Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2 adalah teka-teki matematika yang klasik namun selalu menarik untuk diutak-atik. Bayangkan kamu punya petunjuk tentang puncak tertendah sebuah parabola dan satu titik lain di sisinya, lalu tugasmu adalah merekonstruksi seluruh persamaannya. Seru, kan? Ini seperti menyusun puzzle dari kepingan informasi yang terbatas, di mana logika dan aljabar menjadi alat utamanya.
Nah, dalam dunia fungsi kuadrat, informasi tentang titik minimum beserta satu titik lain yang dilaluinya sebenarnya sudah lebih dari cukup untuk mengungkap wajah lengkap si fungsi. Kita akan mulai dari bentuk umum, menyusun sistem persamaan dari dua petunjuk tadi, dan akhirnya menemukan rumus ajaib yang memenuhi semua syarat. Prosesnya tidak serumit kelihatannya, asal kita teliti dan mengikuti langkah-langkah yang sistematis.
Memahami Permasalahan dan Konsep Dasar: Fungsi Kuadrat Yang Mempunyai Nilai Minimum 2 Untuk X = 1 Dan Mempunyai Nilai 3 Untuk X = 2 Adalah
Sebelum kita terjun ke dalam perhitungan, mari kita pahami dulu apa yang sebenarnya diminta soal ini. Kita sedang mencari sosok misterius, yaitu sebuah fungsi kuadrat, yang karakternya diungkapkan lewat dua petunjuk spesifik. Petunjuk pertama, “mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1”, itu artinya grafik fungsi ini memiliki titik puncak paling bawah (minimum) tepat di koordinat (1, 2). Dalam bahasa matematika, titik (1,2) adalah titik balik minimum atau vertex dari parabola tersebut.
Ini sekaligus memberi tahu kita bahwa sumbu simetri grafiknya adalah garis vertikal x = 1.
Petunjuk kedua, “mempunyai nilai 3 untuk x = 2”, lebih sederhana: ini memberitahu kita satu titik lain yang dilalui grafik, yaitu (2, 3). Dengan dua titik ini—satu titik puncak dan satu titik biasa—kita punya informasi yang cukup untuk mengungkap identitas lengkap fungsi kuadrat yang dimaksud.
Karakteristik Fungsi Minimum dan Maksimum
Fungsi kuadrat bisa membentuk parabola yang terbuka ke atas (seperti senyuman) atau ke bawah (seperti cemberut). Arah bukaan ini ditentukan oleh tanda koefisien a dari suku x². Jika a positif, parabola terbuka ke atas dan memiliki titik minimum. Sebaliknya, jika a negatif, parabola terbuka ke bawah dan memiliki titik maksimum. Dalam kasus kita, karena disebutkan “nilai minimum”, kita sudah bisa memastikan bahwa koefisien a pada fungsi nanti pasti bernilai positif.
Menentukan Bentuk Umum dan Persamaan
Untuk memecahkan misteri ini dengan cerdas, kita perlu memilih bentuk umum fungsi kuadrat yang paling efisien. Karena kita sudah tahu titik minimumnya (1, 2), bentuk vertex atau bentuk puncak adalah senjata terbaik. Bentuk ini dituliskan sebagai:
f(x) = a(x – h)² + k
Di mana (h, k) adalah koordinat titik puncak. Dalam soal kita, h = 1 dan k =
2. Jadi, bentuk fungsinya sementara menjadi f(x) = a(x – 1)² +
2. Sekarang, kita hanya punya satu misteri yang tersisa: nilai si a.
Di sinilah petunjuk kedua, titik (2,3), berperan. Kita substitusikan titik ini ke dalam bentuk tadi untuk menemukan nilai a. Informasi dari kedua kondisi dapat diringkas untuk memudahkan pemahaman.
| Nilai x | Nilai f(x) | Jenis Informasi | Arti dalam Bentuk Fungsi |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | Titik Minimum (Vertex) | Menentukan h dan k dalam bentuk f(x)=a(x-h)²+k |
| 2 | 3 | Titik yang Dilalui Grafik | Digunakan untuk menyelesaikan nilai koefisien a |
Menyusun dan Menyelesaikan Sistem Persamaan
Source: z-dn.net
Proses substitusi titik (2,3) ke dalam bentuk vertex berjalan sangat langsung. Kita mulai dari f(x) = a(x – 1)² + 2, lalu masukkan x=2 dan f(x)=3.
