Cari KPK dan FPB 35 serta 57 dengan Pohon Faktor, blud. Ini bukan sekadar angka-angka random, ini kunci buat ngertiin dasar matematika yang proper. Kalo lo bisa ngehack cara kerja pohon faktor ini, lo udah selangkah lebih maju buat ngejawab soal-soal yang bikin pusing tujuh keliling.
Mari kita bedah bilangan 35 dan 57 sampe ke akar-akarnya, literally. Kita bakal gunain pohon faktor buat nemuin bahan penyusun prima mereka, terus dari situ kita rangkai lagi buat dapetin si Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil. Gampang banget kalo udah tau polanya, trust me.
Pengenalan Konsep Dasar Faktorisasi
Sebelum kita menyelami cara mencari KPK dan FPB dari 35 dan 57, penting untuk membangun fondasi pemahaman tentang faktorisasi prima. Konsep ini adalah alat fundamental dalam matematika yang memecah bilangan bulat menjadi blok-blok pembangun dasarnya, yaitu bilangan prima. Memahami ini akan membuat proses pencarian KPK dan FPB menjadi lebih logis dan terstruktur, bukan sekadar mengikuti rumus.
Faktor Prima dan Perbedaannya dengan Kelipatan
Faktor prima dari suatu bilangan adalah bilangan-bilangan prima yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan tersebut. Bilangan prima sendiri adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri (contoh: 2, 3, 5, 7). Sementara itu, faktor adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi habis suatu bilangan tanpa sisa. Kelipatan adalah kebalikannya, yaitu hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan bulat positif.
Singkatnya, faktor membagi, sedangkan kelipatan adalah hasil perkalian.
Langkah-Langkah Umum Faktorisasi Prima
Faktorisasi prima dilakukan dengan cara membagi bilangan tersebut dengan bilangan prima terkecil yang mungkin, kemudian membagi hasilnya lagi dengan bilangan prima, dan seterusnya hingga hasil akhirnya adalah 1. Proses ini menghasilkan “pohon” percabangan yang sistematis. Setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat difaktorkan secara unik menjadi bilangan-bilangan prima, yang dikenal sebagai Teorema Dasar Aritmatika.
Tabel Perbandingan Faktor dan Faktorisasi Prima
Berikut adalah tabel yang merangkum perbedaan antara faktor, faktor prima, dan bentuk faktorisasi untuk beberapa contoh bilangan. Tabel ini membantu memvisualisasikan hubungan antara ketiga konsep tersebut.
| Bilangan | Faktor-faktornya | Faktor Prima | Bentuk Faktorisasi Prima |
|---|---|---|---|
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 2, 3 | 22 × 3 |
| 18 | 1, 2, 3, 6, 9, 18 | 2, 3 | 2 × 32 |
| 35 | 1, 5, 7, 35 | 5, 7 | 5 × 7 |
| 57 | 1, 3, 19, 57 | 3, 19 | 3 × 19 |
Memahami dan Membangun Pohon Faktor
Pohon faktor adalah metode visual yang elegan dan sangat membantu untuk melakukan faktorisasi prima. Seperti namanya, struktur ini berbentuk seperti pohon yang akarnya adalah bilangan yang akan difaktorkan, dan daun-daunnya adalah faktor-faktor primanya. Tujuannya adalah untuk menyederhanakan bilangan yang kompleks menjadi perkalian bilangan-bilangan prima, yang nantinya langsung dapat digunakan untuk menghitung FPB dan KPK.
Prosedur Menggambar Pohon Faktor
Menggambar pohon faktor mengikuti alur yang sistematis. Mulai dari bilangan target, cari dua bilangan (tidak harus prima) yang hasil kalinya adalah bilangan tersebut. Biasanya, kita mulai dengan pembagi prima terkecil. Lalu, tuliskan kedua bilangan itu sebagai cabang. Ulangi proses untuk setiap bilangan hasil cabang yang bukan bilangan prima, hingga semua ujung cabang (daun) berisi bilangan prima.
