Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 1/2 x – 1/3 y = 2 dan 3/4 x + 2y = -12 adalah teka-teki aljabar klasik yang bikin penasaran. Kalau lihat angka-angkanya yang penuh pecahan, mungkin langsung terbayang ribetnya. Tapi jangan khawatir, sebenarnya misteri dua garis yang bersilangan ini bisa diungkap dengan langkah-langkah sistematis yang cukup mudah diikuti, bahkan untuk yang merasa alergi sama matematika sekalipun.
Intinya, kita sedang mencari satu titik temu, satu koordinat ajaib (x, y) yang bisa memuaskan kedua persamaan itu sekaligus. Bayangkan dua jalan lurus di peta, titik di mana mereka bertemu itulah solusinya. Proses menemukannya melibatkan sedikit trik untuk membersihkan pecahan, lalu memilih strategi eliminasi atau substitusi. Mari kita bongkar perlahan, karena di balik tampilan yang rumit, logika penyelesaiannya ternyata sangat elegan dan memuaskan.
Memahami Permasalahan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sebelum kita menyelam ke dalam angka dan pecahan, mari kita sepakati dulu medan perangnya. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) pada dasarnya adalah dua persamaan linear yang punya dua variabel yang sama, biasanya x dan y. Tujuan utamanya adalah menemukan satu pasangan nilai (x, y) yang bisa memenuhi kedua persamaan itu sekaligus. Bayangkan seperti mencari titik temu dua jalan lurus di peta; titik itulah solusinya.
Nah, kalau kamu udah nemuin himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ½x – ⅓y = 2 dan ¾x + 2y = -12, berarti skill aljabarmu oke banget. Keahlian ini bakal berguna banget buat ngurai soal cerita yang lebih kompleks, kayak kasus Diketahui Un adalah usia anak ke-n. (U1 – U2), (U2 – U3), (U3 – U4), (U4 – U5) adalah 2 tahun, 3 tahun, 4 tahun, dan 5 tahun.
Jika usia ibu dari anak- yang seru itu. Jadi, setelah paham pola usia anak-anak tadi, kamu pasti makin jago dan percaya diri untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel seperti soal pertama tadi dengan lebih cepat dan akurat.
Dalam kasus kita, sistem persamaannya punya karakter khusus: koefisien dalam bentuk pecahan. Ada ½ dan -⅓ di persamaan pertama, serta ¾ di persamaan kedua. Kehadiran pecahan ini seperti sedikit rintangan awal yang harus kita rapikan sebelum pertempuran utama. Langkah awal yang paling krusial adalah membersihkan persamaan dari bentuk pecahan tersebut dengan mengalikan seluruh persamaan dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebutnya.
Ini akan mengubahnya menjadi persamaan dengan koefisien bilangan bulat yang jauh lebih mudah diolah.
Dalam menyelesaikan SPLDV, umumnya kita punya dua senjata andalan: metode eliminasi dan substitusi. Masing-masing punya kelebihan dan kekurangan yang bisa kita pertimbangkan berdasarkan bentuk persamaannya.
| Metode | Kelebihan | Kekurangan |
|---|---|---|
| Eliminasi | Sangat efektif jika koefisien salah satu variabel sama atau mudah disamakan. Langsung menghilangkan satu variabel untuk fokus ke variabel lain. | Bisa melibatkan perkalian yang besar jika koefisiennya tidak sederhana. Membutuhkan ketelitian dalam operasi penjumlahan/pengurangan. |
| Substitusi | Paling baik jika salah satu variabel sudah terisolasi (misalnya y = 2x + 1). Langsung dan konsepnya mudah dipahami. | Menjadi rumit jika harus mengisolasi variabel dari persamaan yang kompleks atau berpecahan. Rentan kesalahan aljabar dalam proses substitusi. |
Menyederhanakan Persamaan dengan Koefisien Pecahan: Himpunan Penyelesaian Dari Sistem Persamaan 1/2 X – 1/3 Y = 2 Dan 3/4 X + 2y = -12 Adalah
Mari kita praktikkan langkah pembersihan ini. Tujuannya adalah mengubah persamaan yang “berantakan” menjadi lebih bersahabat. Kuncinya adalah KPK.