Nah, buat yang lagi berusaha mencari rumus fungsi kuadrat dengan nilai minimum 2 saat x=1 dan bernilai 3 saat x=2, ini soal yang asyik untuk diutak-atik. Proses mencari pola dari data terbatas ini mirip dengan menganalisis data demografi, misalnya seperti yang tercantum dalam Berdasarkan data BPS tahun 2010 (www.bps.go.id) jumlah penduduk pulau Jawa mencapai 130 juta jiwa (melalui proses pembulatan).
Sedangkan luas pulau. Dari data-data spesifik itu, kita bisa menyusun gambaran besar. Begitu pula dengan dua titik kunci pada fungsi kuadrat tadi, kita bisa menyusun persamaannya dengan pasti dan menemukan jawabannya.
Langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
- Substitusi: 3 = a(2 – 1)² + 2
- Sederhanakan: 3 = a(1)² + 2 → 3 = a + 2
- Selesaikan untuk a: a = 3 – 2 → a = 1
Kunci dari penyelesaian ini adalah penggunaan bentuk vertex yang langsung mengakomodasi titik puncak. Dengan begitu, sistem persamaan yang biasanya melibatkan tiga variabel (a, b, c) direduksi menjadi hanya satu persamaan dengan satu variabel (a), yang membuat perhitungan menjadi jauh lebih sederhana dan minim kesalahan.
Merumuskan Fungsi Kuadrat Final dan Verifikasi
Dengan ditemukannya a = 1, kita sudah mendapatkan semua komponen untuk membangun fungsi final. Substitusikan a, h, dan k ke dalam bentuk vertex: f(x) = 1*(x – 1)² +
2. Jadi, fungsi kuadrat yang kita cari adalah:
f(x) = (x – 1)² + 2
Untuk lebih umum, kita bisa juga menguraikannya ke dalam bentuk standar f(x) = ax² + bx + c. Mari kita jabarkan: f(x) = (x²
-2x + 1) + 2 = x²
-2x +
3. Dari sini kita peroleh nilai koefisien: a = 1, b = -2, dan c = 3.
Pembuktian Sifat Minimum dan Verifikasi Titik
Pertama, kita buktikan bahwa fungsi ini memang memiliki nilai minimum 2 di x = 1. Karena a = 1 (positif), parabola terbuka ke atas, yang secara otomatis menjamin adanya titik minimum. Nilai minimumnya adalah f(1) = (1 – 1)² + 2 = 0 + 2 = 2. Terbukti.
Kedua, kita verifikasi titik (2,3). Hitung f(2) = (2 – 1)² + 2 = 1² + 2 = 1 + 2 = 3. Hasilnya sesuai dengan petunjuk soal. Dua verifikasi ini mengonfirmasi bahwa fungsi f(x) = (x-1)² + 2 adalah jawaban yang tepat dan akurat.
Analisis Grafik dan Sifat-Sifat Fungsi
Dengan fungsi final di tangan, kita bisa membayangkan atau menggambarkan sketsa grafiknya. Parabola ini terbuka ke atas dengan titik puncak minimum di (1, 2). Titik (2, 3) terletak di sebelah kanan puncak. Karena simetris, pasti ada titik lain di sebelah kiri puncak yang memiliki nilai y yang sama dengan titik (2,3), yaitu titik (0, 3). Grafik akan memotong sumbu-Y saat x=0, yaitu di titik (0, 3).
Sumbu Simetri dan Diskriminan, Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2 adalah
Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris, dan ia selalu melalui titik puncak. Jadi, sumbu simetrinya adalah x = 1. Diskriminan (D = b²
-4ac) dari fungsi f(x)= x²
-2x + 3 adalah D = (-2)²
-4*1*3 = 4 – 12 = -8. Nilai diskriminan yang negatif mengindikasikan bahwa grafik fungsi ini tidak memotong sumbu-X sama sekali; parabola seluruhnya berada di atas sumbu-X karena nilai minimumnya saja sudah 2.
