Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya: (5 – akar(3)) dan (5 + akar(3)). Kalau kamu lihat bentuk akarnya yang kayak kembar tapi beda tanda di bagian akarnya, pasti langsung kepikiran, “Ah, ini pasti pakai rumus jumlah dan hasil kali akar.” Bener banget! Soal kayak gini tuh sebenernya gerbang buat ngelatih logika aljabar dan memahami pola-pola tersembunyi dalam matematika. Gak cuma sekadar masukin angka ke rumus, tapi juga melihat keindahan simetri di baliknya.
Nah, dalam bahasan ini, kita akan urai tuntas bagaimana dua bilangan yang bentuknya agak aneh ini bisa melahirkan sebuah persamaan kuadrat yang elegan dengan koefisien bilangan bulat. Kita akan telusuri dari konsep dasar hubungan akar dan koefisien, langkah penyusunannya, hingga verifikasi hasilnya. Dengan begitu, kamu gak cuma bisa ngerjain soal ini, tapi juga paham pola untuk berbagai variasi akar bentuk serupa.
Pengantar dan Konsep Dasar Akar Persamaan Kuadrat
Kalau kita punya persamaan kuadrat standar, bentuknya selalu bisa kita tulis sebagai ax² + bx + c = 0, dengan a tidak sama dengan nol. Nah, dari bentuk umum ini, ada hubungan yang sangat elegan antara koefisien a, b, c dengan kedua akarnya, sebut saja x₁ dan x₂. Hubungan ini dirumuskan oleh François Viète, dan sering kita sebut sebagai Rumus Vieta.
Intinya, tanpa perlu mencari nilai akarnya satu per satu dengan rumus abc, kita bisa langsung mengetahui jumlah dan hasil kalinya hanya dari koefisien persamaan.
Rumusnya sederhana tapi powerful: jumlah akar-akar (x₁ + x₂) sama dengan -b/a, sedangkan hasil kali akar-akarnya (x₁
– x₂) sama dengan c/a. Dari sini, jika kita diberi dua bilangan yang diklaim sebagai akar, kita bisa membalik prosesnya: menghitung jumlah dan hasil kali kedua bilangan itu, lalu menyusun persamaan kuadrat yang sesuai.
Hubungan Akar dan Koefisien Persamaan Kuadrat
Rumus Vieta bukan hanya alat hitung cepat. Ia memberikan cara pandang lain terhadap persamaan kuadrat. Misalnya, jika diskriminan (D = b²
-4ac) positif dan bukan kuadrat sempurna, maka akar-akarnya akan berbentuk bilangan irasional yang saling konjugat, seperti pola (p ± √q). Ini berbeda dengan akar riil berbeda biasa (dimana √D adalah bilangan bulat), akar kembar (D=0), atau akar imajiner (D <0). Akar berbentuk (a ± √b) adalah penanda bahwa diskriminan persamaan tersebut adalah bilangan positif yang bukan kuadrat sempurna, sehingga akarnya riil tapi irasional.
Menyusun Persamaan dari Akar-Akar yang Diketahui
Sekarang kita terapkan konsep tadi untuk kasus spesifik: akar-akarnya adalah (5 – √3) dan (5 + √3). Kita punya dua jalan utama: langsung memfaktorkan atau menggunakan siasat jumlah dan hasil kali akar. Keduanya valid dan akan membawa kita ke tujuan yang sama.
