Diketahui persamaan kuadrat (p – 2)x^2 – 2px + 2p – 7 = 0 mempunyai dua akar yang saling berkebalikan Nilai p yang memenuhi persamaan tersebut adalah teka-teki aljabar yang bikin penasaran, bukan? Soal kayak gini tuh ibarat puzzle, di mana kita harus merangkai konsep dasar persamaan kuadrat dengan syarat khusus yang unik. Mari kita buka bersama-sama rahasia di balik angka dan variabel itu, karena sebenarnya jawabannya lebih dekat dari yang kita kira.
Inti dari soal ini adalah memahami apa artinya dua akar saling berkebalikan. Kalau ada akar bernilai m, maka akar satunya pasti 1/m. Hubungan manis ini menghasilkan persyaratan khusus pada hasil kali kedua akarnya, yang kemudian bisa kita hubungkan dengan rumus “c/a” dalam persamaan kuadrat. Dari situlah perjalanan kita untuk menguak nilai p yang valid dimulai, dengan catatan penting bahwa persamaan harus tetap kuadrat, jadi koefisien x²-nya tidak boleh hilang menjadi nol.
Konsep Dasar Akar-Akar yang Saling Berkebalikan: Diketahui Persamaan Kuadrat (p – 2)x^2 – 2px + 2p – 7 = 0 Mempunyai Dua Akar Yang Saling Berkebalikan Nilai P Yang Memenuhi Persamaan Tersebut Adalah
Sebelum kita terjun ke dalam angka dan variabel, mari pahami dulu konsep dasarnya. Dalam dunia persamaan kuadrat, ada berbagai sifat menarik dari akar-akarnya. Salah satunya adalah ketika kedua akar tersebut saling berkebalikan. Secara matematis, jika kita punya dua akar, misalnya x₁ dan x₂, mereka disebut saling berkebalikan jika hasil kalinya sama dengan satu. Atau, lebih elegannya ditulis: x₁
– x₂ = 1.
Ini berarti jika salah satu akarnya adalah 2, maka akar yang lain pasti ½.
Nah, untuk persamaan kuadrat umum, ax² + bx + c = 0, kita punya hubungan yang sangat manis antara koefisien dan akar-akarnya, yang dikenal sebagai rumus Vieta. Hasil kali akar-akar (x₁
– x₂) ternyata sama dengan c/a. Dari sini, kita bisa langsung menarik benang merah. Syarat agar dua akar saling berkebalikan adalah hasil kali akarnya =
1. Maka, dengan menggabungkan kedua konsep ini, kita mendapatkan syarat mutlak: c/a = 1.
Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas, mari kita bandingkan sifat akar berkebalikan dengan sifat-sifat akar khusus lainnya dalam tabel berikut.
| Sifat Akar | Definisi/ Hubungan | Syarat dari Rumus Vieta |
|---|---|---|
| Saling Berkebalikan | x₁ – x₂ = 1 | c/a = 1 |
| Saling Berlawanan | x₁ + x₂ = 0 | -b/a = 0 |
| Sama (Kembar) | x₁ = x₂ | Diskriminan (D) = 0 |
Menyusun Persamaan dari Kondisi yang Diketahui
Sekarang, kita terapkan konsep tadi ke persamaan spesifik kita: (p – 2)x²
-2px + (2p – 7) = 0. Langkah pertama adalah identifikasi. Kita perlu jeli melihat mana koefisien a, b, dan c. Ingat, bentuk umumnya adalah ax² + bx + c = 0.
Nah, buat cari nilai p yang bikin akar-akar persamaan (p-2)x² – 2px + 2p – 7 = 0 saling berkebalikan, konsep perkalian akar itu kuncinya. Prinsip serupa juga bisa lo temuin saat membentuk persamaan dari akar-akar yang diketahui, kayak contoh menarik tentang Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1 – akar(3) dan 1 + akar(3) adalah. Dengan memahami hubungan antar akar seperti itu, soal awalmu tentang mencari nilai p pun jadi lebih mudah diurai dan diselesaikan dengan tepat.
- Koefisien a adalah (p – 2)
- Koefisien b adalah -2p
- Koefisien c adalah (2p – 7)
Dari pembahasan sebelumnya, kunci soal ini ada pada syarat c/a =
1. Kita tinggal substitusikan nilai a dan c kita ke dalam persamaan tersebut. Maka, kita dapatkan:
(2p – 7) / (p – 2) = 1
Persamaan inilah yang akan menjadi senjata utama kita untuk mengungkap nilai si variabel p. Proses ini seperti memecahkan kode: kita punya petunjuk (sifat akar berkebalikan), dan kita terjemahkan petunjuk itu menjadi sebuah persamaan yang lebih sederhana dan bisa dipecahkan.