Pengaruh koefisien a sangat menentukan. Dalam fungsi ini, a=1. Jika nilai a kita ubah menjadi lebih besar dari 1, misalnya 2, parabola akan menjadi lebih “ramping” atau tajam. Sebaliknya, jika a kita pilih antara 0 dan 1, misalnya 0.5, parabola akan menjadi lebih “gemuk” atau landai. Namun, selama a tetap positif, titik (1,2) akan tetap menjadi titik minimum.
Penerapan dan Contoh Variasi Soal Serupa
Pola soal seperti ini sangat umum. Misalnya, ada soal yang menyatakan: “Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum 5 untuk x = -2 dan melalui titik (0, 1). Tentukan fungsi tersebut.” Pendekatannya serupa, hanya karakter puncaknya yang berbeda (maksimum, bukan minimum).
Perbedaan utama terletak pada langkah pertama. Karena diketahui titik maksimum (-2, 5), kita tetap gunakan bentuk vertex: f(x) = a(x – (-2))² + 5 = a(x + 2)² +
5. Karena ini maksimum, nilai a yang kita cari nanti pasti negatif. Substitusi titik (0,1) untuk mencari a: 1 = a(0+2)² + 5 → 1 = 4a + 5 → 4a = -4 → a = -1.
Jadi fungsinya f(x) = -1(x+2)² + 5 = -x²
-4x + 1.
Dari berbagai contoh, dapat dirumuskan langkah-langkah universal yang sistematis:
- Identifikasi koordinat titik puncak (h, k) dari pernyataan nilai maksimum/minimum.
- Tulis fungsi dalam bentuk vertex: f(x) = a(x – h)² + k.
- Gunakan titik lain yang diketahui (selain puncak) untuk disubstitusikan ke dalam bentuk tersebut.
- Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai koefisien a.
- Tulis fungsi final dalam bentuk vertex atau uraikan ke bentuk standar jika diperlukan.
- Lakukan verifikasi cepat dengan menghitung nilai fungsi di titik puncak dan titik lain yang diketahui.
Simpulan Akhir
Jadi, begitulah ceritanya. Dari dua petunjuk sederhana—sebuah titik minimum dan sebuah titik biasa—kita berhasil membongkar identitas lengkap sebuah fungsi kuadrat. Proses ini mengajarkan bahwa matematika seringkali soal menyambung titik, baik secara harfiah maupun figuratif. Dengan pemahaman yang baik tentang sifat parabola dan ketelitian dalam perhitungan aljabar, kamu bisa menyelesaikan berbagai variasi soal serupa. Coba praktikkan dengan angka yang berbeda, dan lihat bagaimana parabola itu berubah bentuk mengikuti aturan mainnya.
FAQ Umum
Apakah fungsi ini pasti membuka ke atas?
Ya, pasti. Karena fungsi memiliki nilai
-minimum*, maka koefisien ‘a’ (angka di depan x²) harus bernilai positif, yang membuat grafik parabola membuka ke atas.
Nah, kalau lagi bingung cari fungsi kuadrat yang punya nilai minimum 2 saat x=1 dan bernilai 3 untuk x=2, kamu perlu paham dulu konsep dasar menyusun persamaannya. Proses pencarian akar-akarnya mirip kayak saat kamu Tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat x^2 + 7x + 12 = 0 dengan menggunakan rumus.. Setelah menguasai teknik itu, kamu bisa balik lagi ke soal awal dan menyusun fungsi kuadrat yang tepat dengan lebih percaya diri.
Bagaimana jika soalnya memberi titik maksimum, bukan minimum?
Langkahnya sama persis, hanya bentuk umum yang digunakan sedikit berbeda. Untuk titik maksimum (p, q), bentuk umumnya adalah f(x) = a(x – p)² + q, dengan nilai ‘a’ yang akan ditemukan pasti negatif.
Bisakah kita mencari fungsi ini jika hanya diberi titik minimum saja?
Tidak bisa. Informasi titik minimum saja hanya memberikan satu persamaan. Kita butuh setidaknya satu titik lain untuk mendapatkan persamaan kedua, agar sistem persamaan dapat diselesaikan untuk menemukan nilai koefisien ‘a’.
Apa arti praktis dari menemukan fungsi kuadrat seperti ini?
Ini sangat berguna dalam pemodelan, misalnya memperkirakan biaya minimum produksi, lintasan proyektil, atau bentuk lengkungan jembatan, ketika kita hanya mengetahui data titik terendah/tertinggi dan satu kondisi tambahan.
