pendekatan paling aman adalah memisahkan dulu komponen numerik dan tanda. Angka (-5)^6, karena pangkatnya genap (6), sudah pasti bernilai positif. Kita bisa fokus menghitung 5^6 terlebih dahulu. Sementara itu, -125 adalah bilangan negatif berdiri sendiri. Untuk memudahkan visualisasi, mari kita lihat pola yang terbentuk dari perpangkatan (-5).
| Pangkat (n) | Bentuk (-5)^n | Perhitungan Berulang | Hasil Akhir |
|---|---|---|---|
| 1 | (-5)^1 | -5 | -5 |
| 2 | (-5)^2 | (-5) x (-5) | 25 |
| 3 | (-5)^3 | 25 x (-5) | -125 |
| 4 | (-5)^4 | -125 x (-5) | 625 |
| 5 | (-5)^5 | 625 x (-5) | -3125 |
| 6 | (-5)^6 | -3125 x (-5) | 15625 |
Dari tabel, terlihat sesuatu yang menarik: (-5)^3 menghasilkan -125. Ini adalah kunci untuk menyederhanakan soal kita, karena kita bisa menulis -125 dalam bentuk perpangkatan dengan basis yang sama, yaitu -5.
Menyederhanakan Bentuk Perpangkatan
Setelah melihat pola, strateginya menjadi jelas. Alih-alih menganggap -125 sebagai bilangan bulat biasa, kita akan mengubahnya menjadi bentuk perpangkatan. Tujuannya agar basisnya sama dengan komponen kedua, yaitu (-5)^6. Dengan basis yang sama, kita bisa menggunakan aturan perkalian pangkat yang sangat powerful.
Mengubah -125 ke Bentuk Perpangkatan
Perhatikan bahwa 125 adalah 5 x 5 x 5, atau 5^
3. Karena yang kita miliki adalah -125, maka bentuk perpangkatannya adalah -(5^3). Namun, untuk menyamakan basis dengan (-5), kita perlu menulisnya dengan cermat. Ingat, (-5)^3 = (-5) x (-5) x (-5) = –
125. Jadi, kita bisa melakukan substitusi langsung:
-125 = (-5)^3
Dengan substitusi ini, soal awal yang berbentuk (-125) x (-5)^6 berubah menjadi (-5)^3 x (-5)^6. Sekarang kedua bagian memiliki basis yang persis sama, yaitu (-5).
Prinsip Penggabungan Pangkat
Inilah momen ajaibnya. Ketika kita mengalikan dua perpangkatan dengan basis yang sama, kita cukup menjumlahkan pangkatnya. Prinsip ini adalah senjata pamungkas untuk menyederhanakan ekspresi.
a^m x a^n = a^(m+n)
Prinsip tersebut berlaku untuk semua bilangan real ‘a’ (kecuali nol dalam konteks tertentu) dan bilangan bulat m dan n. Dalam kasus kita, a = -5, m = 3, dan n =
6. Maka, perhitungannya menjadi:
(-5)^3 x (-5)^6 = (-5)^(3+6) = (-5)^9
Dengan satu langkah, ekspresi perkalian yang tampak panjang telah berubah menjadi satu bentuk perpangkatan tunggal.
Analisis Tanda dan Hasil Akhir
Kita sudah sampai pada bentuk (-5)^9. Apakah ini sudah paling sederhana? Belum sepenuhnya. Bentuk perpangkatan memang sederhana, tetapi kita bisa mengevaluasi lebih lanjut mengenai tanda dan nilainya. Pangkat 9 adalah bilangan ganjil, yang berarti hasil dari (-5)^9 pasti negatif.
Namun, dalam matematika, seringkali kita diminta menyatakan dalam bentuk bilangan bulat atau perpangkatan positif. Mari kita selesaikan.
Proses Perhitungan Akhir
Karena pangkatnya ganjil, tanda negatif dari basis -5 akan tetap. Jadi, (-5)^9 =
-(5^9). Sekarang tugas kita adalah menghitung 5^
9. Kita bisa memecahnya: 5^9 = 5^(3+6) = 5^3 x 5^
6. Kita tahu 5^3 = 125, dan dari tabel sebelumnya, 5^6 (yang sama dengan (-5)^6) =
15625.
