Jika fungsi kuadrat y = f(x) mencapai minimum di titik (1,-4) dan f (4) = 5 maka f (x) = – Jika fungsi kuadrat y = f(x) mencapai minimum di titik (1,-4) dan f (4) = 5 maka f (x) = apa, ya? Soal seperti ini sering bikin kita mikir keras, padahal kuncinya cuma satu: paham betul sifat-sifat fungsi kuadrat. Tenang, kita bakal bahas bareng-bareng dengan cara yang simpel dan nggak bikin pusing. Bayangkan grafiknya dulu, sebuah parabola yang punya titik paling rendah di (1, -4) dan juga melalui titik lain, (4, 5).
Dari dua petunjuk emas ini, kita bisa menyusun kembali persamaan lengkap si fungsi f(x).
Memecahkan teka-teki matematika seperti ini seru banget, lho. Kita nggak cuma asal hitung, tapi juga belajar membaca cerita dari angka dan koordinat. Titik minimum memberi tahu kita di mana puncak atau lembah parabola berada, sementara titik lainnya memastikan bentuk dan kelengkungan grafiknya. Dengan pendekatan yang tepat, soal yang terlihat rumit ini bisa diurai langkah demi langkah hingga ketemu jawaban akhirnya yang memuaskan.
Memahami Masalah dan Komponen Fungsi Kuadrat
Sebelum kita terjun ke dalam perhitungan, mari kita kenali dulu karakter utamanya: fungsi kuadrat. Dalam bentuk paling polosnya, fungsi kuadrat ditulis sebagai f(x) = ax² + bx + c. Di sini, a, b, dan c adalah koefisien yang menentukan sifat dan wujud grafiknya. Koefisien a adalah sutradara utama; ia menentukan apakah grafik terbuka ke atas (a > 0) seperti senyuman atau ke bawah (a < 0) seperti cemberut. Sementara b dan c mempengaruhi posisi grafiknya di bidang koordinat.
Soal memberikan kita dua petunjuk berharga: pertama, fungsi ini mencapai titik minimum di (1, -4). Kedua, ketika x = 4, nilai fungsinya adalah 5, atau f(4) =
5. Titik minimum ini bukan sembarang titik; ia adalah puncak atau lembah dari parabola yang kita cari. Informasi tentang titik puncak sangat erat kaitannya dengan bentuk lain dari fungsi kuadrat, yaitu bentuk vertex: f(x) = a(x – h)² + k, di mana (h, k) adalah koordinat titik puncaknya.
Bentuk Umum, Vertex, dan Makna Geometris
Memahami kedua bentuk fungsi kuadrat dan kaitannya dengan data dari soal adalah kunci penyelesaian. Berikut tabel yang membandingkan keduanya dan menghubungkannya dengan informasi yang kita miliki.
| Bentuk Fungsi | Rumus | Makna dari Informasi Soal |
|---|---|---|
| Bentuk Umum | f(x) = ax² + bx + c | Koefisien a, b, dan c belum diketahui. Kita butuh tiga persamaan untuk mencarinya. |
| Bentuk Vertex (Puncak) | f(x) = a(x – h)² + k | Titik minimum (1, -4) langsung memberi kita nilai h = 1 dan k = -4. Hanya koefisien a yang belum diketahui. |
Dari tabel di atas, terlihat jelas bahwa menggunakan bentuk vertex akan lebih efisien karena kita langsung bisa memasukkan koordinat titik minimum. Ini seperti mendapat alamat lengkap, dan kita hanya perlu mencari tahu “skala” atau “kecembungan” dari parabola tersebut melalui nilai a.
Menentukan Persamaan dari Titik Minimum
Dengan memilih bentuk vertex sebagai senjata, langkah pertama kita menjadi sangat langsung. Kita substitusikan koordinat titik minimum, di mana h = 1 dan k = -4, ke dalam rumus dasarnya. Proses ini akan menghasilkan sebuah persamaan yang sudah setengah jadi.
f(x) = a(x – h)² + k
f(x) = a(x – 1)² + (-4)
f(x) = a(x – 1)² – 4
Voilà! Hanya dalam satu langkah substitusi, kita telah berhasil mempersempit ketidaktahuan. Dari tiga variabel misterius (a, b, c), sekarang kita hanya berurusan dengan satu yang tersisa, yaitu a. Fungsi di atas sudah benar, tetapi belum final karena nilai a-nya masih berupa variabel. Bayangkan ini seperti resep yang sudah lengkap bahannya, tapi takaran satu bumbu rahasianya belum kita ketahui.
