Persamaan kuadrat 3x^2 – (a – 1)x – 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2, sedangkan persamaan yang akar-akarnya 1/x1 dan 1/x2 adalah x^2 – (2a + 1)x +… Nah, kira-kira angka berapa yang mengisi bagian yang kosong itu? Soal ini sebenarnya adalah permainan aljabar yang cerdik, mengajak kita untuk melihat hubungan tersembunyi antara akar-akar lama dan yang baru.
Bukan sekadar hitung-hitungan biasa, tapi lebih seperti menyusun puzzle dimana kita harus menemukan potongan terakhirnya.
Pada dasarnya, kita akan memanfaatkan hubungan antara koefisien dan akar-akar persamaan kuadrat. Dari persamaan pertama, kita bisa tahu berapa jumlah (x1 + x2) dan hasil kali (x1
– x2) akar-akarnya. Kemudian, dengan rumus yang tepat, kita ubah informasi itu untuk mendapatkan jumlah dan hasil kali dari akar-akar baru, yaitu 1/x1 dan 1/x2. Setelah itu, menyusun persamaan kuadrat barunya pun jadi lebih mudah, seperti memasukkan resep yang sudah tepat.
Memahami Masalah dan Konsep Dasar Persamaan Kuadrat
Kita punya dua persamaan kuadrat yang saling berkaitan. Yang pertama adalah 3x²
-(a – 1)x – 1 = 0 dengan akar-akar misteriusnya, sebut saja x₁ dan x₂. Persamaan kedua adalah persamaan baru yang akar-akarnya bukan lagi x₁ dan x₂, melainkan kebalikannya, yaitu 1/x₁ dan 1/x₂. Soal memberi tahu kita bentuk persamaan kedua itu adalah x²
-(2a + 1)x + …
= 0. Tugas kita adalah melengkapi bagian yang kosong sekaligus memahami hubungan intim antara kedua persamaan ini.
Kunci utama dalam menyelesaikan teka-teki ini terletak pada hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat dengan koefisiennya. Untuk persamaan umum Ax² + Bx + C = 0, jumlah akar-akarnya (x₁ + x₂) sama dengan -B/A, sedangkan hasil kali akar-akarnya (x₁
– x₂) sama dengan C/A. Konsep ini akan jadi senjata andalan kita. Lebih menarik lagi, kita bisa membentuk persamaan kuadrat baru jika kita tahu jumlah dan hasil kali dari akar-akar baru tersebut.
Rumus bakunya adalah x²
-(jumlah akar baru)x + (hasil kali akar baru) = 0.
Peta Perbandingan Persamaan Awal dan Transformasi
Untuk memvisualisasikan perbedaan dan hubungan antara kedua persamaan, mari kita susun informasi yang kita ketahui ke dalam tabel berikut. Ini akan membantu kita melihat pola dengan lebih jelas.
| Persamaan | Akar-akar | Jumlah Akar (S) | Hasil Kali Akar (P) |
|---|---|---|---|
3x²
|
x₁ dan x₂ | x₁ + x₂ = -[-(a-1)] / 3 = (a-1)/3 | x₁
|
| x²(2a + 1)x + ? = 0 (Baru) | 1/x₁ dan 1/x₂ | (1/x₁) + (1/x₂) = ? | (1/x₁) – (1/x₂) = ? |
Dari tabel, kita langsung tahu nilai x₁ + x₂ dan x₁
– x₂ dari persamaan pertama. Tantangan kita sekarang adalah menyatakan jumlah dan hasil kali akar baru (1/x₁ dan 1/x₂) dalam bentuk yang melibatkan ‘a’ saja.
Menurunkan Hubungan antara Akar-Akar yang Telah Bertransformasi
Sekarang, kita masuk ke dapur aljabar. Kita akan mengolah akar-akar baru tersebut. Tujuannya sederhana: menemukan rumus untuk jumlah dan hasil kali 1/x₁ dan 1/x₂ yang hanya bergantung pada nilai ‘a’, dengan memanfaatkan hubungan dari persamaan awal.
Ekspresi Jumlah dan Hasil Kali Akar Baru
Mari kita turunkan langkah demi langkah. Pertama, kita hitung hasil kali akar baru karena ini lebih mudah.