Menyelesaikan Persamaan untuk Mencari Nilai p
Persamaan (2p – 7) / (p – 2) = 1 terlihat sudah lebih ramah. Tapi, ada satu hal krusial yang tidak boleh kita lupakan: penyebut (p – 2) tidak boleh sama dengan nol. Mengapa? Karena jika (p – 2) = 0, maka koefisien x² menjadi nol, dan persamaan kita bukan lagi persamaan kuadrat, melainkan persamaan linear. Jadi, syarat tambahannya adalah p ≠ 2.
Dengan syarat itu di pikiran, kita selesaikan persamaannya. Kita bisa kalikan silang untuk menghilangkan bentuk pecahan. Berikut adalah rincian langkah-langkah aljabarnya.
Nah, kalau kamu lagi bingung cari nilai p dari persamaan kuadrat (p-2)x² – 2px + 2p – 7 = 0 yang akarnya saling berkebalikan, prinsip perkalian akarnya itu kunci utamanya. Soal ini mirip konsepnya dengan teknik manipulasi akar, kayak contoh soal Persamaan kuadrat 2x^2 – 3x- 4= 0 mempunyai akar-akar X1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1/x1^2 dan -1/x2^2 dan 4 adalah yang juga mainin hubungan antar akar.
Intinya, setelah paham pola hubungan akar-akar khusus, kamu pasti bisa temukan nilai p yang memenuhi dengan lebih percaya diri dan tepat.
| Uraian Langkah | Operasi Matematika | Hasil | Catatan Penting |
|---|---|---|---|
| Persamaan Awal | (2p – 7) / (p – 2) = 1 | – | Syarat: p ≠ 2 |
| Mengalikan Silang | (2p – 7) = 1
|
2p – 7 = p – 2 | Hilangkan penyebut |
| Mengelompokkan Variabel p | 2p – p = 7 – 2 | p = 5 | Selesaikan untuk p |
Kita mendapatkan satu nilai kandidat, yaitu p = 5. Nilai ini memenuhi syarat p ≠ 2, jadi sejauh ini valid. Namun, pekerjaan kita belum selesai. Sebuah nilai p yang membuat akar-akar berkebalikan juga harus memastikan bahwa akar-akar tersebut real. Untuk itu, kita perlu verifikasi.
Verifikasi Solusi yang Diperoleh
Source: co.id
Mendapatkan p = 5 itu seperti menemukan kunci yang pas. Tapi, apakah kunci itu benar-benar bisa membuka pintu? Kita coba dengan dua tes: substitusi ke persamaan awal dan pengecekan diskriminan. Diskriminan (D = b²
-4ac) harus lebih besar dari nol agar akar-akarnya real dan berbeda (karena berkebalikan biasanya menyiratkan dua akar yang berbeda, kecuali kasus khusus akar 1 dan -1).
Mari kita lakukan verifikasi secara sistematis:
- Substitusi p = 5 ke persamaan awal:
(5-2)x²
-2(5)x + 2(5)-7 = 0 → 3x²
-10x + 3 = 0. - Hitung Diskriminan (D):
D = (-10)²
-4*3*3 = 100 – 36 = 64. Karena D > 0, akar-akarnya real dan berbeda. - Cek Hasil Kali Akar menggunakan rumus c/a:
c/a = 3/3 = 1. Terbukti bahwa akar-akarnya saling berkebalikan.
Secara visual, jika kita menggambar grafik parabola dari persamaan 3x²
-10x + 3 = 0, kurva tersebut akan memotong sumbu-x di dua titik. Misalkan akar-akar itu adalah α dan β. Karena mereka berkebalikan, posisi mereka di sumbu-x akan simetris secara perkalian terhadap titik x=1. Jika satu akar berada di sebelah kiri 1 (misalnya ⅓), maka akar lainnya akan berada di sebelah kanan 1 (yaitu 3), dengan jarak perkalian yang tepat sehingga ⅓
– 3 = 1.