Memanfaatkan Titik Lain untuk Mencari Koefisien: Jika Fungsi Kuadrat Y = F(x) Mencapai Minimum Di Titik (1,-4) Dan F (4) = 5 Maka F (x) =
Di sinilah petunjuk kedua, f(4) = 5, memainkan perannya. Titik (4, 5) ini adalah titik lain yang dilalui oleh grafik fungsi kita. Dengan mensubstitusikan x = 4 dan f(x) = 5 ke dalam persamaan sementara kita, kita akan mendapatkan sebuah persamaan aljabar sederhana yang solusinya adalah nilai a yang kita dambakan.
Mari kita uraikan proses substitusi dan penyelesaiannya langkah demi langkah untuk memastikan tidak ada yang terlewat.
| Langkah | Persamaan | Operasi | Hasil |
|---|---|---|---|
| Substitusi | 5 = a(4 – 1)² – 4 | Masukkan x=4 dan f(x)=5 | 5 = a(3)² – 4 |
| Penyederhanaan | 5 = 9a – 4 | Hitung (3)² = 9 | Persamaan linear dalam a |
| Penyelesaian | 5 + 4 = 9a | Pindahkan -4 ke ruas kiri | 9 = 9a |
| Nilai a | a = 9 / 9 | Bagi kedua ruas dengan 9 | a = 1 |
Dan akhirnya terungkap! Koefisien a bernilai 1. Ini adalah informasi terakhir yang kita butuhkan untuk menyempurnakan fungsi kuadrat kita.
Merumuskan Jawaban Akhir dan Bentuk Alternatif
Sekarang, dengan triumvirat a = 1, h = 1, dan k = -4 sudah kita kumpulkan, kita bisa menuliskan fungsi final dalam bentuk vertex.
f(x) = 1(x – 1)²
4
f(x) = (x – 1)² – 4
Ini adalah jawaban yang sudah lengkap dan valid. Namun, kadang kita perlu menyajikannya dalam bentuk umum. Mari kita kembangkan bentuk vertex tersebut.
f(x) = (x – 1)²
4
f(x) = (x²
- 2x + 1)
- 4
f(x) = x²
2x – 3
Kedua bentuk ini merepresentasikan fungsi yang sama persis, hanya kemasannya yang berbeda. Masing-masing memiliki kelebihan situasional.
- Bentuk Vertex, f(x) = (x – 1)²
-4 : Sangat informatif untuk menggambar grafik. Kita langsung tahu titik puncaknya di (1, -4) dan karena a=1 positif, parabola terbuka ke atas. - Bentuk Umum, f(x) = x²
-2x – 3 : Lebih praktis untuk operasi aljabar seperti penjumlahan fungsi, mencari turunan, atau mencari titik potong dengan sumbu-y (yaitu (0, -3)).
Verifikasi dan Interpretasi Grafis
Sebagai ahli matematika yang teliti, kita tidak boleh langsung percaya. Mari kita verifikasi apakah fungsi f(x) = (x – 1)²
-4 benar-benar memenuhi kedua syarat soal.
Pertama, untuk titik minimum (1, -4): Substitusi x = 1. f(1) = (1 – 1)²
-4 = 0 – 4 = -4. Cocok.
Kedua, untuk titik (4, 5): Substitusi x = 4. f(4) = (4 – 1)²
-4 = 3²
-4 = 9 – 4 = 5.
Cocok. Verifikasi selesai, fungsi kita terbukti benar.
Sketsa Grafik Deskriptif, Jika fungsi kuadrat y = f(x) mencapai minimum di titik (1,-4) dan f (4) = 5 maka f (x) =
Source: z-dn.net
Nah, kalau kamu lagi sibuk cari tahu fungsi kuadrat yang minimumnya di (1,-4) dan f(4)=5, jangan bingung dulu. Soal matematika itu seru kok kalau kita tahu polanya, kayak saat kamu Tentukan himpunan penyelesaian dari: 2x + 3y = 12 2x – y = 4 dengan metode substitusi yang jitu. Nah, setelah paham sistem persamaan, balik lagi ke fungsi kuadrat tadi.
Kuncinya, gunakan titik puncak dan titik lain itu untuk bikin persamaan yang pas, biar jawaban f(x)-nya nggak meleset.
Berdasarkan fungsi final, kita bisa menggambarkan grafiknya secara verbal. Grafik fungsi ini adalah sebuah parabola yang anggun. Karena koefisien x² adalah 1 (positif), parabola tersebut terbuka ke arah atas, seperti sebuah cawan. Titik puncak atau titik minimumnya berada tepat di koordinat (1, -4), yang menjadi titik terendah dari seluruh kurva. Grafik ini memotong sumbu-y di titik (0, -3), yang kita dapat dari bentuk umum.