Langkah Penyusunan dengan Dua Metode
Mari kita telusuri kedua metode tersebut secara berdampingan. Metode pertama memanfaatkan bentuk faktor langsung, sementara metode kedua mengandalkan keanggunan Rumus Vieta. Tabel berikut merangkum perbandingannya.
| Langkah | Metode Pemfaktoran Langsung: (x – x₁)(x – x₂) | Metode Jumlah dan Hasil Kali Akar |
|---|---|---|
| 1. Identifikasi Akar | x₁ = 5 – √3, x₂ = 5 + √3 | x₁ = 5 – √3, x₂ = 5 + √3 |
| 2. Proses Inti | Menyusun bentuk faktor: (x – (5 – √3)) (x – (5 + √3)) | Menghitung: Jumlah (S) = x₁ + x₂ Hasil Kali (P) = x₁ – x₂ |
| 3. Perhitungan | = [(x – 5) + √3]
|
S = (5 – √3) + (5 + √3) = 10 P = (5 – √3)(5 + √3) = 5² – (√3)² = 25 – 3 = 22 |
| 4. Bentuk Persamaan | = (x-5)²
|
Persamaan: x²
(S)x + (P) = 0 x²
|
Seperti yang terlihat, kedua metode bertemu pada hasil yang identik. Keindahan Rumus Vieta dapat kita simak dalam penerapannya yang ringkas:
Diketahui akar-akar α = 5 – √3 dan β = 5 + √
3. Berdasarkan Rumus Vieta
α + β = 10 dan αβ = 22. Persamaan kuadrat dengan akar α dan β adalah x²
- (α+β)x + (αβ) = 0, sehingga diperoleh x²
- 10x + 22 = 0.
Verifikasi dan Penyederhanaan Hasil Akhir
Setelah mendapatkan persamaan x²
-10x + 22 = 0, langkah penting adalah memastikan bahwa persamaan ini memang benar dan sudah dalam bentuk paling sederhana. Verifikasi memberi kita kepastian, sementara penyederhanaan memastikan koefisiennya rasional, biasanya bilangan bulat.
Prosedur Verifikasi Kebenaran Persamaan
Verifikasi dilakukan dengan mensubstitusikan masing-masing akar yang diketahui ke dalam persamaan hasil. Jika untuk kedua akar tersebut persamaan bernilai nol (terpenuhi), maka persamaan kita sudah benar. Berikut adalah langkah-langkah sistematisnya:
- Substitusi Akar Pertama (x = 5 – √3): Hitung (5 – √3)²
-10(5 – √3) +
22. (5 – √3)² = 25 – 10√3 + 3 = 28 – 10√
3. Kemudian, -10(5 – √3) = -50 + 10√
3. Jumlahkan semua: (28 – 10√3) + (-50 + 10√3) + 22 = (28 – 50 + 22) + (-10√3 + 10√3) = 0 + 0 = 0.Mencari persamaan kuadrat dari akar-akarnya, seperti (5 – √3) dan (5 + √3), itu sebenarnya tentang memahami pola. Prinsip yang sama tentang hubungan titik-titik dan pusatnya juga berlaku saat kamu harus Diketahui jajargenjang PQRS dengan koordinat titik P(-4, 3), Q(6, -1), dan R(8, 7). Jika titik merupakan titik potong diagonal PR dan QS, koordinat ti untuk menemukan titik tengah.
Nah, setelah paham konsep itu, balik lagi ke soal awal: dengan rumus jumlah dan hasil kali akar, persamaan kuadratnya bisa kamu temukan dengan lebih percaya diri.
- Substitusi Akar Kedua (x = 5 + √3): Hitung (5 + √3)²
-10(5 + √3) +
22. (5 + √3)² = 25 + 10√3 + 3 = 28 + 10√
3. Kemudian, -10(5 + √3) = -50 – 10√
3. Jumlahkan semua: (28 + 10√3) + (-50 – 10√3) + 22 = (28 – 50 + 22) + (10√3 – 10√3) = 0 + 0 = 0.Buat yang lagi nyari cara menentukan persamaan kuadrat dari akar-akarnya, misalnya (5 – √3) dan (5 + √3), caranya tuh seru banget pakai rumus jumlah dan hasil kali akar. Nah, ngomong-ngomong soal hitungan dan data, mirip kayak analisis Berdasarkan data BPS tahun 2010 (www.bps.go.id) jumlah penduduk pulau Jawa mencapai 130 juta jiwa (melalui proses pembulatan). Sedangkan luas pulau yang butuh ketelitian.
