Garis-garis berikut adalah garis yang melalui titik O(0,0). (i) x + y = 0 (ii) x – y = 0 (iii) 3x – 2y = 0 (iv) x + y + 4 = 0 Pernyataan yang benar adalah soal yang sering bikin kita pause sejenak. Dari keempat opsi itu, mana sih yang beneran melewati titik pusat (0,0) alias titik nol-nol?
Yuk, kita bedah bareng-bareng biar nggak sekadar nebak, tapi paham polanya sampai ke akar-akarnya.
Sebelum masuk ke pembahasan, coba deh kita inget-inget lagi konsep dasarnya. Garis yang melewati titik asal atau titik pusat koordinat punya ciri khas yang unik. Bentuk umumnya biasanya tanpa konstanta bebas, cuma ada variabel x dan y yang diatur oleh koefisiennya. Nah, kalau ada angka tambahan kayak +4 atau -5, itu sudah pertanda garisnya bergeser dan nggak akan nyemplung ke titik (0,0).
Sekarang, mari kita uji satu per satu dengan cara yang simpel tapi jitu.
Garis yang Melintasi Titik Nol: Mengenal Konsep dan Aplikasinya
Dalam dunia koordinat kartesius, ada sekelompok garis yang punya sifat khusus: mereka semua melewati titik pusat, titik O(0,0). Bayangkan titik nol ini sebagai jantung dari bidang koordinat. Garis-garis yang melalui jantung ini punya karakter yang unik dan persamaan yang lebih sederhana dibandingkan garis lainnya. Memahami kelompok garis ini adalah kunci untuk membaca banyak pola matematika, dari yang paling dasar hingga aplikasi dalam grafik fungsi.
Mari kita selami lebih dalam.
Secara umum, persamaan garis yang selalu melalui titik asal O(0,0) memiliki bentuk Ax + By = 0, di mana A dan B adalah konstanta (bilangan real) yang tidak sama dengan nol secara bersamaan. Rahasia kenapa garis ini selalu lewat titik nol ada pada konstanta C-nya yang bernilai nol. Contoh sederhana lainnya selain dari soal adalah persamaan 2x + 5y = 0 atau y = -3x. Intinya, jika tidak ada angka konstanta yang berdiri sendiri (selain suku x dan y), maka garis tersebut pasti memotong titik (0,0).
Perbandingan Garis Melalui dan Tidak Melalui Titik Asal
Untuk memudahkan pemahaman, mari kita lihat perbedaan mendasar antara garis yang melalui titik O(0,0) dan yang tidak. Perbedaan ini terlihat jelas dari bentuk persamaannya dan perilaku grafiknya.
| Aspek | Garis Melalui O(0,0) | Garis Tidak Melalui O(0,0) | Ilustrasi Visual |
|---|---|---|---|
| Bentuk Umum | Ax + By = 0 | Ax + By + C = 0, dengan C ≠ 0 | Garis pertama selalu memotong titik pusat, garis kedua bergeser. |
| Konstanta (C) | C = 0 | C ≠ 0 | Nilai C menentukan pergeseran garis dari titik asal. |
| Uji Titik (0,0) | Selalu memenuhi persamaan. | Tidak memenuhi persamaan. | Substitusi (0,0) ke persamaan akan menghasilkan pernyataan benar untuk yang pertama. |
| Contoh Sederhana | y = 2x | y = 2x + 5 | Garis pertama melewati titik nol, garis kedua memotong sumbu y di titik (0,5). |
Menguji Garis-Garis dari Soal
Sekarang, kita terapkan konsep di atas untuk menganalisis keempat persamaan yang diberikan. Cara paling langsung untuk mengecek apakah sebuah garis melalui titik (0,0) adalah dengan melakukan substitusi. Jika koordinat (0,0) memenuhi persamaan (menghasilkan pernyataan matematika yang benar), maka garis tersebut melalui titik asal.
Identifikasi dan Verifikasi Persamaan
Source: kompas.com
Mari kita uji satu per satu dengan mensubstitusikan x = 0 dan y = 0 ke dalam setiap persamaan.
- (i) x + y = 0
Substitusi: 0 + 0 = 0 → 0 = 0 (Benar).
Kesimpulan: Garis ini melalui titik O(0,0). - (ii) x – y = 0
Substitusi: 0 – 0 = 0 → 0 = 0 (Benar).
Kesimpulan: Garis ini melalui titik O(0,0). - (iii) 3x – 2y = 0
Substitusi: 3(0)
-2(0) = 0 → 0 – 0 = 0 (Benar).
Kesimpulan: Garis ini melalui titik O(0,0). - (iv) x + y + 4 = 0
Substitusi: 0 + 0 + 4 = 0 → 4 = 0 (Salah).
Kesimpulan: Garis ini TIDAK melalui titik O(0,0).