Untuk persamaan pertama, ½x – ⅓y = 2, penyebutnya adalah 2 dan 3. KPK dari 2 dan 3 adalah 6. Kita kalikan setiap suku di kedua sisi persamaan dengan 6.
- 6
- (½x) = 3x
- 6
- (-⅓y) = -2y
- 6
- (2) = 12
Hasilnya: 3x – 2y = 12
Untuk persamaan kedua, ¾x + 2y = -12, penyebut yang ada hanya 4 (koefisien 2 adalah bilangan bulat). Jadi, kita kalikan seluruh persamaan dengan 4.
- 4
- (¾x) = 3x
- 4
- (2y) = 8y
- 4
- (-12) = -48
Hasilnya: 3x + 8y = -48
Perubahan ini dramatis dan sangat mempermudah pekerjaan kita. Berikut perbandingannya:
| Sebelum Disederhanakan | Setelah Disederhanakan |
|---|---|
| ½x – ⅓y = 2 | 3x – 2y = 12 |
| ¾x + 2y = -12 | 3x + 8y = -48 |
Kesalahan umum yang sering terjadi adalah hanya mengalikan suku yang berpecahan saja, melupakan suku konstanta. Misalnya, dalam persamaan pertama, hanya mengalikan ½x dan -⅓y dengan 6, tetapi lupa mengalikan angka 2 di ruas kanan. Hasilnya akan salah total. Pastikan aturan dasarnya: apa yang dilakukan di satu sisi, harus dilakukan di seluruh suku.
Menerapkan Metode Eliminasi untuk Mencari Nilai Variabel
Dengan bentuk yang sudah sederhana, kita punya sistem baru: 3x – 2y = 12 dan 3x + 8y = -48. Perhatikan bahwa koefisien variabel x pada kedua persamaan sudah sama, yaitu 3. Ini adalah situasi ideal untuk metode eliminasi. Kita bisa langsung mengurangkan kedua persamaan untuk menghilangkan x.
Prosedur eliminasi variabel x untuk mencari nilai y adalah sebagai berikut:
| Langkah | Persamaan 1 | Persamaan 2 | Operasi & Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1. Susun | 3x – 2y = 12 | 3x + 8y = -48 | Koefisien x sudah sama. |
| 2. Eliminasi x | 3x – 2y = 12 | 3x + 8y = -48 | Kurangkan Pers.1 dari Pers.2: (3x-3x) + (8y – (-2y)) = (-48 – 12) |
| 3. Sederhanakan | 0x + 10y = -60 | Variabel x hilang. Hasil: 10y = -60 | |
| 4. Cari y | y = -60 / 10 | Diperoleh nilai y = -6 | |
Setelah mendapatkan y = -6, kita perlu mencari nilai x. Kita bisa substitusi nilai y ini ke salah satu persamaan, atau melanjutkan eliminasi untuk variabel y. Mari kita lanjutkan dengan eliminasi untuk demonstrasi. Kali ini, kita harus menyamakan koefisien y.
| Langkah | Persamaan 1 | Persamaan 2 | Operasi & Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1. Susun Ulang | 3x – 2y = 12 | 3x + 8y = -48 | Kita sudah punya y = -6. Untuk eliminasi y, kalikan Pers.1 dengan 4. |
| 2. Samakan Koefisien y | 4*(3x – 2y) = 4*12 12x – 8y = 48 |
3x + 8y = -48 | Pers.1 yang baru: koefisien y adalah -8, lawan dari +8 di Pers.2. |
| 3. Eliminasi y | 12x – 8y = 48 | 3x + 8y = -48 | Jumlahkan kedua persamaan: (12x+3x) + (-8y+8y) = (48 + (-48)) |
| 4. Sederhanakan | 15x + 0y = 0 | Variabel y hilang. Hasil: 15x = 0 | |
| 5. Cari x | x = 0 / 15 | Diperoleh nilai x = 0 | |
Memeriksa konsistensi di setiap tahap eliminasi sangat penting. Misalnya, setelah pengurangan pertama, pastikan variabel x benar-benar nol. Jika tidak, ada kesalahan hitung. Hasil antara seperti 10y = -60 dan 15x = 0 sudah terlihat sederhana dan masuk akal, yang memberi kita keyakinan bahwa langkah kita benar.
