Rumus suku ke-n barisan bilangan 3,6, 12, 24, adalah kunci untuk membuka pola tersembunyi di balik deretan angka yang tampaknya acak ini. Kalau kita cermati, ada sebuah ritme perkalian yang konsisten, sebuah pola geometris yang tumbuh dengan cepat layaknya cerita viral di media sosial. Mari kita telusuri bersama bagaimana angka-angka ini berbicara dan mengungkap rumus rahasianya, karena memahami ini bukan cuma untuk ujian, tapi juga melatih logika kita melihat pola dalam kehidupan.
Barisan ini adalah contoh klasik dari barisan geometri, di mana setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah bilangan tetap yang disebut rasio. Dengan mengenali rasio ini, kita bisa meramalkan suku ke-10, ke-100, atau bahkan suku ke-n tanpa harus menuliskan semua urutannya. Proses ini mirip dengan memahami algoritma feed media sosialmu yang makin lama makin personal, dasarnya tetap, tapi hasilnya bisa sangat beragam tergantung ‘pangkat’ waktunya.
Pengertian dan Jenis Barisan Bilangan
Sebelum kita menyelami rumusnya, mari kita pahami dulu medan tempurnya. Dalam matematika, barisan bilangan adalah daftar urut angka-angka yang mengikuti aturan atau pola tertentu. Bayangkan seperti antrian orang yang memakai kaos bernomor; urutannya tidak acak, tapi diatur berdasarkan nomor kaos tersebut. Nah, yang perlu kita bedakan adalah konsep barisan dengan deret. Barisan adalah daftar anggotanya saja, seperti 3, 6, 12, 24.
Sementara deret adalah hasil penjumlahan dari anggota-anggota barisan itu, misalnya 3 + 6 + 12 + 24. Fokus kita kali ini adalah barisan.
Barisan bilangan umumnya dikelompokkan berdasarkan pola perubahan antar sukunya. Dua jenis yang paling sering ditemui dan menjadi fondasi adalah barisan aritmatika dan barisan geometri. Memahami ciri keduanya adalah kunci untuk menyelesaikan banyak soal.
Jenis-Jenis Barisan Bilangan dan Ciri-Cirinya
Setiap jenis barisan punya “DNA”-nya sendiri, yaitu pola perubahan yang konsisten. Berikut adalah penjelasan untuk dua jenis utama beserta contohnya.
- Barisan Aritmatika: Barisan dimana selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih ini disebut beda (b). Polanya adalah penambahan atau pengurangan yang konstan. Contoh: 2, 5, 8, 11, 14,… (beda = 3).
- Barisan Geometri: Barisan dimana rasio (hasil bagi) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rasio ini dilambangkan dengan r. Polanya adalah perkalian atau pembagian yang konstan. Contoh: 3, 6, 12, 24, 48,… (rasio = 2).
- Barisan Lainnya: Ada juga barisan dengan pola khusus seperti barisan Fibonacci (setiap suku adalah jumlah dua suku sebelumnya: 1, 1, 2, 3, 5, 8,…) atau barisan persegi (kuadrat dari bilangan asli: 1, 4, 9, 16, 25,…).
Mengenali Pola Barisan Geometri: Rumus Suku Ke-n Barisan Bilangan 3,6, 12, 24, Adalah
Sekarang, mari kita intip barisan yang jadi bahan pembahasan kita: 3, 6, 12,
24. Dari sekilas pandang, angka-angka ini melonjak dengan cepat. Untuk memastikan jenisnya, kita lakukan investigasi sederhana: cari pola perubahan antar suku yang berdekatan.
Apakah selisihnya tetap? Mari kita cek: 6-3=3, 12-6=6, 24-12=
12. Selisihnya berubah (3, 6, 12), berarti ini bukan barisan aritmatika. Sekarang, coba kita bagi suku setelah dengan suku sebelumnya: 6 ÷ 3 = 2, 12 ÷ 6 = 2, 24 ÷ 12 = 2. Nah, ini dia! Hasil baginya selalu konsisten, yaitu 2.