Dari analisis ini, dapat disimpulkan bahwa persamaan (i), (ii), dan (iii) adalah garis yang melalui titik O(0,0), sedangkan persamaan (iv) bukan.
Teknik Menggambar dan Visualisasi Garis
Memvisualisasikan garis di bidang koordinat membantu intuisi kita. Untuk menggambar garis seperti x + y = 0 atau x – y = 0, kita tidak perlu repot mencari banyak titik. Cukup dua titik, dan titik pertama yang pasti adalah (0,0). Titik kedua bisa dicari dengan memilih nilai x sembarang, lalu mencari nilai y-nya.
Langkah Praktis Menggambar
Misal untuk x + y = 0 (atau y = -x). Titik pertama adalah (0,0). Pilih x = 2, maka y = -2. Jadi titik kedua adalah (2, -2). Tarik garis lurus melalui (0,0) dan (2,-2).
Garis ini akan membagi sudut kuadran II dan IV. Untuk x – y = 0 (atau y = x), titik pertama (0,0). Pilih x = 1, maka y = 1. Titik kedua (1,1). Garis ini membagi sudut kuadran I dan III.
Nah, kalau kita bahas soal garis yang lewat titik O(0,0), intinya sih persamaan harus memenuhi 0=0 saat x dan y diganti nol. Dari pilihan itu, cuma (i), (ii), dan (iii) yang bener, ya. Konsep substitusi nilai ini mirip kayak nyari nilai konstanta dalam fungsi, lho. Misalnya, buat cari nilai n pada Fungsi g ditentukan dengan rumus g(x) = 3x – 2n.
Jika g (4) = 6 maka nilai n = , prinsip dasarnya sama: substitusi lalu selesaikan. Jadi, kembali ke soal garis tadi, pemahaman dasar substitusi titik ini kunci banget buat nemuin mana garis yang benar-benar melalui titik pangkal.
Jika keempat garis dari soal digambar dalam satu bidang koordinat yang sama, kita akan melihat tiga garis (i, ii, iii) yang seperti jari-jari roda yang menyebar dari pusat (0,0). Garis (i) dan (ii) saling tegak lurus, membentuk pola “X”. Garis (iii) akan memiliki kemiringan yang berbeda, tetapi tetap bertumpu pada titik nol. Sementara itu, garis (iv) yaitu x + y + 4 = 0 (atau y = -x – 4) akan tampak sebagai garis yang sejajar dengan garis (i) namun tergeser jauh ke bawah, memotong sumbu y di (0, -4) dan sumbu x di (-4, 0).
Inilah bukti visual bahwa konstanta “+4” bertindak sebagai penggeser yang menjauhkan garis dari titik asal.
Dasar Matematis di Balik Persamaan Garis
Mengapa bentuk Ax + By = 0 selalu menghasilkan garis yang melalui titik asal? Jawabannya terletak pada sifat linearitas dan konsep himpunan penyelesaian. Persamaan linear dua variabel menggambarkan hubungan antara x dan y. Titik (0,0) selalu menjadi solusi untuk persamaan berbentuk Ax + By = 0 karena berapapun nilai A dan B, hasil perhitungan A*0 + B*0 akan selalu 0, yang memenuhi persamaan.
Peran Konstanta C dalam Persamaan Garis
Bandingkan dua bentuk umum ini:
Ax + By = 0
Ax + By + C = 0 (dengan C ≠ 0)Nah, soal tentang garis yang melewati titik O(0,0) itu seru banget buat diulik. Untuk bisa analisis dengan jitu, kamu perlu paham cara menggambarkan daerah solusi pertidaksamaan, kayak contoh praktis dalam panduan Gambarlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan Linear berikut 3x + 4y >= 12 ini. Setelah punya skill itu, baru deh kamu bisa dengan yakin nentuin mana dari garis-garis x+y=0, x-y=0, 3x-2y=0, atau x+y+4=0 yang benar-benar melintasi titik pusat (0,0).
Perbedaannya hanya pada keberadaan konstanta C. Konstanta C inilah yang menentukan apakah garis tersebut “dipaksa” untuk melewati titik asal atau tidak. Jika C = 0, tidak ada tuntutan tambahan; titik (0,0) otomatis cocok. Jika C ≠ 0, titik (0,0) justru akan menghasilkan nilai C (bukan nol) ketika disubstitusikan, sehingga tidak memenuhi persamaan. Garis itu pun akan bergeser, sejajar dengan garis Ax + By = 0.
| Contoh Persamaan | Nilai C | Melalui (0,0)? | Konsekuensi Grafik |
|---|---|---|---|
| 5x – 3y = 0 | 0 | Ya | Memotong titik pusat. |
| 5x – 3y + 2 = 0 | 2 | Tidak | Sejajar dengan garis di atas, tetapi bergeser. |
| y = 7x | 0 (dalam bentuk implisit: 7x – y = 0) | Ya | Gradien 7, melalui titik nol. |
| y = 7x – 1 | -1 (dalam bentuk implisit: 7x – y – 1 = 0) | Tidak | Gradien sama (7), tetapi memotong sumbu y di (0, -1). |
Latihan Soal dan Prosedur Penyelesaian
Untuk mengasah pemahaman, coba kerjakan dua soal latihan berikut. Ingat prinsip utamanya: substitusikan titik (0,0) ke dalam persamaan.
