Persamaan kuadrat 2x^2 – 3x- 4= 0 mempunyai akar-akar X1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1/x1^2 dan -1/x2^2 dan 4 adalah – Persamaan kuadrat 2x^2 – 3x- 4= 0 mempunyai akar-akar X1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1/x1^2 dan -1/x2^2 dan 4 adalah sebuah puzzle matematika yang menarik untuk dipecahkan. Ini bukan sekadar hitung-hitungan biasa, tapi sebuah petualangan logika di mana kita akan mentransformasi akar lama menjadi bentuk baru yang lebih “eksotis”, lalu menyusunnya kembali menjadi sebuah persamaan yang utuh. Siapkan alat tulis dan pikiran yang fokus, karena kita akan membongkar rahasia di balik angka-angka ini.
Untuk mencapai tujuan itu, langkah pertama yang harus dilakukan adalah menemukan nilai asli dari X1 dan X2 menggunakan rumus abc. Setelah itu, kita akan memanfaatkan siasat cerdas berupa rumus jumlah dan hasil kali akar untuk mengolah akar transformasi -1/X1² dan -1/X2² tanpa perlu repot menghitung nilai desimalnya secara langsung. Proses ini seperti merakit sebuah mesin baru dari komponen lama, di mana setiap hubungan antara koefisien dan akar memainkan peran vital.
Memahami Persamaan Kuadrat dan Akar-Akar Dasar
Sebelum kita masuk ke dalam permainan transformasi akar yang cukup unik, mari kita pahami dulu fondasinya. Persamaan kuadrat, dalam bentuk paling umumnya, ditulis sebagai ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta bilangan real dan a tidak boleh nol. Keindahan dari bentuk ini terletak pada kemampuannya untuk dipecahkan, menghasilkan dua solusi (yang bisa real atau imajiner) yang kita sebut akar-akar.
Untuk menemukan akar-akar tersebut, kita punya senjata andalan: rumus kuadrat atau rumus ABC.
Rumus kuadrat itu sendiri adalah x = [-b ± √(b²
-4ac)] / (2a). Bagian di dalam akar, yaitu b²
-4ac, disebut diskriminan (D). Nilai diskriminan ini adalah penentu nasib: jika D > 0, akarnya real dan berbeda; jika D = 0, akarnya real dan sama (kembar); dan jika D < 0, akarnya imajiner. Sekarang, mari kita terapkan langsung pada persamaan yang diberikan: 2x²
-3x - 4 = 0.
Perhitungan Akar Persamaan 2x²
3x – 4 = 0
3x – 4 = 0
Dari persamaan tersebut, kita identifikasi koefisiennya: a = 2, b = -3, dan c = -4. Langkah pertama adalah menghitung diskriminannya, lalu menggunakannya dalam rumus ABC. Perhitungan ini akan memberikan kita dua nilai spesifik untuk X1 dan X2, yang menjadi bahan baku utama untuk seluruh eksperimen kita selanjutnya.
| Koefisien a | Koefisien b | Koefisien c | Diskriminan (D) |
|---|---|---|---|
| 2 | -3 | -4 | (-3)² – 4*(2)*(-4) = 9 + 32 = 41 |
Karena D = 41 (positif), kita pastikan akarnya real dan berbeda. Sekarang, masukkan ke rumus:
x = [3 ± √41] / (2*2) = [3 ± √41] / 4
Jadi, X1 = (3 + √41)/4 dan X2 = (3 – √41)/4
| Akar X1 | Akar X2 | Nilai Numerik (Aproksimasi) |
|---|---|---|
| (3 + √41)/4 | (3 – √41)/4 | X1 ≈ 2.35, X2 ≈ -0.85 |
Hubungan Akar dengan Koefisien: Jumlah dan Hasil Kali
Selain rumus ABC, ada cara lain yang lebih elegan untuk memahami hubungan akar dan koefisien, yaitu melalui rumus Vieta. Untuk persamaan ax² + bx + c = 0 dengan akar-akar X1 dan X2, berlaku:
1. Jumlah akar: X1 + X2 = -b/a
2. Hasil kali akar: X1
– X2 = c/a
Mari kita verifikasi dengan akar yang sudah kita dapatkan:
Jumlah: X1 + X2 = [(3+√41) + (3-√41)] / 4 = 6/4 = 3/2. Benar, karena -b/a = -(-3)/2 = 3/
2.
Hasil Kali: X1
– X2 = [(3+√41)(3-√41)] / 16 = (9 – 41)/16 = (-32)/16 = -2. Benar, karena c/a = (-4)/2 = -2.