Kembali ke soal tadi, dari akar-akar itu kita bisa dapetin persamaan kuadratnya, yaitu x² – 10x + 22 = 0. Gampang, kan?
- Kesimpulan Verifikasi: Karena substitusi kedua akar menghasilkan nilai 0, persamaan x²
-10x + 22 = 0 telah terbukti benar.
Perhatikan bahwa dalam proses penyusunan, kita langsung mendapatkan koefisien bilangan bulat (-10 dan 22). Jika suatu saat hasilnya masih mengandung bentuk akar atau pecahan, kita sederhanakan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutnya.
Eksplorasi Sifat dan Pola Khusus Akar (a ± √b)
Akar-akar yang muncul berpasangan dalam bentuk (a ± √b) bukanlah kebetulan. Pola ini mengungkap sifat matematis yang konsisten. Setiap kali kita menemui akar seperti ini, kita bisa langsung menebak karakteristik persamaan kuadrat induknya.
Pola Koefisien dan Diskriminan
Untuk akar-akar berbentuk α = a + √b dan β = a – √b, jumlah akarnya selalu 2a (bilangan rasional) dan hasil kalinya selalu a²
-b (juga bilangan rasional). Konsekuensinya, persamaan kuadratnya selalu berbentuk x²
-2ax + (a²
-b) = 0. Diskriminannya adalah D = (-2a)²
-4(1)(a²
-b) = 4a²
-4a² + 4b = 4b. Karena b positif dan bukan kuadrat sempurna (agar √b irasional), maka D > 0 dan bukan kuadrat sempurna, mengonfirmasi akarnya riil, irasional, dan berbeda.
Tabel berikut menunjukkan pola ini pada beberapa contoh lain.
| Akar-Akar (a ± √b) | Nilai a dan b | Jumlah Akar (2a) | Hasil Kali (a² – b) | Persamaan Kuadrat: x²
|
|---|---|---|---|---|
| 2 ± √7 | a=2, b=7 | 4 | 4 – 7 = -3 | x²
|
| -1 ± √5 | a=-1, b=5 | -2 | 1 – 5 = -4 | x² + 2x – 4 = 0 |
| 0 ± √2 (atau ±√2) | a=0, b=2 | 0 | 0 – 2 = -2 | x² – 2 = 0 |
| ½ ± √3 | a=½, b=3 | 1 | ¼ – 3 = -11/4 | x²
|
Aplikasi dan Konteks Permasalahan Terkait
Di mana kita bisa menemui akar-akar seperti (5 ± √3) dalam masalah? Bentuk ini sering muncul dalam konteks geometri, fisika, atau optimasi di mana solusinya melibatkan pengukuran yang tidak bulat. Misalnya, dalam mencari dimensi suatu bangun atau titik potong suatu kurva.
Contoh Konteks Geometri, Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya: (5 – akar(3)) dan (5 + akar(3))
Bayangkan sebuah persegi panjang yang kelilingnya 20 cm dan luasnya 22 cm². Jika kita misalkan panjang dan lebarnya sebagai akar-akar persamaan kuadrat, maka jumlah panjang dan lebar (setengah keliling) adalah 10 cm, dan hasil kalinya (luas) adalah 22 cm². Persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah panjang dan lebar tersebut adalah x²
-10x + 22 =
0. Memecahkan persamaan ini akan memberikan solusi: panjang = 5 + √3 cm dan lebar = 5 – √3 cm (atau sebaliknya).
Ini adalah contoh nyata di mana bilangan irasional muncul secara alami dari kondisi yang diberikan.
Masalah: Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi miring 10 cm. Diketahui selisih antara panjang kedua sisi siku-sikunya adalah 2√3 cm. Tentukan panjang kedua sisi siku-siku tersebut dan buktikan bahwa mereka memenuhi Teorema Pythagoras.