Menerapkan Metode Substitusi sebagai Verifikasi
Source: amazonaws.com
Untuk memastikan keabsahan solusi kita (x=0, y=-6), mari gunakan metode substitusi sebagai verifikasi independen. Kita akan menggunakan persamaan yang telah disederhanakan, 3x – 2y = 12, dan substitusi nilai x yang kita dapat.
Prosedurnya sederhana: masukkan x = 0 ke dalam persamaan, lalu selesaikan untuk y.
- x – 2y = 12
- (0)
- 2y = 12
- – 2y = 12
- 2y = 12
y = 12 / (-2)
y = -6
Hasilnya sama, y = –
6. Untuk verifikasi ganda, substitusi kedua nilai (0, -6) ke persamaan kedua yang asli sebelum disederhanakan:
¾x + 2y = -12
¾(0) + 2(-6) = -12
- + (-12) = -12
- 12 = -12 (BENAR)
Untuk kasus spesifik ini, eliminasi jelas lebih efisien karena koefisien x pada kedua persamaan setelah penyederhanaan sudah identik. Kita langsung bisa mengeliminasi tanpa manipulasi awal. Substitusi, meskipun mudah, akan mengharuskan kita memindahkan suku terlebih dahulu (misalnya, mengubah 3x – 2y = 12 menjadi x = (12+2y)/3) yang justru memperkenalkan pecahan lagi. Jadi, eliminasi adalah pilihan yang lebih cerdas.
Menyajikan Himpunan Penyelesaian dan Interpretasinya
Dari perjalanan hitung-menghitung kita, akhirnya kita sampai pada jawaban final. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah sebuah pasangan berurutan:
(0, -6)
Interpretasi grafis dari solusi ini sangat elegan. Setiap persamaan linear dua variabel merepresentasikan sebuah garis lurus pada bidang Kartesius. Titik (0, -6) adalah koordinat tepat di mana kedua garis tersebut berpotongan. Ini adalah satu-satunya titik yang dilalui oleh kedua garis sekaligus.
Mari kita deskripsikan posisi titik ini. Nilai x = 0 berarti titik tersebut berada tepat di sumbu-y. Nilai y = -6 berarti titik tersebut berada 6 satuan di bawah titik pusat (0,0). Jadi, titik potong (0, -6) terletak tepat di sumbu-y negatif, yang merupakan batas antara kuadran III dan IV, namun secara teknis tidak berada di dalam kuadran mana pun karena terletak di sumbu.
Implikasi perubahan koefisian menarik untuk dibayangkan. Jika kita mengubah koefisien pecahan di persamaan awal, misalnya angka ½ menjadi ¼, maka kemiringan garis pertama akan berubah. Perubahan kemiringan ini akan menggeser titik potongnya. Bisa jadi bergeser ke kuadran lain, atau dalam kasus tertentu jika garis menjadi sejajar, maka tidak akan ada titik potong sama sekali (himpunan penyelesaian kosong). Kecilnya perubahan pada koefisien bisa berdampak besar pada solusi akhir.
Latihan dan Pengembangan Soal Serupa
Agar pemahamanmu semakin terasah, coba latih diri dengan beberapa variasi soal di bawah ini. Kerjakan dengan langkah penyederhanaan pecahan terlebih dahulu.
- (Mudah) ⅓x + ½y = 5 dan x – y = 1
- (Sedang) ⅖x + ¾y = 7 dan ½x – ⅔y = -1
- (Menantang) (x+1)/2 + (y-2)/3 = 4 dan x/4 – y/5 = 0
Mari kita bahas solusi untuk soal nomor 1 bersama-sama. Perhatikan tabel langkah-langkah berikut.
