Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1, 4) serta melalui titik (2, 3) adalah teka-teki aljabar yang sebenarnya punya solusi elegan. Kalau kamu tahu triknya, soal seperti ini bisa diselesaikan dengan lebih cepat daripada waktu yang dibutuhkan untuk mengeluh “matematika itu susah”. Kita akan membongkar rahasianya bareng-bareng, pakai logika yang simpel dan langkah yang jelas, tanpa perlu bikin pusing tujuh keliling.
Inti dari masalah ini adalah menemukan rumus si fungsi kuadratnya. Kita sudah dikasih kunci utama: titik puncak atau titik balik di (1,4). Itu artinya, grafiknya berbelok di titik itu, bisa jadi sebagai titik tertinggi atau terendah. Nah, titik kedua (2,3) adalah bantuan untuk mengunci bentuk akhir persamaannya. Dengan dua petunjuk ini, kita bisa menyusun cerita lengkap tentang bentuk kurva yang dimaksud, mulai dari bagaimana ia terbuka hingga di mana ia memotong sumbu-y.
Memahami Konsep Dasar Fungsi Kuadrat dan Titik Balik
Sebelum kita masuk ke soal, mari kita sepakati dulu bahasanya. Fungsi kuadrat itu ibarat resep dasar untuk membuat parabola, garis lengkung yang smooth itu. Bentuk umumnya adalah f(x) = ax² + bx + c. Di sini, si a, b, dan c adalah bumbu rahasianya. Koefisien a itu paling berkuasa; dia menentukan apakah parabola membuka ke atas (senyum) jika a > 0, atau ke bawah (cemberut) jika a < 0. Sementara b dan c lebih banyak urusannya dengan posisi grafik di bidang koordinat.
Nah, setiap parabola punya satu titik istimewa yang namanya titik balik atau titik puncak. Ini bisa jadi titik tertinggi (maksimum) atau terendah (minimum). Keajaibannya, kita bisa menulis ulang fungsi kuadrat itu dalam bentuk yang langsung memamerkan koordinat titik baliknya, yaitu bentuk f(x) = a(x – h)² + k. Di sini, pasangan (h, k) bukanlah rahasia lagi—itulah persisnya koordinat titik balik. Jadi, begitu kita tahu titik baliknya, sebagian besar pekerjaan kita sudah selesai.
Pengaruh Nilai ‘a’ Terhadap Wajah Parabola, Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1, 4) serta melalui titik (2, 3) adalah
Anggap titik balik (h, k) sudah fixed, misalnya di (1,4). Peran si ‘a’ setelah itu adalah mendandani parabola tersebut. Dia yang menentukan ekspresi dan postur tubuh grafik. Berikut adalah tabel yang merangkum pengaruhnya secara jelas.
| Nilai ‘a’ | Arah Bukaan | Lebar Grafik | Keterkaitan Titik Balik |
|---|---|---|---|
| a > 0 (contoh: a=2) | Terbuka ke Atas | Semakin besar |a|, semakin sempit | Titik Balik adalah titik Minimum |
| a < 0 (contoh: a=-1) | Terbuka ke Bawah | Semakin besar |a|, semakin sempit | Titik Balik adalah titik Maksimum |
| |a| kecil (contoh: a=0.5) | Mengikuti tanda a | Lebar, “gemuk” | Perubahan nilai fungsi di sekitar titik balik lebih landai |
| |a| besar (contoh: a=-3) | Mengikuti tanda a | Sempit, “ramping” | Perubahan nilai fungsi di sekitar titik balik lebih curam |
Menyusun Persamaan Awal dari Data Titik Balik
Source: gauthmath.com
Sekarang kita punya data spesial: titik balik (1, 4). Ini adalah kunci utama. Langsung saja kita pasang ke dalam bentuk vertex yang sudah kita bahas. Artinya, h = 1 dan k = 4. Dengan begitu, persamaan awal kita langsung terbentuk:
f(x) = a(x – 1)² + 4
Dalam persamaan ini, variabel yang sudah kita ketahui adalah h dan k. Satu-satunya bumbu yang masih misteri adalah si koefisien a. Dia belum bisa kita tentukan hanya dari titik balik. Kita butuh satu titik tambahan yang dilalui grafik untuk mengungkap identitas ‘a’ ini.
