Tulislah sebuah pecahan yang bilangannya antara bilangan berikut ini! a. 2/3 dan 3/4 b. 1/3 dan 5/6. Pertanyaan yang terdengar seperti teka-teki kecil ini sebenarnya adalah gerbang untuk memahami keajaiban bilangan rasional. Di dunia matematika, di antara dua angka pecahan, selalu ada ruang tak terbatas untuk angka lain bersembunyi.
Bayangkan seperti mencari posisi duduk baru di antara dua teman di sebuah bangku panjang, pasti selalu ada celah, tinggal bagaimana kita menemukan tempat yang pas.
Nah, kalau lagi asyik mencari pecahan di antara 2/3 dan 3/4 atau 1/3 dan 5/6, ingat ya, logika mencari nilai tengah itu mirip dengan prinsip mencari kemiringan. Coba deh lihat ilustrasi visualnya di sini, Perhatikan gambar berikut: Gradien garis AB adalah , karena memahami konsep gradien bisa bantu kamu lebih intuitif dalam menentukan posisi pecahan yang tepat di antara dua bilangan itu.
Mencari pecahan di antara dua bilangan bukan sekadar soal hitung-hitungan kering, melainkan petualangan kecil untuk melihat hubungan antar bilangan lebih dekat. Dengan metode yang tepat, seperti menyamakan penyebut, kita bisa dengan mudah menjepret bilangan-bilangan yang tersembunyi itu. Mari kita selami prosesnya dengan santai namun teliti, agar konsep ini melekat dan bisa diaplikasikan ke berbagai soal serupa.
Pengantar Konsep Pecahan di Antara Dua Bilangan
Bayangkan kamu punya dua potong kue yang ukurannya berbeda. Satu potong mewakili 2/3 kue, yang lain 3/4 kue. Lalu, ada pertanyaan: bisakah kamu memotong kue dengan ukuran lain yang besarnya di antara kedua potongan itu? Tentu saja bisa, dan bahkan pilihannya tak terbatas. Konsep mencari pecahan di antara dua bilangan pecahan lain adalah tentang menemukan “jalan tengah” yang valid dalam matematika, sebuah bilangan yang nilainya lebih besar dari yang pertama tapi lebih kecil dari yang kedua.
Secara visual, jika kita menggambar sebuah garis bilangan dari 0 ke 1, titik 2/3 (atau sekitar 0.667) akan berada di sebelah kiri titik 3/4 (atau 0.75). Ruas antara kedua titik ini adalah sebuah interval yang penuh dengan bilangan-bilangan rasional tak terhitung. Tugas kita adalah menjemput satu—atau beberapa—dari bilangan-bilangan yang bersembunyi di dalam interval tersebut. Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas, mari kita lihat perbandingan nilai desimalnya.
| Pecahan | Nilai Desimal (Pembulatan 3 Angka) | Posisi | Contoh Pecahan Antara |
|---|---|---|---|
| 2/3 | 0.667 | Batas Bawah | – |
| 5/7 | 0.714 | Di Antara | Contoh 1 |
| 3/4 | 0.750 | Batas Atas | – |
| 7/10 | 0.700 | Di Antara | Contoh 2 |
Metode Mencari Pecahan Antara: Penyamaan Penyebut: Tulislah Sebuah Pecahan Yang Bilangannya Antara Bilangan Berikut Ini! A. 2/3 Dan 3/4 B. 1/3 Dan 5/6
Strategi paling ampuh dan elegan untuk menemukan pecahan antara adalah dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Logikanya sederhana: bagaimana kamu membandingkan mana yang lebih besar antara 3/4 kg beras dan 2/3 kg beras, jika wadahnya berbeda? Kamu harus menuangkannya ke dalam wadah yang sama ukurannya. Dalam matematika, wadah itu adalah penyebut yang sama, biasanya Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari kedua penyebut.
Mari kita jabarkan prosesnya untuk pasangan 2/3 dan 3/4. Penyebutnya adalah 3 dan 4. KPK dari 3 dan 4 adalah 12. Ini berarti kita akan mengubah kedua pecahan sehingga mereka “berbicara dalam bahasa” yang sama, yaitu per-dua belas-an.
- Langkah pertama: Cari KPK dari kedua penyebut. Ini akan menjadi penyebut bersama yang baru.
- Langkah kedua: Ubah setiap pecahan menjadi pecahan senilai dengan penyebut bersama tersebut. Kalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.
- Langkah ketiga: Setelah pembilangnya berada dalam skala yang sama, identifikasi bilangan bulat yang nilainya berada di antara kedua pembilang yang baru.
- Langkah keempat: Gunakan bilangan bulat tersebut sebagai pembilang baru, dengan penyebut bersama yang sudah ditemukan. Voila! Itulah pecahan antara yang kita cari.