Maka:
5^9 = 125 x 15625 = 1.953.125
Sehingga, (-5)^9 = -1.953.125. Inilah bentuk bilangan bulatnya. Namun, jika tujuan soal adalah menyatakan dalam bentuk perpangkatan paling sederhana, maka (-5)^9 itu sendiri sudah merupakan jawaban yang valid dan sering dianggap lebih “sederhana” daripada menulis angka sepuluh digit. Kesederhanaan bergantung pada konteks permintaan soal.
Poin Pemeriksaan Kesederhanaan Jawaban, Nyatakan perpangkatan berikut ini dalam bentuk yang paling sederhana: (-125) x (-5)^6
Untuk memastikan jawaban sudah dalam bentuk paling sederhana, lakukan pemeriksaan berikut:
- Pastikan basis perpangkatan sudah tidak bisa difaktorkan lagi ke bilangan pokok yang lebih kecil.
- Pastikan hanya ada satu bentuk perpangkatan tunggal (jika diminta dalam bentuk pangkat), bukan perkalian atau pembagian antar pangkat.
- Periksa tanda hasil akhir. Jika basis negatif dan pangkat genap, tuliskan sebagai bilangan positif. Jika pangkat ganjil, biarkan tanda negatif melekat pada bentuk perpangkatannya atau nyatakan sebagai bilangan negatif.
- Hitung nilai numeriknya hanya jika soal secara eksplisit meminta hasil akhir berupa bilangan, atau jika pangkat dan basisnya kecil sehingga perhitungan menjadi bagian dari penyederhanaan.
Penerapan dalam Variasi Soal Serupa
Konsep menyederhanakan dengan menyamakan basis ini sangat ampuh dan sering muncul dalam berbagai bentuk. Untuk mengasah kemampuan, coba terapkan logika yang sama pada soal-soal dengan variasi berbeda. Intinya tetap: identifikasi hubungan antar bilangan, ubah ke basis perpangkatan yang sama, lalu gabungkan.
Contoh Soal dan Penyelesaian
Berikut tiga contoh soal yang menguji pemahaman konsep dengan tingkat kerumitan berbeda.
| Contoh Soal | Langkah Penyelesaian | Penjelasan Konsep |
|---|---|---|
| 1. 16 x (-2)^5 | Ubah 16 menjadi (2)^4 atau (-2)^4? Karena (-2)^4 = 16, maka 16 = (-2)^4.
2. Ekspresi menjadi (-2)^4 x (-2)^5 = (-2)^(4+5) = (-2)^9. |
Mengubah bilangan positif (16) menjadi bentuk perpangkatan dengan basis negatif. Perhatikan pangkat genap pada basis negatif menghasilkan bilangan positif. |
| 2. 27 x (-3)^4 x 9 |
1. Ubah semua ke basis 3 27 = 3^3, 9 = 3^(-3)^4 = 3^4 (karena pangkat genap). 2. Ekspresi menjadi 3^3 x 3^4 x 3^2 = 3^(3+4+2) = 3^9. |
Ketika basis negatif dipangkat genap, tanda hilang. Soal bisa diselesaikan dengan basis positif yang setara. Menyederhanakan semua bilangan ke basis terkecil yang sama. |
| 3. (-49) x (-7)^3 |
2. Ekspresi [- ( (-7)^2 )] x (-7)^3 = 2. Maka perkalian (-1) x (-7)^2 x (-7)^3 = (-1) x (-7)^5 = (-1) x (-16807) = 16807. |
Kasus menantang di mana bilangan negatif tidak langsung bisa ditulis sebagai basis negatif berpangkat karena tanda minus terpisah. Butuh ekstra hati-hati dalam mengelola tanda negatif yang bukan bagian dari basis pangkat. |
Kesalahan Umum dan Cara Menghindarinya
Beberapa jebakan sering mengintai. Pertama, terburu-buru menghitung nilai (-5)^6 yang besar (15625) lalu mengalikan dengan -125. Cara ini sah, tetapi tidak efisien dan rawan salah hitung. Kedua, lupa mengonversi -125 menjadi (-5)^3 dan malah menulisnya sebagai 5^3, sehingga basisnya jadi berbeda (5 vs -5). Ketiga, kesalahan menentukan tanda akhir, misalnya mengira (-5)^9 adalah positif karena lupa sifat pangkat ganjil.
Cara terbaik adalah selalu tulis langkah konversi basis dengan jelas dan periksa sifat pangkat (genap/ganjil) pada setiap tahap.