Nah, ngomongin akar-akar persamaan kuadrat kayak soal 3x² – (a – 1)x – 1 = 0 yang punya akar x₁ dan x₂, lalu dicari persamaan baru dengan akar 1/x₁ dan 1/x₂, memang perlu trik manipulasi aljabar yang jitu. Sama halnya ketika kamu mau cari bentuk fungsi kuadrat dari data titik minimum dan nilai lain, misalnya dalam soal Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum -2 untuk x = 3.
Jika nilai fungsinya 16 untuk x = 0, fungsi kuadrat tersebut adalah. Konsep dasarnya mirip: memanfaatkan sifat-sifat khusus fungsi dan akar. Jadi, balik lagi ke soal awal, setelah paham konsep itu, mencari hubungan antara a dan bentuk persamaan barunya jadi lebih ringan.
- Hasil Kali Akar Baru: (1/x₁)
– (1/x₂) = 1 / (x₁
– x₂). Kita sudah tahu x₁
– x₂ = -1/3. Jadi, 1 / (-1/3) = -3.
Menarik! Ternyata hasil kali akar baru langsung ketemu, yaitu -3, dan nilainya konstan tidak bergantung pada ‘a’. Selanjutnya, kita hitung jumlah akar baru.
- Jumlah Akar Baru: (1/x₁) + (1/x₂). Untuk menyatukan pecahan ini, kita samakan penyebutnya: (x₂ + x₁) / (x₁
– x₂). - Perhatikan bahwa pembilangnya adalah (x₁ + x₂) dan penyebutnya adalah (x₁
– x₂). Kita sudah punya nilai keduanya dari tabel sebelumnya. - Substitusi: (x₁ + x₂) = (a-1)/3 dan (x₁
– x₂) = -1/3. - Maka, (1/x₁)+(1/x₂) = [(a-1)/3] / [-1/3] = [(a-1)/3]
– [-3/1] = -(a – 1) atau 1 – a.
Dan voila! Kita sudah berhasil. Jumlah akar baru adalah 1 – a, dan hasil kali akar baru adalah -3. Sekarang kita punya semua bahan untuk merakit persamaan kuadrat yang baru.
Menyusun Persamaan Kuadrat Baru yang Lengkap
Dengan jumlah dan hasil kali akar baru di tangan, menyusun persamaan kuadratnya menjadi pekerjaan yang sangat mudah. Ingat rumus sakti: x²
-(S)x + (P) = 0 , di mana S adalah jumlah akar dan P adalah hasil kali akar.
Substitusi dan Penyederhanaan Akhir, Persamaan kuadrat 3x^2 – (a – 1)x – 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2, sedangkan persamaan yang akar-akarnya 1/x1 dan 1/x2 adalah x^2 – (2a + 1)x +
Kita masukkan nilai S = 1 – a dan P = -3 ke dalam rumus tersebut.
- Persamaan menjadi: x²
-(1 – a)x + (-3) = 0 - Sederhanakan: x²
-(1 – a)x – 3 = 0 - Buka kurung pada koefisien x: x²
-1x + ax – 3 = 0 - Atur ulang menjadi bentuk standar: x² + ax – x – 3 = 0 atau x² + (a – 1)x – 3 = 0.
Nah, ini dia persamaan kuadrat baru yang lengkap. Soal awal memberi kerangka x²
-(2a + 1)x + … = 0. Ternyata, setelah kita hitung, bentuknya sedikit berbeda. Mari kita tuliskan hasil final kita dalam blok kutipan.
Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar 1/x₁ dan 1/x₂ adalah:
x² + (a – 1)x – 3 = 0
Dimana:
- Koefisien x² adalah 1.
- Koefisien x adalah (a – 1), yang merupakan jumlah akar baru dengan tanda negatif (S = 1 – a, maka -S = a – 1).
- Konstanta adalah -3, yang merupakan hasil kali akar baru (P = -3).
Perhatikan bahwa bentuk x²
-(2a+1)x + … dari soal mungkin adalah contoh bentuk lain atau petunjuk awal. Hasil perhitungan kita, x² + (a-1)x – 3 = 0, adalah jawaban yang konsisten secara aljabar.
Analisis dan Verifikasi Solusi dengan Contoh Numerik
Teori tanpa praktek itu seperti persamaan tanpa akar. Mari kita uji kebenaran rumus umum kita dengan memberi nilai konkret pada parameter ‘a’. Kita pilih nilai ‘a’ yang sederhana, misalnya a = 4.