| Langkah | Persamaan 1 | Persamaan 2 | Keterangan |
|---|---|---|---|
| Soal Asli | ⅓x + ½y = 5 | x – y = 1 | Pers.2 sudah bilangan bulat. |
| Sederhanakan Pecahan | Kalikan dengan KPK 6: 6*(⅓x)=2x, 6*(½y)=3y, 6*5=30 2x + 3y = 30 |
x – y = 1 | Pers.1 sudah jadi bilangan bulat. |
| Eliminasi atau Substitusi | Dari Pers.2: x = 1 + y. Substitusi ke Pers.1 (2x+3y=30): 2(1+y) + 3y = 30 2 + 2y + 3y = 30 2 + 5y = 30 |
Metode substitusi dipilih karena x di Pers.2 mudah diisolasi. | |
| Cari Nilai Variabel | 5y = 28 y = 28/5 = 5.6 x = 1 + y = 1 + 5.6 = 6.6 |
Diperoleh solusi x = 6.6 atau 33/5, y = 5.6 atau 28/5. | |
Tips cepat memilih metode: Lihat koefisien setelah penyederhanaan. Jika koefisien salah satu variabel sama atau berlawanan, pilih eliminasi. Jika salah satu variabel sudah berdiri sendiri (seperti x = … atau y = …), pilih substitusi. Untuk soal cerita, identifikasi dua besaran yang tidak diketahui (misalnya: harga apel dan harga jeruk), lalu buat dua persamaan berdasarkan informasi yang diberikan.
Contoh soal cerita: Rina membeli 1½ kg apel dan ¾ kg jeruk dengan total harga Rp 50.000. Di toko yang sama, Bayu membeli 1 kg apel dan 1½ kg jeruk dengan total Rp 48.000. Misalkan harga apel per kg adalah x rupiah dan harga jeruk per kg adalah y rupiah, modelkan situasi ini ke dalam sistem persamaan linear dua variabel.
Persamaan untuk pembelian Rina: (3/2)x + (3/4)y = 50000
Persamaan untuk pembelian Bayu: 1x + (3/2)y = 48000
Sistem inilah yang kemudian bisa diselesaikan dengan langkah-langkah yang telah kita pelajari.
Nah, kalau kamu udah nemuin himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ½x – ⅓y = 2 dan ¾x + 2y = -12, pasti rasanya lega banget, kan? Tapi jangan berhenti di situ, karena perjalanan aljabar masih panjang. Coba tengok juga cara menentukan Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1, 4) serta melalui titik (2, 3) adalah —logika penyelesaiannya bakal nambah skillmu.
Dengan pemahaman yang lebih komprehensif itu, kamu bisa kembali mengecek dan memastikan solusi sistem persamaan linear tadi sudah benar-benar akurat.
Ringkasan Penutup
Jadi, begitulah ceritanya. Setelah melewati proses penyederhanaan dan perhitungan, titik temu dari dua garis tersebut akhirnya ketemu. Hasilnya bukan cuma sekadar angka, tapi sebuah jawaban pasti yang menunjukkan di mana dua hubungan linear itu sepakat. Pelajaran pentingnya, jangan langsung gentar melihat pecahan; dengan KPK dan metode yang tepat, semua jadi lebih mudah. Coba terapkan langkah-langkah tadi ke soal lain, pasti rasa percaya diri dalam menghadapi SPLDV akan naik drastis.
Selamat berhitung!
Pertanyaan yang Sering Muncul
Mengapa harus disederhanakan dulu dengan mengalikan KPK?
Untuk menghilangkan penyebut pecahan agar perhitungan selanjutnya dengan eliminasi atau substitusi menjadi lebih mudah dan minim kesalahan, karena bekerja dengan bilangan bulat lebih simpel.
Apakah hasilnya akan berbeda jika pakai metode substitusi dari awal?
Tidak, hasil akhirnya pasti sama. Hanya saja, karena koefisiennya belum disederhanakan, metode substitusi awal akan melibatkan operasi pecahan yang lebih rumit dan berpotensi terjadi kesalahan.
Bagaimana jika setelah dieliminasi hasilnya 0 = 0?
Artinya kedua persamaan mewakili garis yang sama (berhimpit), sehingga himpunan penyelesaiannya tak terhingga banyaknya, yaitu semua titik pada garis tersebut.
Bisakah soal ini diselesaikan dengan metode grafik?
Bisa, tetapi kurang akurat karena melibatkan pecahan. Metode grafik lebih baik untuk estimasi visual, sementara metode aljabar seperti eliminasi memberikan jawaban yang eksak.
Apa arti praktis dari solusi (x, y) yang ditemukan?
Dalam konteks soal cerita, pasangan (x, y) bisa mewakili solusi realistis, seperti jumlah barang yang dibeli dengan budget tertentu, atau titik keseimbangan dalam dua kondisi yang berbeda.