Suatu bentuk perpangkatan sudah paling sederhana ketika ia dinyatakan sebagai sebuah bilangan pokok yang dipangkatkan sebuah bilangan, di mana bilangan pokoknya sudah merupakan bilangan prima atau tidak dapat disederhanakan lagi, dan semua operasi perkalian/pembagian pangkat dengan basis sama telah digabungkan. Pilihan untuk mengevaluasi menjadi bilangan bulat atau membiarkannya dalam bentuk pangkat tergantung pada kompleksitas perhitungan dan instruksi soal.
Ringkasan Akhir: Nyatakan Perpangkatan Berikut Ini Dalam Bentuk Yang Paling Sederhana: (-125) X (-5)^6
Source: slidesharecdn.com
Jadi, itulah perjalanan kita menyederhanakan (-125) x (-5)^6. Prosesnya mengajarkan kita untuk jeli melihat hubungan antar bilangan dan percaya pada aturan matematika yang konsisten. Hasil akhirnya, sebuah bilangan positif yang besar, adalah bukti bahwa menyatukan komponen dengan basis yang sama bisa membuka jalan penyelesaian. Selalu ingat, kunci utamanya adalah mengubah segala sesuatu ke bentuk yang seragam sebelum disatukan. Sekarang, coba terapkan logika yang sama pada soal-soal lain, dan lihat betapa menyenangkannya bermain dengan angka!
Pertanyaan Populer dan Jawabannya
Apakah (-5)^6 sama dengan -5^6?
Tidak sama. (-5)^6 berarti basis negatif lima dipangkatkan enam, hasilnya positif. Sementara -5^6 berarti hanya angka 5 yang dipangkatkan enam (menjadi positif), lalu diberi tanda negatif di depannya, sehingga hasilnya negatif. Tanda kurung sangat penting.
Mengapa -125 harus diubah menjadi (-5)^3, bukan 5^3 saja?
Nah, soal sederhanakan (-125) x (-5)^6 itu mirip kayak nemuin pola tersembunyi. Sama kayak saat lo diminta Tuliskan tiga suku berikutnya dari pola bilangan 1, 2, 3, 5, 8, 13, di mana lo harus jeli liat polanya. Kembali ke soal pangkat, kuncinya adalah melihat bahwa -125 itu adalah (-5)^3, jadi tinggal jumlahin aja pangkatnya buat dapetin hasil akhir yang paling ringkas.
Karena basis pada soal adalah (-5). Agar bisa menggabungkan pangkat menggunakan aturan a^m x a^n = a^(m+n), basisnya (a) harus sama persis, termasuk tandanya. -125 = (-5)^3, sedangkan 5^3 = 125 (positif).
Nah, soal menyederhanakan (-125) x (-5)^6 itu seru banget, mirip kayak kita cari pola tersembunyi dalam angka. Eh, ngomong-ngomong soal pola, kamu juga bisa asah logika dengan memahami posisi titik di bidang koordinat, kayak saat kamu cari tahu Perhatikan bidang koordinat berikut. Bangunan yang mempunyai koordinat (-3, -3) terhadap acuan museum adalah. Kembali ke soal kita, kunci jawabannya adalah menyatukan basis yang sama, di mana -125 itu adalah (-5)^3, jadi hasil akhirnya adalah (-5)^9.
Bagaimana cara cepat mengetahui tanda hasil akhir tanpa menghitung panjang?
Perhatikan pangkatnya. Perkalian antara (-5)^3 (pangkat ganjil, hasil negatif) dan (-5)^6 (pangkat genap, hasil positif) adalah negatif kali positif. Hasilnya tetap negatif. Namun, setelah digabung menjadi (-5)^9 (pangkat ganjil), hasil akhirnya menjadi negatif. Ternyata, analisis awal kita perlu dikoreksi dengan perhitungan lengkap yang menunjukkan hasil akhirnya justru positif karena kesalahan konversi.
Poin pentingnya: selalu verifikasi dengan perhitungan akhir.
Apa ciri bahwa sebuah bentuk perpangkatan sudah paling sederhana?
Bentuk sudah paling sederhana jika dinyatakan sebagai satu bilangan berpangkat tunggal (a^n), di mana ‘a’ adalah bilangan bulat sekecil mungkin (biasanya prima), dan ‘n’ adalah bilangan bulat. Tidak ada lagi tanda operasi perkalian atau pembagian antar perpangkatan, dan bilangan pokoknya tidak bisa disederhanakan lagi.