Nah, kalau rumus suku ke-n barisan 3, 6, 12, 24 itu kan polanya dikali dua, ya. Sama kayak nalar yang kita butuhkan untuk mengurai teka-teki angka, kayak soal yang satu ini Perhatikan gambar. Tentukan nilai y! 794 36 502 453 25 172 203 y 158. Pola pikirnya mirip: cari hubungan antar bilangan. Setelah berhasil, kamu pasti makin jago menemukan pola-pola tersembunyi, termasuk dalam menyusun deret geometri tadi.
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa barisan ini adalah barisan geometri dengan rasio (r) = 2.
Analisis Pola dan Perhitungan Rasio, Rumus suku ke-n barisan bilangan 3,6, 12, 24, adalah
Untuk memperjelas pola perkalian yang terjadi, tabel berikut memetakan hubungan antar suku secara visual. Perhatikan bagaimana setiap suku baru lahir dari suku sebelumnya yang dikawinkan dengan rasio yang tetap.
| Suku ke- | Nilai (Un) | Rasio (dengan suku sebelumnya) | Pola Perkalian |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | – | 3 (suku awal) |
| 2 | 6 | 6 / 3 = 2 | 3 × 2 |
| 3 | 12 | 12 / 6 = 2 | 3 × 2 × 2 |
| 4 | 24 | 24 / 12 = 2 | 3 × 2 × 2 × 2 |
Rumus Umum Suku ke-n Barisan Geometri
Setelah tahu rasionya 2, kita bisa nebak suku ke-5 adalah 48, ke-6 adalah 96. Tapi bagaimana kalau ditanya suku ke-100? Mustahil kita mengalikan dengan 2 terus sampai 99 kali. Di sinilah keajaiban rumus matematika bekerja. Rumus itu seperti peta harta karun yang memberi jalan pintas untuk menemukan suku mana pun tanpa harus melewati semua suku sebelumnya.
Rumus umum untuk mencari suku ke-n (Un) dari barisan geometri adalah:
Un = a × r^(n-1)
Rumus ini terlihat sederhana, tapi punya kekuatan yang luar biasa. Mari kita uraikan makna dari setiap simbolnya:
- a (suku pertama): Ini adalah fondasi atau titik awal barisan. Dalam contoh kita, a = 3.
- r (rasio): Ini adalah faktor pengali konstan yang menjadi “mesin” pertumbuhan barisan. Dalam contoh, r = 2.
- n (indeks suku): Ini menunjukkan posisi suku yang ingin kita cari. Mau cari suku ke-5? n=5. Mau cari suku ke-100? n=100.
- Un (suku ke-n): Ini adalah hasil yang kita cari, nilai dari suku pada posisi ke-n.
Penerapan Rumus pada Barisan Contoh
Sekarang, dengan senjata rumus Un = a × r^(n-1), mari kita temukan nilai beberapa suku yang jauh. Kita sudah tahu a=3 dan r=2.
Untuk suku ke-5 (U5): U5 = 3 × 2^(5-1) = 3 × 2^4 = 3 × 16 = 48. Cocok dengan tebakan kita.
Untuk suku ke-8 (U8): U8 = 3 × 2^(8-1) = 3 × 2^7 = 3 × 128 = 384.
Untuk suku ke-10 (U10): U10 = 3 × 2^(10-1) = 3 × 2^9 = 3 × 512 = 1536. Lihat? Dalam hitungan detik, kita bisa tahu suku ke-10 adalah 1536 tanpa harus menuliskan 9 suku sebelumnya.
Penerapan dan Contoh Soal Variatif
Memahami rumus di atas saja tidak cukup. Kita harus menguji pemahaman dengan berbagai skenario soal. Soal-soal geometri bisa datang dengan berbagai tingkat kerumitan, dari yang langsung menerapkan rumus hingga yang perlu sedikit analisis ekstra.
Contoh Soal dengan Tingkat Kesulitan Berbeda
Berikut tiga contoh soal yang mewakili tingkat kesulitan berbeda, lengkap dengan cara penyelesaiannya.
Tingkat Mudah: Diketahui barisan geometri 81, 27, 9, 3, … Tentukan suku ke-6 dari barisan tersebut.
- Pertama, cari rasio (r) = U2/U1 = 27/81 = 1/3.