Konsep jumlah dan hasil kali akar inilah yang akan menjadi kunci utama ketika kita ingin membentuk persamaan kuadrat baru tanpa harus mencari nilai akar yang eksak terlebih dahulu.
Nah, kalau kamu lagi berurusan dengan persamaan kuadrat 2x² – 3x – 4 = 0 yang punya akar X1 dan X2, dan diminta cari persamaan baru dengan akar -1/X1² dan -1/X2², jangan panik. Prinsipnya sama aja kayak saat kamu mau Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya: (5 – akar(3)) dan (5 + akar(3)). Intinya, kamu mainin rumus jumlah dan hasil kali akar.
Nah, setelah paham konsep dasarnya, kamu bisa balik lagi ke soal awal tadi dan menyusun persamaan kuadrat barunya dengan lebih percaya diri.
Transformasi Akar untuk Membentuk Persamaan Baru
Inilah bagian yang kreatif. Seringkali dalam soal, kita diminta untuk membentuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan “transformasi” atau “olahraga” dari akar persamaan lama. Misalnya, akar barunya adalah kuadrat dari akar lama, kebalikan dari akar lama, atau seperti dalam kasus kita: -1/X1² dan -1/X2². Prinsip dasarnya adalah: kita tidak perlu mencari nilai X1 dan X2 secara numerik dulu. Cukup gunakan sifat jumlah dan hasil kali akar dari persamaan asli (X1+X2 dan X1*X2) untuk menghitung jumlah dan hasil kali dari akar-akar baru tersebut.
Tujuan kita adalah menemukan dua bilangan penting untuk persamaan kuadrat baru: jumlah akar baru (S’) dan hasil kali akar baru (P’). Jika kita sudah punya S’ dan P’, persamaan kuadrat baru itu langsung dapat disusun dengan rumus x²
-(S’)x + (P’) = 0.
Menentukan Jumlah dan Hasil Kali Akar Baru (-1/X1² dan -1/X2²)
Kita punya akar baru: α = -1/X1² dan β = -1/X2². Mari kita hitung satu per satu.
Pertama, hasil kali akar baru (P’):
α
– β = (-1/X1²)
– (-1/X2²) = 1 / (X1²
– X2²) = 1 / ( (X1
– X2)² )
Kita tahu dari persamaan awal bahwa X1
– X2 = c/a = -4/2 = -2.
Jadi, (X1
– X2)² = (-2)² = 4.
Maka, P’ = α
– β = 1/4.
Kedua, jumlah akar baru (S’):
α + β = (-1/X1²) + (-1/X2²) =
-(1/X1² + 1/X2²)
Ungkapan 1/X1² + 1/X2² perlu kita manipulasi. Ingat identitas aljabar: 1/X1² + 1/X2² = (X1² + X2²) / (X1²
– X2²)
Kita belum tahu X1² + X2². Tapi kita bisa cari dari identitas lain: X1² + X2² = (X1 + X2)²
-2*X1*X2
Kita sudah punya: X1 + X2 = 3/2 dan X1*X2 = -2.
Jadi, X1² + X2² = (3/2)²
-2*(-2) = (9/4) + 4 = (9/4) + (16/4) = 25/4.
Sekarang, X1²
– X2² = (X1*X2)² = (-2)² = 4 (seperti sebelumnya).
Maka, 1/X1² + 1/X2² = (25/4) / 4 = 25/16.
Akhirnya, S’ = α + β =
-(25/16) = -25/16.
Perbandingan Sifat Akar Awal dan Akar Transformasi
Transformasi yang kita lakukan mengubah sifat akar secara signifikan. Berikut adalah poin-poin perbandingannya:
- Nilai: Akar awal X1 ≈ 2.35 dan X2 ≈ -0.85, satu positif dan satu negatif. Akar baru, -1/X1² dan -1/X2², keduanya akan bernilai negatif karena dibentuk dari negatif dibagi kuadrat yang selalu positif. Perkiraan nilainya: -1/(2.35²) ≈ -0.18 dan -1/((-0.85)²) ≈ -1.38.
- Jumlah: Jumlah akar awal adalah 1.5 (positif). Jumlah akar baru adalah -25/16 ≈ -1.56 (negatif).
- Hasil Kali: Hasil kali akar awal adalah -2 (negatif, menunjukkan akar berbeda tanda). Hasil kali akar baru adalah 1/4 = 0.25 (positif, menunjukkan akar baru sama-sama negatif atau sama-sama positif—dalam hal ini sama-sama negatif).