Menerapkan Metode pada Contoh Spesifik (2/3 dan 3/4)
Source: slidesharecdn.com
Sekarang, kita eksekusi rencana itu. Untuk 2/3 dan 3/4, KPK-nya
12. Kita lakukan konversi: 2/3 menjadi (2×4)/(3×4) = 8/
12. Sedangkan 3/4 menjadi (3×3)/(4×3) = 9/
12. Sekarang situasinya lebih jernih: kita mencari pecahan dengan penyebut 12 yang pembilangnya terletak di antara 8 dan 9.
Ternyata, tidak ada bilangan bulat di antara 8 dan 9. Lalu bagaimana?
Ini adalah titik penting. Ketika tidak ada bilangan bulat di antara pembilang yang disamakan, kita perlu “memperbesar resolusi” dengan menyamakan penyebut ke kelipatan yang lebih besar. Kalikan penyebut bersama dengan 2, misalnya. 8/12 = 16/24 dan 9/12 = 18/24. Sekarang, kita punya interval antara 16/24 dan 18/24.
Nah, di sini sudah muncul satu bilangan bulat di antaranya, yaitu 17. Jadi, 17/24 adalah salah satu jawaban yang valid.
Contoh pecahan yang terletak di antara 2/3 dan 3/4:
- 17/24 (≈0.708)
- 5/7 (≈0.714)
- didapat dengan metode penyamaan penyebut yang berbeda (menjadi 21).
- 9/13 (≈0.692)
- contoh eksplorasi lainnya.
Menerapkan Metode pada Contoh Spesifik (1/3 dan 5/6)
Sekarang kita hadapi pasangan yang berbeda: 1/3 dan 5/
6. Mari kita terapkan prosedur yang sama. Penyebutnya 3 dan
6. KPK-nya adalah
6. Kita ubah: 1/3 = (1×2)/(3×2) = 2/
6.
Pecahan 5/6 sudah memiliki penyebut 6, jadi tetap 5/
6. Sekarang kita punya 2/6 dan 5/
6. Jelas terlihat bahwa bilangan bulat 3 dan 4 berada di antara pembilang 2 dan
5. Jadi, kita bisa langsung mendapatkan jawaban: 3/6 (yang senilai dengan 1/2) dan 4/6 (yang senilai dengan 2/3).
| Aspect | Contoh 2/3 & 3/4 | Contoh 1/3 & 5/6 | Kesimpulan |
|---|---|---|---|
| Penyebut Awal | 3 dan 4 | 3 dan 6 | Berbeda |
| KPK | 12 | 6 | Lebih sederhana untuk contoh kedua |
| Pembilang Setelah Disamakan | 8 dan 9 | 2 dan 5 | Contoh kedua memberi lebih banyak pilihan langsung |
| Trik | Perlu memperbesar penyebut | Seringkali langsung ketemu | Periksa selisih pembilang. Jika 1, cari KPK baru. |
Trik singkatnya adalah: setelah menyamakan penyebut, jika selisih pembilangnya hanya 1 (seperti 8 dan 9), kamu belum bisa langsung menjawab. Gandakan saja penyebut bersamanya, maka interval pembilang akan melebar, memberi ruang untuk bilangan di antaranya.
Eksplorasi dan Verifikasi Hasil
Setelah mendapatkan beberapa kandidat pecahan, penting untuk memastikan mereka benar-benar berada di posisi yang seharusnya. Cara termudah adalah mengubahnya ke bentuk desimal dan membandingkan dengan batas-batasnya. Lebih dari itu, fakta bahwa kita bisa terus memperbesar penyebut bersama (menjadi 48, 96, 120, dan seterusnya) membuktikan bahwa pilihan pecahan antara itu jumlahnya tak terhingga. Dari satu interval kecil di garis bilangan, kita bisa menggali tanpa henti.
| Pecahan Antara | Nilai Desimal | Lebih besar dari 2/3 (0.667)? | Lebih kecil dari 3/4 (0.75)? |
|---|---|---|---|
| 17/24 | 0.70833… | Ya | Ya |
| 5/7 | 0.71428… | Ya | Ya |
| 11/16 | 0.6875 | Ya | Ya |
| 7/10 | 0.7 | Ya | Ya |
Untuk memeriksa kebenaran, bayangkan mengurutkan semua pecahan ini dari terkecil ke terbesar. Misalnya: 2/3 (0.667) < 11/16 (0.6875) < 7/10 (0.7) < 17/24 (0.708) < 5/7 (0.714) < 3/4 (0.75). Jika urutannya konsisten naik dan pecahan pilihanmu terjepit di tengah, berarti kamu sudah berada di jalur yang benar.
Aplikasi dan Latihan Praktis
Teori tanpa praktek bagai penyebut tanpa pembilang, kosong. Mari kita asah kemampuan dengan beberapa latihan bertingkat. Mulai dari yang langsung hingga yang butuh sedikit ekspansi.
- Level Dasar: Tulislah sebuah pecahan di antara 1/2 dan 3/4.
- Level Menengah: Temukan dua pecahan berbeda yang terletak di antara 3/5 dan 4/5.