- Suku pertama (a) = 81.
- Suku ke-6 (U6) = a × r^(5) = 81 × (1/3)^5 = 81 × (1/243) = 81/243 = 1/3.
Tingkat Sedang: Suku ke-3 suatu barisan geometri adalah 20 dan suku ke-6 adalah 160. Tentukan suku pertama (a) dan rasio (r) dari barisan tersebut.
- Dari rumus: U3 = a × r^2 = 20, dan U6 = a × r^5 = 160.
- Bagi persamaan U6 dengan U3: (a × r^5) / (a × r^2) = 160/20 → r^3 = 8 → r = 2.
- Substitusi r=2 ke U3: a × 2^2 = 20 → a × 4 = 20 → a = 5.
Tingkat Sulit: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 14 dan hasil kalinya 64, tentukan ketiga bilangan tersebut.
Misalkan ketiga bilangan itu adalah a/r, a, dan a×r (bentuk ini memudahkan karena hasil kali mereka adalah a^3).
Dari informasi soal:
- Hasil Kali: (a/r) × a × (a×r) = 64 → a^3 = 64 → a = 4.
- Jumlah: (a/r) + a + (a×r) = 14 → (4/r) + 4 + 4r = 14 → (4/r) + 4r = 10.
- Kalikan semua suku dengan r: 4 + 4r^2 = 10r → 4r^2 – 10r + 4 = 0 → bagi 2: 2r^2 – 5r + 2 = 0.
- Faktorkan: (2r – 1)(r – 2) = 0. Jadi, r = 2 atau r = 1/2.
Dengan a=4, maka dua kemungkinan barisannya adalah:
- Jika r=2: Bilangannya adalah 2, 4, 8.
- Jika r=1/2: Bilangannya adalah 8, 4, 2.
Pada dasarnya, kedua barisan ini sama hanya urutannya yang terbalik.
Kesalahan Umum dan Cara Menghindarinya
Source: slidesharecdn.com
Beberapa jebakan sering menjebak banyak orang. Pertama, keliru menentukan pangkat pada r. Ingat selalu rumus r^(n-1), bukan r^n. Kedua, lupa bahwa rasio bisa berupa pecahan atau bilangan negatif. Jangan kaget jika bertemu barisan seperti 16, 8, 4, 2 (r=1/2) atau 2, -6, 18, -54 (r=-3).
Ketiga, terburu-buru dalam soal bertingkat seperti tingkat sulit di atas. Luangkan waktu untuk memisalkan variabel dengan bentuk yang tepat (seperti a/r, a, ar) untuk menyederhanakan persamaan.
Visualisasi dan Ilustrasi Pertumbuhan
Kekuatan sebenarnya dari barisan geometri terasa ketika kita melihatnya secara visual. Pertumbuhannya bukan linear, melainkan eksponensial. Bayangkan sebuah video time-lapse biji bunga matahari yang bertunas, lalu batangnya melesat tinggi, dan tiba-tiba muncul puluhan kuntum bunga. Itulah kesan yang diberikan barisan geometri: perlahan di awal, lalu meledak tak terduga.
Jika kita gambarkan grafik dengan sumbu horizontal sebagai posisi suku (n) dan sumbu vertikal sebagai nilai suku (Un), barisan aritmatika akan membentuk garis lurus yang naik atau turun dengan kemiringan tetap. Sementara itu, barisan geometri kita (3, 6, 12, 24,…) akan membentuk kurva yang melengkung ke atas semakin curam, seperti bentuk parabola atau bahkan lebih tajam, menandakan pertambahan nilai yang semakin besar setiap langkahnya.
Pemetaan Hubungan Posisi dan Nilai Suku
Tabel di bawah ini menunjukkan bagaimana nilai suku meledak seiring bertambahnya n, dan bagaimana peran r^(n-1) sebagai faktor pengali yang semakin besar.
| n (Posisi) | r^(n-1) | Un = 3 × r^(n-1) | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1 | 2^0 = 1 | 3 | Nilai awal |
| 3 | 2^2 = 4 | 12 | 4 kali suku pertama |
| 5 | 2^4 = 16 | 48 | 16 kali suku pertama |
| 7 | 2^6 = 64 | 192 | 64 kali suku pertama |
| 10 | 2^9 = 512 | 1536 | 512 kali suku pertama |
Perbandingan Visual dengan Barisan Aritmatika
Coba bandingkan dengan barisan aritmatika, misalnya 3, 6, 9, 12,… yang punya beda 3. Di suku ke-10, barisan aritmatika itu hanya bernilai 30. Bandingkan dengan 1536 pada barisan geometri kita. Inilah yang disebut kekuatan pertumbuhan eksponensial versus pertumbuhan linear.