- Keterkaitan: Akar baru tidak lagi simetris secara sederhana terhadap sumbu atau titik tertentu seperti akar awal. Mereka adalah hasil dari operasi non-linear (kuadrat dan kebalikan) pada akar lama.
Menyusun Persamaan Kuadrat dengan Akar yang Diketahui: Persamaan Kuadrat 2x^2 – 3x- 4= 0 Mempunyai Akar-akar X1 Dan X2. Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya -1/x1^2 Dan -1/x2^2 Dan 4 Adalah
Setelah melalui proses aljabar yang cukup menantang, kita akhirnya sampai pada tujuan utama: menyusun persamaan kuadrat baru. Dengan jumlah dan hasil kali akar baru yang sudah kita peroleh, langkah terakhir ini justru yang paling sederhana. Rumus untuk membentuk persamaan kuadrat jika diketahui jumlah akar (S) dan hasil kali akar (P) adalah x²
-(S)x + (P) = 0. Ini adalah formula yang sangat powerful dan elegan.
Kita akan menerapkan rumus ini pada S’ = -25/16 dan P’ = 1/4. Persamaan yang dihasilkan akan menjadi persamaan kuadrat final yang akar-akarnya persis seperti yang diminta soal.
Penyusunan Persamaan Kuadrat Akhir, Persamaan kuadrat 2x^2 – 3x- 4= 0 mempunyai akar-akar X1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1/x1^2 dan -1/x2^2 dan 4 adalah
Mari kita substitusikan nilai S’ dan P’ ke dalam rumus dasar:
x²
(-25/16)x + (1/4) = 0
x² + (25/16)x + (1/4) = 0
Nah, kalau kamu lagi berurusan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang unik, seperti mencari persamaan baru dari akar -1/x1² dan -1/x2², pasti butuh ketelitian ekstra. Sama kayak saat mengolah eksponen dan akar dalam soal Hasil dari (5^2 x 2^(3/4) – 3^2 x 2^(3/4)/256(8)^1/4 adalah , intinya kamu harus paham dulu sifat dasar operasi aljabar dan hubungan antar akar. Dengan begitu, menyusun persamaan kuadrat baru dari bentuk akar yang dimodifikasi itu akan terasa lebih ringan dan logis jalannya.
Persamaan di atas sudah benar, tetapi biasanya kita menyajikannya dalam bentuk koefisien bilangan bulat. Untuk itu, kita kalikan seluruh persamaan dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebut 16 dan 4, yaitu 16.
- 16
- [x² + (25/16)x + (1/4)] = 16*0
x² + 25x + 4 = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya -1/X1² dan -1/X2² adalah 16x² + 25x + 4 = 0.
Perbandingan Koefisien Persamaan Lama dan Baru
Mari kita lihat bagaimana transformasi akar yang kompleks ini memengaruhi bentuk akhir persamaan kuadratnya. Perubahan pada akar berdampak langsung pada setiap koefisien a, b, dan c.
| Persamaan | Koefisien a | Koefisien b | Koefisien c | Diskriminan |
|---|---|---|---|---|
Asli: 2x²
|
2 | -3 | -4 | 41 |
| Baru: 16x² + 25x + 4 = 0 | 16 | 25 | 4 | 25² – 4*16*4 = 625 – 256 = 369 |
Terlihat perubahan yang dramatis. Persamaan baru memiliki koefisien a yang lebih besar (16 vs 2), tanda koefisien b berubah dari negatif menjadi positif, dan konstanta c berubah dari negatif ke positif. Diskriminannya juga berubah menjadi 369, yang tetap positif, mengkonfirmasi bahwa akar-akar baru tersebut juga real dan berbeda.
Analisis Sifat dan Grafik Persamaan Hasil Transformasi
Setelah mendapatkan persamaan baru, menarik untuk melihat bagaimana perubahan pada akar ini terefleksi dalam visualisasi grafisnya. Grafik persamaan kuadrat adalah parabola, dan setiap koefisien serta akarnya memberi cerita tersendiri tentang bentuk parabola tersebut.
Mari kita analisis karakteristik kedua grafik: persamaan asli f(x) = 2x²
-3x – 4 dan persamaan baru g(x) = 16x² + 25x + 4. Perbandingan ini akan menunjukkan efek “dunia lain” dari transformasi akar yang kita lakukan.