Bukti Numerik untuk a = 4
Jika a = 4:
- Persamaan Awal: 3x²
-(4-1)x – 1 = 0 → 3x²
-3x – 1 =
0. Akarnya (dengan rumus ABC): x₁ ≈ 1.2638 dan x₂ ≈ -0.2638. - Akar Transformasi: 1/x₁ ≈ 0.7913 dan 1/x₂ ≈ -3.7913.
- Persamaan Baru (Rumus Kita): x² + (4-1)x – 3 = 0 → x² + 3x – 3 = 0.
- Verifikasi: Jumlah akar 1/x₁ dan 1/x₂ ≈ 0.7913 + (-3.7913) = -3. Hasil kalinya ≈ 0.7913
– (-3.7913) ≈ -3. Persamaan x² + 3x – 3 = 0 memiliki jumlah akar -3 dan hasil kali -3. Cocok!
Mari kita coba nilai ‘a’ lain, misalnya a = -2, dan sajikan dalam tabel untuk pandangan yang lebih komprehensif.
| Nilai a | Akar Persamaan Awal (approx.) | Akar Transformasi (1/x) (approx.) | Substitusi ke x²+(a-1)x-3=0 |
|---|---|---|---|
| a = 4 | x₁ ≈ 1.2638, x₂ ≈ -0.2638 | 1/x₁ ≈ 0.7913, 1/x₂ ≈ -3.7913 | Jumlah = -3, Hasil Kali = -3 (Valid) |
| a = -2 | 3x²
(-3)x -1 = 0 → 3x²+3x-1=0 x₁≈ 0.2638, x₂≈ -1.2638 |
1/x₁ ≈ 3.7913, 1/x₂ ≈ -0.7913 | Persamaan: x² + (-3)x -3 = 0 → x² -3x -3=0 Jumlah akar baru = 3, Hasil Kali = -3. Valid. |
Perlu diingat kondisi khusus: Transformasi 1/x hanya terdefinisi jika akar awal x₁ dan x₂ tidak nol. Dari persamaan awal 3x²
-(a-1)x – 1 = 0, hasil kali akarnya adalah -1/3, yang jelas bukan nol. Jadi, tidak ada nilai ‘a’ yang membuat salah satu akarnya nol.
Nah, dari persamaan kuadrat 3x² – (a – 1)x – 1 = 0 dengan akar x₁ dan x₂, kita bisa cari hubungan antar akarnya. Tapi sebelum kita tenggelam dalam rumus, coba lihat soal sederhana tentang penerapan aljabar di kehidupan nyata, seperti menghitung panjang sisi dan luas persegi panjang ABCD. Kembali ke soal awal, setelah paham konsep dasar itu, kita bisa lebih mudah memahami transformasi akar menjadi 1/x₁ dan 1/x₂ untuk membentuk persamaan baru x² – (2a + 1)x + …
yang lebih kompleks.
Transformasi ini selalu aman.
Aplikasi dan Variasi Soal Serupa dalam Transformasi Akar
Prinsip yang kita gunakan—mencari jumlah dan hasil kali akar transformasi, lalu menyusun persamaan baru—sangat powerful dan bisa diterapkan ke berbagai bentuk transformasi lain. Ini seperti memiliki kunci master untuk banyak soal.
Contoh Variasi Transformasi Akar
Misalkan dari persamaan awal yang sama, kita diminta membuat persamaan kuadrat baru dengan akar-akar:
- (x₁ + k) dan (x₂ + k): Jumlah akar baru = (x₁+x₂) + 2k. Hasil kali akar baru = (x₁*x₂) + k(x₁+x₂) + k². Substitusi nilai x₁+x₂ dan x₁*x₂.
- (k
– x₁) dan (k
– x₂): Jumlah akar baru = k(x₁+x₂). Hasil kali akar baru = k²(x₁*x₂). Lebih sederhana lagi. - (x₁²) dan (x₂²): Jumlah akar baru = (x₁+x₂)²
-2(x₁*x₂). Hasil kali akar baru = (x₁*x₂)². Butuh manipulasi aljabar sedikit lebih lanjut.