Contoh Soal Latihan, Garis-garis berikut adalah garis yang melalui titik O(0,0). (i) x + y = 0 (ii) x – y = 0 (iii) 3x – 2y = 0 (iv) x + y + 4 = 0 Pernyataan yang benar ad
Manakah dari persamaan garis berikut yang melalui titik asal O(0,0)?
- 2y – 6x = 0
- 4x + 2y – 8 = 0
Prosedur Sistematis Identifikasi
Berikut adalah langkah-langkah baku yang bisa kamu ikuti untuk menyelesaikan soal jenis ini.
Langkah 1: Tuliskan persamaan garis yang diberikan.
Langkah 2: Substitusikan nilai x = 0 dan y = 0 (koordinat titik O) ke dalam persamaan.
Langkah 3: Sederhanakan perhitungan pada sisi kiri dan kanan persamaan.
Langkah 4: Ambil kesimpulan. Jika hasil substitusi adalah pernyataan matematika yang benar (contoh: 0=0, 5=5), maka garis melalui O(0,0).Jika hasilnya salah (contoh: 0=5, 3=0), maka garis tidak melalui O(0,0).
Demonstrasi Penyelesaian Soal Latihan
Mari kita selesaikan soal latihan di atas dengan prosedur tersebut.
Soal 1: 2y – 6x = 0
Substitusi (0,0): 2(0)
-6(0) = 0 → 0 – 0 = 0 → 0 = 0 (Benar).
Interpretasi: Pernyataan 0=0 adalah benar. Jadi, garis 2y – 6x = 0 melalui titik O(0,0).
Soal 2: 4x + 2y – 8 = 0
Substitusi (0,0): 4(0) + 2(0)
-8 = 0 → 0 + 0 – 8 = 0 → -8 = 0 (Salah).
Interpretasi: Pernyataan -8=0 adalah salah. Jadi, garis 4x + 2y – 8 = 0 TIDAK melalui titik O(0,0).
Kesimpulan: Garis-garis Berikut Adalah Garis Yang Melalui Titik O(0,0). (i) X + Y = 0 (ii) X – Y = 0 (iii) 3x – 2y = 0 (iv) X + Y + 4 = 0 Pernyataan Yang Benar Ad
Jadi, setelah kita telusuri, jawaban untuk soal ini adalah garis (i), (ii), dan (iii). Sementara garis (iv) dengan congkaknya membawa konstanta +4, membuatnya gagal memenuhi syarat untuk lewat titik (0,0). Intinya, kunci utamanya ada di bentuk persamaan. Kalau kamu nemuin persamaan garis berbentuk Ax + By = 0, tanpa C, bisa dipastikan itu adalah tiket gratis untuk melewati titik pusat.
Selanjutnya, coba terapkan logika ini ke soal-soal lain, dan lihat bagaimana pemahaman ini bikin matematika terasa lebih masuk akal dan jauh dari kesan menyeramkan.
Panduan Tanya Jawab
Apakah semua garis yang melalui (0,0) pasti memiliki gradien?
Ya, semua garis lurus (kecuali garis vertikal) yang melalui (0,0) memiliki gradien yang dapat dihitung dari koefisien x dan y dalam persamaan Ax + By = 0, yaitu m = -A/B.
Bagaimana cara cepat membedakan tanpa mensubstitusi titik (0,0)?
Lihat konstanta (C) dalam persamaan bentuk Ax + By + C = 0. Jika C = 0, maka garis pasti melalui (0,0). Jika C bukan nol (seperti +4 pada soal iv), maka tidak melalui titik asal.
Apakah garis x = 0 dan y = 0 termasuk garis yang melalui titik O(0,0)?
Sangat termasuk. Garis x = 0 (sumbu Y) dan y = 0 (sumbu X) adalah contoh paling dasar dari garis yang melalui titik asal, dan bentuk persamaannya memenuhi pola tanpa konstanta.
Mengapa dalam kehidupan nyata konsep garis melalui titik asal ini penting?
Konsep ini banyak dipakai, misalnya dalam analisis proporsionalitas langsung (seperti hubungan jarak dan waktu dengan kecepatan tetap), grafiknya selalu berupa garis lurus yang melalui titik awal (0,0).