Penyelesaian: Misalkan sisi siku-siku yang lebih panjang adalah p dan yang lebih pendek adalah q, dengan p – q = 2√3. Berdasarkan Teorema Pythagoras, p² + q² = 10² = 100. Kita punya sistem persamaan. Salah satu cara elegan adalah dengan membentuk persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q. Diketahui jumlah p + q tidak langsung diketahui, tetapi dari identitas (p+q)² = p²+q²+2pq, kita bisa cari pq.
Setelah melalui proses aljabar, akan ditemukan bahwa p dan q adalah akar-akar dari persamaan x²10x + 22 = 0. Dengan demikian, p = 5 + √3 cm dan q = 5 – √3 cm.
Implikasi akar irasional terhadap grafik fungsi kuadrat f(x) = x²
-10x + 22 juga menarik. Kurva parabola ini memotong sumbu-x di dua titik, yaitu di (5 – √3, 0) dan (5 + √3, 0). Karena akarnya irasional, titik potong ini tidak akan tepat pada garis kisi koordinat bilangan bulat, melainkan berada di antara bilangan bulat, sekitar 3.268 dan 6.732. Diskriminan yang positif (4*3=12) mengindikasikan parabola memotong sumbu-x di dua titik yang letaknya simetris terhadap garis tegak x = 5 (sumbu simetri).
Terakhir: Tentukan Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya: (5 – Akar(3)) Dan (5 + Akar(3))
Jadi, gimana? Ternyata dari sepasang akar yang terlihat kompleks seperti (5 ± √3), kita bisa dapatkan persamaan kuadrat yang rapi, x²
-10x + 22 = 0. Proses ini mengajarkan lebih dari sekadar penghitungan; ia menunjukkan betapa matematika punya bahasa dan pola yang konsisten. Pola jumlah dan hasil kali akar ini adalah senjata ampuh yang bisa kamu gunakan untuk membongkar berbagai soal serupa.
Coba sekarang ambil contoh akar lain, misalnya (1 ± √5), dan terapkan langkah yang sama. Pasti langsung ketemu! Intinya, kuasai konsepnya, maka semua soal akan terasa seperti memecahkan kode yang sama dengan kunci yang sudah kamu pegang.
Tanya Jawab Umum
Apakah akar (5 – √3) dan (5 + √3) termasuk akar kembar?
Tidak. Akar kembar terjadi ketika nilai diskriminannya nol, sehingga kedua akarnya sama persis. Pada kasus ini, akar-akarnya berbeda (karena √3 bukan nol) dan merupakan bilangan irasional.
Mengapa hasil akhir persamaannya harus disederhanakan ke koefisien bilangan bulat?
Penyederhanaan ke koefisien bilangan bulat adalah bentuk standar atau bentuk paling sederhana yang umum digunakan. Itu membuat persamaan lebih bersih, mudah dibaca, dan memudahkan analisis lebih lanjut seperti menentukan titik puncak atau menggambar grafik.
Bisakah soal seperti ini muncul dalam konteks geometri?
Bisa. Misalnya, dalam masalah mencari panjang sisi suatu segitiga siku-siku atau segmen garis yang memenuhi suatu kondisi tertentu, solusinya bisa berbentuk bilangan irasional seperti (5 ± √3), yang kemudian perlu dikonversi ke persamaan kuadrat asalnya.
Bagaimana jika akar-akarnya dibalik, misalnya (-5 ± √3)? Apakah metodenya sama?
Persis sama. Metode jumlah dan hasil kali akar bersifat umum. Kamu cukup hitung jumlah [(-5+√3) + (-5-√3)] = -10 dan hasil kali [(-5+√3)*(-5-√3)] = 25 – 3 = 22, sehingga persamaannya menjadi x²
-(-10)x + 22 = 0 atau x² + 10x + 22 = 0.