Metode penyelesaiannya tetap sama: nyatakan jumlah dan hasil kali akar baru dalam bentuk (x₁+x₂) dan (x₁*x₂), lalu substitusi nilai keduanya dari persamaan awal.
Ilustrasi Konseptual Alur Transformasi
Source: amazonaws.com
Bayangkan sebuah diagram alur sederhana. Dimulai dari sebuah kotak berlabel “Persamaan Kuadrat Asal: Ax²+Bx+C=0”. Dari kotak ini, keluar dua data kunci: “S = x₁+x₂ = -B/A” dan “P = x₁*x₂ = C/A”. Kedua data ini mengalir ke sebuah proses bernama “Rumus Transformasi” (misalnya, untuk akar 1/x, rumusnya adalah S_baru = S/P dan P_baru = 1/P). Keluaran dari proses transformasi ini adalah “S_baru” dan “P_baru”.
Kedua data baru ini kemudian masuk ke dalam sebuah mesin perakit bernama “Bentuk Standar Persamaan Kuadrat” yang bekerja dengan rumus x²
-(S_baru)x + (P_baru) =
0. Akhirnya, dari mesin perakit ini keluar produk akhir: “Persamaan Kuadrat Baru” yang koefisien-koefisiennya sudah dinyatakan dalam parameter awal. Diagram ini menggambarkan dengan jelas bahwa selama kita punya S dan P dari persamaan awal, serta tahu rumus transformasinya, kita bisa membuat persamaan baru tanpa perlu mengetahui nilai akar-akarnya secara numerik.
Kesimpulan
Jadi, itulah proses lengkapnya. Dari sebuah persamaan dengan parameter ‘a’, kita berhasil menyusun persamaan baru yang akar-akarnya merupakan kebalikan dari akar sebelumnya. Hasil akhirnya menunjukkan keanggunan matematika di mana pola dan hubungan selalu konsisten. Metode ini bukan hanya untuk soal ini saja, tapi bisa jadi senjata ampuh untuk berbagai variasi transformasi akar lainnya.
Pelajaran pentingnya, memahami konsep dasar tentang jumlah dan hasil kali akar itu krusial. Dengan fondasi itu, kita bisa membangun dan mengubah bentuk persamaan apa pun. Selanjutnya, coba terapkan logika serupa untuk akar-akar bentuk lain, seperti (x1+2) dan (x2+2), dan lihat bagaimana petualangan aljabar ini bisa terus berlanjut. Selamat bereksplorasi!
Panduan Pertanyaan dan Jawaban: Persamaan Kuadrat 3x^2 – (a – 1)x – 1 = 0 Mempunyai Akar-akar X1 Dan X2, Sedangkan Persamaan Yang Akar-akarnya 1/x1 Dan 1/x2 Adalah X^2 – (2a + 1)x +
Apa hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dengan akar-akarnya?
Untuk persamaan kuadrat umum ax² + bx + c = 0, jumlah akar-akarnya (x1 + x2) sama dengan -b/a, dan hasil kali akar-akarnya (x1
– x2) sama dengan c/a.
Bagaimana cara membentuk persamaan kuadrat baru jika diketahui jumlah dan hasil kali akar-akarnya?
Persamaan kuadrat baru dapat langsung disusun dalam bentuk x²
-(jumlah akar)x + (hasil kali akar) = 0.
Apakah ada nilai ‘a’ yang harus dihindari dalam soal ini?
Ya. Nilai ‘a’ yang menyebabkan akar awal (x1 atau x2) bernilai nulu harus dihindari, karena akar baru (1/x1 atau 1/x2) akan menjadi tidak terdefinisi (pembagian dengan nol).
Metode ini hanya berlaku untuk akar berbentuk 1/x saja?
Tidak. Metode serupa bisa diterapkan untuk berbagai transformasi akar, seperti (x1 + k), (x2 + k), (k*x1), (k*x2), atau bahkan (x1²) dan (x2²), asalkan kita bisa menyatakan jumlah dan hasil kali akar baru dalam bentuk x1+x2 dan x1*x2.
Mengapa bentuk persamaan kuadrat baru selalu dimulai dengan x²?
Karena kita menyusun persamaan kuadrat monik (koefisien x² = 1) agar lebih sederhana. Bentuk umumnya adalah k(x²
-(S)x + (P)) = 0, dan kita biasanya mengambil k=1.