Karakteristik Grafik dan Posisi Akar
Untuk persamaan asli 2x²
-3x – 4 = 0: Karena a = 2 > 0, parabola terbuka ke atas. Titik puncaknya dapat dihitung pada x = -b/(2a) = 3/(4) = 0.75. Nilai diskriminan positif (41) menunjukkan parabola memotong sumbu-X di dua titik, yaitu di X1 ≈ 2.35 dan X2 ≈ -0.85. Parabola ini memiliki nilai minimum di titik puncaknya.
Untuk persamaan baru 16x² + 25x + 4 = 0: Karena a = 16 > 0, parabola juga terbuka ke atas. Titik puncaknya di x = -b/(2a) = -25/(32) ≈ -0.78. Diskriminan 369 yang positif juga mengindikasikan dua titik potong dengan sumbu-X, yaitu di akar-akar baru kita, sekitar -0.18 dan -1.38. Perhatikan bahwa seluruh “kehidupan” parabola yang baru ini terkonsentrasi di daerah sumbu-X negatif, karena kedua akarnya negatif dan titik puncaknya juga bernilai x negatif.
Visualisasi mentalnya: Bayangkan parabola pertama (asli) melandai dengan puncak di x=0.75, memotong sumbu di daerah negatif (-0.85) dan positif (2.35). Parabola kedua (baru) adalah parabola yang lebih “curam” (karena a lebih besar) yang seluruh tubuhnya bergeser ke kiri, dengan puncak di x ≈ -0.78 dan kedua perpotongan dengan sumbu-X berjejal di interval negatif yang sempit antara -1.38 dan -0.18. Transformasi akar telah menggeser dan mengompresi wilayah akar ke daerah negatif.
Makna Diskriminan pada Persamaan Baru
Diskriminan persamaan baru, 369, memberitahu kita bahwa akar-akar transformasi -1/X1² dan -1/X2² adalah bilangan real yang berbeda. Fakta ini konsisten karena operasi yang kita lakukan (kuadrat dan kebalikan) pada akar-akar real yang berbeda akan menghasilkan bilangan real yang berbeda pula, asalkan tidak ada akar yang nol (dalam kasus ini, X1 dan X2 bukan nol). Nilai diskriminan yang besar menunjukkan bahwa kedua akar baru tersebut letaknya cukup berjauhan secara relatif terhadap sebaran parabola yang baru, yang terlihat dari selisih nilai keduanya sekitar 1.2.
Eksplorasi Soal Serupa dengan Variasi Transformasi Akar
Source: amazonaws.com
Keindahan matematika terletak pada polanya. Sekarang setelah kita menguasai satu jenis transformasi, kita bisa menggeneralisasikannya ke berbagai bentuk transformasi lainnya. Misalnya, bagaimana jika akar barunya adalah X1³ dan X2³, atau 2X1+1 dan 2X2+1, atau X1/X2 dan X2/X1? Prinsip kerjanya tetap sama: gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar awal sebagai bahan baku, lalu lakukan manipulasi aljabar untuk mencari jumlah dan hasil kali akar baru.
Mari kita rancang sebuah contoh soal baru dan selesaikan dengan algoritma yang terstruktur. Ini akan melatih kemampuan kita dan menunjukkan bahwa metode ini adalah alat yang ampuh untuk banyak variasi soal.
Contoh Soal: Persamaan Kuadrat Baru dari Akar X1³ dan X2³
Misalkan dari persamaan kuadrat awal yang sama, 2x²
-3x – 4 = 0, kita ingin membentuk persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah X1³ dan X2³. Berikut adalah prosedur umum yang bisa diikuti untuk menyelesaikan semua tipe soal seperti ini:
- Tentukan jumlah (S = X1+X2) dan hasil kali (P = X1*X2) akar persamaan awal.
- Nyatakan jumlah (S’) dan hasil kali (P’) akar baru dalam bentuk S dan P. Ini membutuhkan penguasaan identitas aljabar.
Untuk X1³ + X2³, gunakan identitas: X1³ + X2³ = (X1+X2)³- 3X1X2(X1+X2) = S³
- 3PS.
Untuk X1³
X2³, lebih mudah
(X1*X2)³ = P³.
- Hitung nilai numerik S’ dan P’ berdasarkan nilai S dan P yang telah diketahui.
- Susun persamaan kuadrat baru menggunakan rumus x²
(S’)x + (P’) = 0, dan sederhanakan jika perlu.
Mari kita demonstrasikan. Dari awal, kita punya S = 3/2 dan P = –
2.
Jumlah akar baru (S’): X1³ + X2³ = S³
-3PS = (3/2)³
-3*(-2)*(3/2) = (27/8) + (18/2) = (27/8) + (72/8) = 99/
8.