Sebagai contoh lain, jika suatu grafik mempunyai titik balik di (-2, 5), maka tanpa pikir panjang, persamaan awalnya adalah f(x) = a(x + 2)² +
5. Perhatikan bahwa (x – (-2)) berubah menjadi (x + 2). Prinsipnya tetap sama: koordinat titik balik langsung masuk ke rumus.
Mencari Nilai Koefisien ‘a’ Menggunakan Titik Lain
Untungnya, soal juga memberikan kita titik lain: (2, 3). Titik ini adalah petunjuk terakhir untuk menguak misteri nilai ‘a’. Artinya, ketika x = 2, maka nilai f(x) pasti sama dengan 3. Kita substitusikan informasi ini ke dalam persamaan awal kita.
Proses substitusinya berjalan seperti ini:
f(2) = a(2 – 1)² + 4
- = a(1)² + 4
- = a(1) + 4
- = a + 4
Sekarang kita dapat persamaan linear sederhana. Untuk menyelesaikannya, kita pindahkan 4 ke ruas kiri:
- – 4 = a
- 1 = a
Jadi, nilai a = -1. Coba kita bayangkan ilustrasinya: Grafik kita punya puncak di (1,4). Karena a negatif, parabola itu membuka ke bawah. Lalu, titik (2,3) berada di sebelah kanan puncak dan sedikit lebih rendah. Ini sangat masuk akal karena setelah melewati titik puncak yang maksimum, grafik akan turun perlahan.
Titik (2,3) adalah salah satu titik dalam fase penurunan tersebut.
Merumuskan Persamaan Akhir dalam Berbagai Bentuk
Dengan a = -1 terungkap, kita bisa menulis persamaan akhir dalam bentuk vertex yang lengkap:
f(x) = -1(x – 1)² + 4 atau f(x) = -(x – 1)² + 4
Bentuk ini sudah sangat jelas menunjukkan titik baliknya. Namun, kadang kita perlu bentuk umum f(x) = ax² + bx + c. Mari kita kembangkan:
f(x) = -(x – 1)² + 4
f(x) = -(x²2x + 1) + 4
Mencari persamaan grafik fungsi kuadrat dengan titik balik (1, 4) dan melalui (2, 3) itu seperti teka-teki yang seru, lho. Prosesnya mirip dengan nalar yang kita pakai untuk mengurai pola, misalnya saat mengerjakan soal Diketahui barisan geometri dengan suku ke-3 = 27 dan suku ke-5 = 243. Tentukanlah: a. Rasionya b. Suku pertamanya c.
Rumus suku ke-n. Setelah paham konsep dasarnya, kamu bisa terapkan rumus titik puncak dan substitusi titik untuk menemukan persamaan kuadrat yang tepat itu.
f(x) = -x² + 2x – 1 + 4
f(x) = -x² + 2x + 3
Kedua bentuk ini punya kelebihan dan kegunaannya masing-masing. Memilih bentuk yang tepat seringkali mempermudah analisis.
| Bentuk Persamaan | Kelebihan | Kekurangan | Paling Cocok Untuk |
|---|---|---|---|
| Vertex: f(x)=a(x-h)²+k | Langsung menunjukkan titik balik (h,k). Mudah melihat transformasi grafik. Paling cepat untuk menggambar sketsa. | Tidak langsung menunjukkan perpotongan dengan sumbu Y. Perhitungan akar-akar (jika perlu) sedikit lebih rumit. | Analisis titik optimum, membuat sketsa cepat, soal yang melibatkan titik puncak. |
| Umum: f(x)=ax²+bx+c | Langsung menunjukkan perpotongan sumbu Y (yaitu c). Lebih mudah digunakan dalam rumus abc mencari akar-akar. Bentuk yang paling umum dalam banyak konteks. | Titik balik tidak langsung terlihat, harus dihitung dengan rumus h=-b/2a. | Mencari akar-akar persamaan, integrasi dengan sistem persamaan lain, ketika sumbu Y menjadi fokus. |
Verifikasi dan Interpretasi Hasil Akhir
Jangan langsung percaya, mari kita verifikasi. Apakah persamaan f(x) = -x² + 2x + 3 benar-benar melalui (2,3) dan berpusat di (1,4)?
Untuk titik (2,3): f(2) = -(2)² + 2*(2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3. Cocok.
Untuk titik balik (1,4): Kita hitung f(1) = -(1)² + 2*(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4. Cocok. Koordinat x titik balik juga bisa dicek dengan rumus h = -b/(2a) = -2/(2*(-1)) = -2/(-2) = 1.
Semua konfirmasi berhasil.