Dalam dunia nyata, pola seperti barisan geometri sering kita temui dalam penyebaran berita viral, pertumbuhan bakteri ideal, atau bunga majemuk di investasi. Sementara pola aritmatika lebih sering pada hal-hal seperti menabung tetap tiap bulan atau penyusutan nilai garis lurus. Memahami perbedaan mendasar ini membantu kita memilih model matematika yang tepat untuk menganalisis berbagai fenomena di sekitar kita.
Penutup
Jadi, rumus Un = 3 x 2^(n-1) itu lebih dari sekadar hafalan; ia adalah sebuah pola pikir. Ia mengajarkan kita untuk tidak hanya melihat angka per angka, tetapi melompati proses dengan memahami aturan main dasarnya. Setelah ini, cobalah untuk melihat pola-pola geometri di sekitarmu, mulai dari pembelahan sel, bunga majemuk, hingga penyebaran konten di internet. Dengan menguasai konsep ini, kamu sudah membekali diri dengan sebuah lensa baru untuk mengamati dunia yang penuh dengan pertumbuhan eksponensial.
Selamat berjelajah!
Nah, setelah kamu paham rumus suku ke-n barisan 3, 6, 12, 24, yang ternyata pola perkalian, tantangan logika lainnya adalah soal ini: Misalkan, m dan n adalah bilangan positif yang memenuhi 1/m + 1/n = 4/7. Berapakah nilai m^2 + n^2?. Sama kayak nemuin pola barisan tadi, soal ini butuh kecermatan untuk mengurai persamaan. Jadi, menguasai kedua konsep ini bikin skill matematikamu makin solid dan siap hadapi berbagai variasi soal, termasuk yang berbentuk deret.
FAQ Terpadu
Apakah barisan 3, 6, 12, 24 bisa disebut barisan aritmatika?
Tidak. Barisan aritmatika memiliki selisih (beda) yang tetap antar suku. Di sini, selisihnya berubah (3, 6, 12), sedangkan barisan ini memiliki rasio perkalian yang tetap, yaitu 2, sehingga ia adalah barisan geometri.
Bagaimana jika soalnya mencari suku ke-n dari 3, 6, 12, 24, 48?
Prinsipnya sama. Barisan 3, 6, 12, 24, 48 tetap merupakan barisan geometri dengan rasio 2 dan suku pertama 3. Rumusnya tetap Un = 3 x 2^(n-1). Suku ke-5 (48) sudah membuktikan kebenaran rumus tersebut.
Apa bedanya ‘n’ dan ‘n-1’ dalam rumus Un = a
– r^(n-1)?
‘n’ menunjukkan urutan suku yang ingin dicari (misal suku ke-10, maka n=10). ‘n-1’ menunjukkan banyaknya perkalian dengan rasio (r) yang terjadi. Untuk mencapai suku ke-10 dari suku pertama (a), kita hanya perlu mengalikan dengan rasio sebanyak 9 kali (10-1), bukan 10 kali.
Apakah ada cara cepat mencari suku tertentu tanpa rumus?
Untuk suku-suku kecil, bisa dengan melanjutkan pola perkalian. Namun untuk suku besar seperti suku ke-50, menggunakan rumus jauh lebih efisien dan akurat daripada mengalikan 2 sebanyak 49 kali secara manual.
Bagaimana jika rasionya bukan bilangan bulat?
Tidak masalah. Rumusnya tetap berlaku. Contohnya barisan 24, 12, 6, 3 memiliki rasio 1/2 atau 0.5. Rumus menjadi Un = 24 x (0.5)^(n-1). Konsep dan cara pengerjaannya identik.