Hasil kali akar baru (P’): X1³
– X2³ = P³ = (-2)³ = –
8.
Persamaan baru: x²
-(99/8)x + (-8) = 0 -> x²
-(99/8)x – 8 =
0.
Kalikan dengan 8: 8x²
-99x – 64 = 0.
Jadi, persamaan kuadrat dengan akar X1³ dan X2³ adalah 8x²
-99x – 64 = 0.
Perbandingan Berbagai Jenis Transformasi Akar
Setiap jenis transformasi menghasilkan perubahan koefisien yang unik. Tabel berikut memberikan gambaran singkat tentang beberapa transformasi umum berdasarkan persamaan awal 2x²
-3x – 4 = 0.
| Jenis Transformasi Akar Baru | Rumus S’ & P’ (dalam S & P) | Persamaan Kuadrat Hasil | Keterangan |
|---|---|---|---|
| Kebalikan (1/X1, 1/X2) | S’ = -b/c = 3/-4, P’ = a/c = 2/-4 | -4x² + 3x + 2 = 0 atau 4x²
|
Koefisien a dan c bertukar tempat dengan tanda menyesuaikan. |
| Ditambah konstanta (X1+k, X2+k) | S’ = S + 2k, P’ = P + kS + k² | Bergantung nilai k. Misal k=1: 2x²
|
Menggeser letak akar secara seragam. |
| Dikalikan konstanta (kX1, kX2) | S’ = kS, P’ = k²P | Bergantung nilai k. Misal k=2: x²
|
Meregangkan atau mengerutkan jarak akar. |
| Kuadrat (X1², X2²) | S’ = S²
|
x²
|
Membuat semua akar non-negatif (jika real). |
| Kasus artikel: (-1/X1², -1/X2²) | S’ = -(S²-2P)/P², P’ = 1/P² | 16x² + 25x + 4 = 0 | Mengubah tanda dan skala secara non-linear. |
Dengan memahami pola ini, kita bisa menaklukkan hampir semua variasi soal transformasi akar persamaan kuadrat. Kuncinya adalah berpikir dalam bentuk S dan P, bukan nilai eksak X1 dan X2.
Penutupan Akhir
Jadi, begitulah cara kita mengolah sebuah persamaan kuadrat untuk melahirkan persamaan baru dengan karakter akar yang berbeda. Proses dari 2x²
-3x – 4 = 0 hingga menemukan persamaan akhir menunjukkan betapa elegan dan terstrukturnya matematika dalam mentransformasi informasi. Yang awalnya tampak rumit, ternyata bisa diurai menjadi langkah-langkah sistematis yang masuk akal. Coba terapkan logika serupa pada bentuk transformasi akar lain, seperti X1³ dan X2³, dan lihatlah pola menarik apa yang akan kamu temukan.
Selamat bereksplorasi!
Kumpulan Pertanyaan Umum
Mengapa kita tidak langsung menghitung nilai desimal X1 dan X2 lalu memasukkannya ke -1/X²?
Karena perhitungan langsung seringkali menghasilkan bilangan irasional yang rumit dan rentan kesalahan pembulatan. Menggunakan sifat jumlah dan hasil kali akar (Vieta’s Formulas) lebih efisien dan elegan, menjaga presisi matematis.
Apa arti dari akar transformasi -1/X1² dan -1/X2² secara geometris atau kontekstual?
Transformasi ini tidak memiliki makna geometris langsung pada grafik asli, tetapi merupakan operasi aljabar murni yang menghasilkan persamaan baru dengan sifat akar yang berbeda, sering digunakan untuk menguji pemahaman mendalam tentang hubungan akar dan koefisien.
Apakah metode ini bisa dipakai untuk bentuk transformasi akar selain pangkat dua dan kebalikan?
Sangat bisa! Algoritma dasarnya sama: tentukan jumlah dan hasil kali akar baru (α’ dan β’) dalam bentuk X1 dan X2, lalu gunakan hubungan X1+X2 dan X1*X2 dari persamaan awal untuk menyederhanakannya, akhirnya susun persamaan baru x²
-(α’+β’)x + (α’β’) = 0.
Bagaimana jika diskriminan persamaan baru ternyata negatif?
Itu sah-sah saja dan justru menarik. Itu berarti akar-akar transformasi -1/X1² dan -1/X2² yang kita hitung adalah bilangan kompleks, sekalipun X1 dan X2 asli adalah bilangan real. Persamaan kuadrat baru tersebut tetap valid dalam sistem bilangan kompleks.