Aplikasi dan Contoh Soal Serupa
Pemahaman tentang sifat akar ini tidak hanya untuk satu soal. Ini adalah pola yang bisa diterapkan di banyak variasi. Strategi umumnya selalu sama: identifikasi a, b, c, terjemahkan sifat akar ke dalam hubungan Vieta (hasil kali c/a atau jumlah -b/a), selesaikan persamaan, dan jangan lupa cek syarat persamaan kuadrat (a ≠ 0) serta diskriminan.
Berikut dua contoh soal latihan untuk mengasah kemampuan:
- Persamaan kuadrat (k+1)x² + 4kx + 9 = 0 mempunyai akar-akar yang saling berkebalikan. Tentukan nilai k dan akar-akarnya.
- Diketahui persamaan 2x²12x + m = 0. Jika salah satu akarnya adalah kebalikan dari akar yang lain, hitunglah nilai m.
Untuk menyelesaikan berbagai soal dengan sifat akar khusus, kamu bisa mengikuti prosedur langkah demi langkah ini:
- Tulis persamaan dalam bentuk umum ax² + bx + c = 0 dan identifikasi a, b, c.
- Nyatakan sifat akar yang diketahui sebagai hubungan matematis (misal: x₁
– x₂ = 1 untuk berkebalikan). - Hubungkan sifat tersebut dengan rumus Vieta (x₁
– x₂ = c/a, x₁ + x₂ = -b/a). - Substitusi nilai a, b, c ke dalam hubungan Vieta tersebut, sehingga mendapatkan persamaan dalam variabel yang dicari.
- Selesaikan persamaan tersebut, dengan memperhatikan syarat a ≠ 0.
- Verifikasi solusi dengan menghitung diskriminan untuk memastikan akar-akarnya real (jika diperlukan).
Tips: Hal yang paling sering terlupakan adalah syarat bahwa persamaan harus tetap kuadrat, yaitu koefisien x² (a) tidak boleh nol. Selalu tulis dan periksa syarat ini di awal penyelesaian agar tidak mendapatkan solusi yang “palsu”.
Ringkasan Terakhir
Jadi, setelah melalui proses aljabar dan verifikasi, nilai p yang memenuhi adalah 9. Proses ini mengajarkan bahwa soal matematika seringkali bukan sekadar hitung-hitungan, tapi juga tentang logika dan pengecekan konsistensi. Jangan lupa selalu periksa syarat awalnya, yaitu (p-2) tidak boleh nol, agar bentuk persamaannya tetap kuadrat. Dengan menguasai pola penyelesaian seperti ini, berbagai soal serupa dengan sifat akar khusus—baik yang berkebalikan, berlawanan, atau lainnya—bisa kamu taklukkan dengan lebih percaya diri.
Pertanyaan Umum yang Sering Muncul
Apa yang dimaksud dengan akar yang saling berkebalikan dalam persamaan kuadrat?
Artinya, jika satu akar adalah r, maka akar lainnya adalah 1/r. Hasil kali kedua akar tersebut (r
– 1/r) akan selalu sama dengan 1.
Mengapa syarat (p – 2) ≠ 0 sangat penting dalam soal ini?
Karena jika (p – 2) = 0, maka suku x² akan hilang dan persamaan berubah menjadi persamaan linear, bukan lagi persamaan kuadrat. Padahal, konsep akar berkebalikan ini spesifik untuk persamaan kuadrat yang memiliki dua akar.
Apakah nilai p yang ditemukan selalu menghasilkan akar real?
Perlu diverifikasi. Setelah mendapatkan p, kita harus menghitung diskriminannya (D = b²
-4ac). Untuk p=9, diskriminannya positif, sehingga akar-akarnya real dan berbeda. Jika diskriminan negatif, akarnya imajiner dan tidak memenuhi syarat “akar” dalam konteks umum soal.
Bagaimana jika soalnya akar yang saling berlawanan (x1 = -x2)?
Prinsipnya sama, tapi syaratnya berubah. Untuk akar berlawanan, jumlah akarnya (x1 + x2) harus sama dengan 0. Rumus jumlah akar adalah -b/a, sehingga kita akan menyusun persamaan baru berdasarkan kondisi itu.
Apakah metode penyelesaian ini bisa dipakai untuk soal dengan koefisien selain p?
Tentu! Polanya universal. Identifikasi koefisien a, b, c, terapkan syarat khusus akar (berkebalikan: hasil kali = 1; berlawanan: jumlah = 0) ke rumus Vieta (x1*x2 = c/a atau x1+x2 = -b/a), lalu selesaikan persamaan yang didapat.