Ia juga akan memotong sumbu-x di dua titik (karena titik minimumnya di bawah sumbu-x dan parabola terbuka ke atas). Untuk menemukan titik potong sumbu-x, kita selesaikan x²
-2x – 3 = 0, yang menghasilkan (x – 3)(x + 1) = 0, sehingga grafik memotong di x = -1 dan x = 3. Dengan informasi titik puncak, arah bukaan, dan titik-titik potong ini, sketsa grafiknya sudah dapat dibayangkan dengan cukup jelas.
Verifikasi bukan sekadar formalitas. Ia adalah ritual penting yang memastikan tidak ada kesalahan aljabar yang terselip di tengah proses. Dalam matematika, kepastian adalah segalanya, dan verifikasi adalah cara kita mencapainya.
Akhir Kata
Jadi, begitulah ceritanya. Dari sebuah titik minimum dan satu titik tambahan, kita berhasil merekonstruksi seluruh fungsi kuadratnya. Proses ini mengajarkan bahwa dalam matematika, seringkali informasi yang terlihat sedikit justru cukup untuk membangun sesuatu yang utuh, asal kita tahu caranya menyambung puzzle-puzzlenya. Hasil akhir, f(x) = x²
-2x – 3, bukanlah sekadar rumus, tapi sebuah deskripsi lengkap tentang parabola dengan segala sifatnya.
Nah, sekarang kamu punya template-nya. Kalau ketemu soal serupa dengan angka yang berbeda, tinggal ikuti alur yang sama: pasang titik puncak ke bentuk vertex, cari nilai ‘a’ pakai titik bantu, lalu selesai. Coba praktikkan sendiri, yuk! Semakin sering dilatih, intuisi membayangkan grafik dan menyusun persamaan akan semakin tajam. Selamat mencoba dan jangan lupa, matematika itu sebenarnya adalah seni bernalar yang sangat memikat.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Mengapa harus menggunakan bentuk vertex f(x) = a(x – h)² + k untuk memulai?
Karena soal memberikan informasi titik minimum (1, -4) yang secara langsung merupakan nilai (h, k) dalam bentuk vertex. Dengan substitusi langsung, kita langsung menyederhanakan masalah menjadi hanya mencari satu variabel, yaitu ‘a’.
Apakah mungkin fungsi kuadrat punya titik minimum di (1,-4) tetapi nilai a-nya negatif?
Tidak mungkin. Jika nilai ‘a’ negatif, parabola akan terbuka ke bawah dan titik (1,-4) justru akan menjadi titik maksimum, bukan minimum. Jadi, dari soal sudah bisa dipastikan nilai a > 0.
Bagaimana jika soalnya memberi titik maksimum, bukan minimum? Apakah langkahnya berubah?
Langkah penyelesaiannya sama persis. Perbedaannya hanya pada kesimpulan nilai ‘a’. Untuk titik maksimum, nilai ‘a’ akan negatif, yang menandakan parabola terbuka ke bawah.
Nah, kalau kamu lagi bingung cari rumus fungsi kuadrat yang titik minimumnya (1,-4) dan f(4)=5, coba deh intip visualisasinya dulu biar lebih greget. Contoh konkretnya bisa kamu lihat pada Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = (-1/2)x^2 + 8x – 25 adalah ini, yang bakal bantu kamu memahami bentuk dan karakteristik grafiknya. Dengan begitu, kamu jadi lebih mudah nangkep konsepnya dan akhirnya bisa nemuin sendiri jawaban untuk f(x) yang kamu cari tadi.
Bisakah kita menyelesaikan soal ini dengan menggunakan sistem tiga persamaan dari bentuk umum f(x)=ax²+bx+c?
Bisa, tetapi lebih panjang. Kita perlu memanfaatkan turunan f'(x)=0 di titik minimum untuk persamaan kedua, dan f(1)=-4 serta f(4)=5 untuk dua persamaan lainnya. Metode bentuk vertex jauh lebih efisien untuk informasi titik puncak.
Apakah titik (4,5) bisa diganti dengan titik lain selain titik minimum?
Bisa. Titik lain apa pun yang diberikan, asalkan bukan titik minimum/maksimum itu sendiri, dapat digunakan untuk mencari nilai ‘a’. Prinsipnya, kita butuh satu titik tambahan selain titik puncak untuk menentukan parabola yang unik.