- Level Lanjut: Cari sebuah pecahan dengan penyebut 21 yang terletak di antara 2/7 dan 5/6.
Mari kita bahas prosedur untuk soal level lanjut sebagai contoh. Soal: Cari pecahan berpenyebut 21 di antara 2/7 dan 5/6.
- Ubah 2/7 menjadi pecahan berpenyebut 21: (2×3)/(7×3) = 6/21.
- Ubah 5/6 menjadi pecahan berpenyebut 21: (5×3.5)/(6×3.5) tidak menghasilkan bilangan bulat. Jadi, kita cari bilangan antara dalam bentuk lain.
- Cari KPK 7 dan 6, yaitu 42. 2/7 = 12/42, 5/6 = 35/42.
- Kita butuh pecahan senilai dengan penyebut 21, yang merupakan setengah dari 42. Cari pembilang di antara 12 dan 35 yang jika penyebut 42 dibagi 2, pembilangnya juga harus bilangan bulat.
- Pilih bilangan genap di antara 12 dan 35, misalnya
18. 18/42 = 9/
21. Periksa: 6/21 (0.286) < 9/21 (0.429) < (5/6 ≈ 0.833). Valid.
Jawaban akhir untuk permintaan “Tulislah sebuah pecahan yang bilangannya antara 1/3 dan 5/6” bisa beragam. Salah satu yang diperoleh dari metode penyamaan penyebut standar adalah:1/2 (atau 3/6). Ini didapat dari penyamaan penyebut menjadi 6, di mana 1/3 = 2/6 dan 5/6 tetap. Bilangan bulat 3 berada di antara pembilang 2 dan 5, sehingga menghasilkan pecahan 3/6 = 1/2.
Terakhir
Jadi, begitulah cara menemukan pecahan di antara dua bilangan. Prosesnya seperti memiliki kunci master untuk membuka pintu-pintu rahasia di garis bilangan. Setelah memahami konsep penyamaan penyebut, kita jadi sadar bahwa pilihan jawabannya tak terbatas, memberi kebebasan untuk memilih pecahan mana pun yang memenuhi syarat. Yang penting, selalu verifikasi dengan mengubah ke bentuk desimal atau mengurutkannya untuk memastikan posisinya benar-benar terjepit di tengah.
Keterampilan ini bukan cuma untuk menjawab soal, tapi melatih ketelitian dan logika dalam melihat struktur bilangan. Selanjutnya, coba terapkan pada pasangan pecahan lain. Semakin sering berlatih, intuisi matematika akan semakin terasah, dan menemukan pecahan antara akan terasa semudah menyebutkan warna favorit.
Kumpulan Pertanyaan Umum
Apakah hanya ada satu jawaban yang benar untuk soal seperti ini?
Nah, tugas cari pecahan di antara 2/3 dan 3/4 atau 1/3 dan 5/6 itu seru banget, kan? Ini nih latihan yang bikin logika makin tajam, mirip kayak saat kita harus mengurai teka-teki fungsi kuadrat seperti soal yang satu ini: Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum -2 untuk x = 3. Jika nilai fungsinya 16 untuk x = 0, fungsi kuadrat tersebut adalah.
Konsep matematika itu saling nyambung, guys! Jadi, setelah paham pola-pola itu, pasti kamu makin jago menemukan pecahan yang tepat untuk jawaban awal tadi.
Tidak sama sekali. Di antara dua pecahan, selalu ada tak terhingga banyaknya pecahan lain. Jadi, jawaban yang diberikan bisa sangat beragam, asalkan nilainya memang terletak di antara kedua bilangan yang diminta.
Mengapa harus menyamakan penyebut terlebih dahulu?
Menyamakan penyebut seperti memberi “pijakan” yang sama untuk kedua bilangan. Dengan penyebut yang sama, kita bisa langsung membandingkan pembilangnya dan dengan mudah melihat bilangan bulat mana saja yang berada di antara keduanya, yang kemudian bisa dijadikan pembilang untuk pecahan antara.
Bagaimana jika saya ragu apakah jawaban saya sudah tepat?
Cara termudah adalah mengubah semua pecahan (batas bawah, batas atas, dan jawaban kita) ke dalam bentuk desimal. Jika nilai desimal jawaban kita lebih besar dari batas bawah dan lebih kecil dari batas atas, maka jawaban tersebut pasti benar.
Apakah metode ini hanya berlaku untuk pecahan positif?
Prinsipnya sama untuk pecahan negatif. Namun, perlu ekstra hati-hati karena urutan bilangan pada garis bilangan untuk negatif terbalik. Pecahan antara -1/3 dan -5/6 akan memiliki nilai yang lebih kecil dari -1/3 tetapi lebih besar dari -5/6.
Adakah cara cepat selain menyamakan penyebut?
Ada cara lain seperti mencari nilai rata-rata (mean) dari dua pecahan tersebut. Rata-rata dua bilangan selalu terletak persis di tengah-tengah keduanya dan merupakan satu jawaban yang valid.