Sekarang, apa saja karakteristik grafik ini?
Nah, kalau lagi nyari persamaan grafik fungsi kuadrat yang titik baliknya di (1, 4) dan lewat titik (2, 3), pasti lagi main-main sama vertex form, ya? Teknik manipulasi aljabar kayak gini tuh dasarnya mirip banget sama metode Tentukan akar persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapi kuadrat sempurna. x^2 + 4x – 12 = 0. Setelah kamu paham konsep itu, balik lagi deh ke soal awal; menyusun persamaan dari titik puncak jadi lebih mudah karena logika penyelesaiannya udah nyantol di kepala.
- Karena a = -1 (negatif), grafik berbentuk parabola yang membuka ke bawah.
- Titik balik (1,4) adalah titik maksimum. Nilai maksimum fungsi ini adalah 4.
- Perpotongan dengan sumbu Y didapat dari nilai c, yaitu 3. Artinya, grafik memotong sumbu Y di titik (0, 3).
Secara ringkas, langkah-langkah sistematis untuk menyelesaikan masalah seperti ini adalah:
- Tulis persamaan dalam bentuk vertex f(x) = a(x – h)² + k menggunakan koordinat titik balik (h, k).
- Substitusikan koordinat titik lain yang diketahui (selain titik balik) ke dalam persamaan untuk mendapatkan sebuah persamaan linear dalam variabel a.
- Selesaikan persamaan linear tersebut untuk menemukan nilai a yang spesifik.
- Tuliskan persamaan akhir dalam bentuk vertex yang lengkap.
- Jika diperlukan, kembangkan persamaan tersebut ke dalam bentuk umum f(x) = ax² + bx + c.
- Lakukan verifikasi dengan mensubstitusikan titik-titik yang diketahui ke dalam persamaan akhir untuk memastikan kebenarannya.
Pemungkas: Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat Yang Mempunyai Titik Balik (1, 4) Serta Melalui Titik (2, 3) Adalah
Jadi, begitulah ceritanya. Dari sebuah titik balik dan satu titik tambahan, kita berhasil merajut persamaan lengkapnya: f(x) =
-(x – 1)² + 4 atau f(x) = -x² + 2x +
3. Prosesnya mengajarkan bahwa matematika seringkali soal menyusun puzzle; semua potongan informasi yang ada harus dipasang pada tempatnya. Hasil akhirnya bukan cuma sekadar rumus, tapi sebuah gambaran utuh tentang sebuah parabola yang punya karakter spesifik: ia sedih karena terbuka ke bawah dengan nilai maksimum 4 di puncaknya.
FAQ dan Informasi Bermanfaat
Apakah hanya ada satu fungsi kuadrat yang memenuhi kondisi titik balik (1,4) dan melalui (2,3)?
Ya, untuk titik balik yang sudah tetap, nilai koefisien ‘a’ yang menentukan “cembung atau cekung” dan lebarnya grafik akan terikat secara unik oleh titik lain yang dilalui. Jadi, hanya ada satu fungsi kuadrat tepat yang memenuhi kedua syarat tersebut.
Bagaimana jika titik yang diberikan bukan (2,3) melainkan titik baliknya sendiri?
Jika titik yang diberikan sama dengan titik balik, maka informasi itu redundan (berulang) dan tidak cukup untuk menentukan nilai ‘a’. Kita membutuhkan titik lain selain titik balik untuk menemukan persamaan yang spesifik.
Bisakah soal ini diselesaikan dengan bentuk umum f(x)=ax²+bx+c langsung?
Bisa, tapi lebih rumit. Kita harus memanfaatkan rumus koordinat titik puncak h = -b/2a dan k = f(h) untuk membuat sistem persamaan. Metode bentuk vertex f(x)=a(x-h)²+k jauh lebih efisien karena langsung memasukkan informasi titik balik.
Apa arti nilai ‘a = -1’ yang didapat dari perhitungan?
Nilai a = -1 menandakan parabola terbuka ke bawah (seperti gunung terbalik), dan karena nilai absolutnya 1, kurvanya memiliki “kecepungan” yang standar—tidak terlalu melebar maupun menyempit.
Langkah pertama apa yang harus dilakukan jika bertemu soal serupa dengan angka berbeda?
Langsung tulis bentuk vertex: f(x) = a(x – [h])² + [k], di mana (h,k) adalah titik balik. Lalu, substitusi koordinat titik lain yang diketahui untuk mencari nilai ‘a’.