Contoh Pohon Faktor untuk 35 dan 57
Mari kita terapkan prosedur tersebut pada bilangan 35 dan
57. Untuk bilangan 35, kita dapat langsung menemukan dua bilangan prima yang hasil kalinya 35, yaitu 5 dan
7. Pohon faktornya sangat sederhana: akarnya 35 bercabang langsung ke 5 dan 7. Untuk bilangan 57, kita perlu berpikir sedikit. Kita tahu 57 habis dibagi 3 (karena jumlah angkanya 5+7=12, yang habis dibagi 3).
Jadi, akar 57 bercabang ke 3 dan 19 (karena 57 ÷ 3 = 19, dan 19 adalah bilangan prima).
Langkah-Langkah Praktis Membuat Pohon Faktor
- Tulis bilangan yang akan difaktorkan di bagian paling atas (akar pohon).
- Carilah dua faktor dari bilangan tersebut, dan tuliskan di bawahnya dengan dihubungkan garis.
- Periksa setiap bilangan hasil faktor. Jika suatu bilangan adalah bilangan prima, lingkari atau beri tanda sebagai akhir cabang (daun).
- Jika suatu bilangan masih komposit (bukan prima), ulangi proses pencarian faktor untuk bilangan tersebut.
- Teruskan proses hingga semua bilangan di ujung bawah pohon adalah bilangan prima.
- Bilangan-bilangan prima di ujung bawah itulah faktor prima dari bilangan awal.
Menentukan FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dari 35 dan 57
Setelah kita berhasil memfaktorkan 35 dan 57 menjadi bilangan prima, langkah mencari FPB menjadi sangat mudah. FPB adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan tersebut. Dalam konteks faktorisasi, FPB didapat dengan mengalikan faktor-faktor prima yang sama dari kedua bilangan, yang diambil pangkat terkecilnya. Namun, untuk kasus 35 dan 57, prosesnya lebih spesial.
Identifikasi Faktor Prima dan Faktor Persekutuan, Cari KPK dan FPB 35 serta 57 dengan Pohon Faktor
Berdasarkan pohon faktor, kita peroleh faktorisasi prima: 35 = 5 × 7 dan 57 = 3 × 19. Jika kita perhatikan, tidak ada satupun faktor prima yang sama antara kedua bilangan ini. Faktor prima 35 adalah 5 dan 7, sedangkan faktor prima 57 adalah 3 dan 19. Karena tidak ada faktor yang sama, maka faktor persekutuan dari kedua bilangan ini hanyalah angka 1.
Angka 1 adalah faktor dari semua bilangan bulat.
Perhitungan dan Nilai FPB
Karena faktor persekutuan satu-satunya adalah 1, maka Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 35 dan 57 adalah 1. Dua bilangan yang FPB-nya 1 disebut sebagai bilangan yang relatif prima atau koprima. Artinya, tidak ada bilangan lain selain 1 yang dapat membagi habis keduanya.
Tabel Perincian Faktor dan FPB
Source: advernesia.com
| Faktor Bilangan 35 | Faktor Bilangan 57 | Faktor Persekutuan | FPB (35, 57) |
|---|---|---|---|
| 1, 5, 7, 35 | 1, 3, 19, 57 | 1 | 1 |
Menentukan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari 35 dan 57
Berbeda dengan FPB, KPK mencari bilangan kelipatan terkecil yang sama-sama dimiliki oleh dua bilangan atau lebih. Jika FPB melihat irisan (persekutuan), KPK melihat gabungan (kelipatan persekutuan). Metode faktorisasi prima memberikan cara yang sangat efisien untuk menemukan KPK, terutama untuk bilangan yang besar, dibandingkan dengan menuliskan kelipatan satu per satu.
Kelipatan Pertama dan Analisis Faktor Prima
Kelipatan pertama dari 35 adalah 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, 455, 490, 525, 560, 595, 630, 665,
1995. Kelipatan pertama dari 57 adalah 57, 114, 171, 228, 285, 342, 399, 456, 513, 570, 627, 684, 741, 798, 855, 912, 969, 1026, 1083, 1140, 1197, 1254, 1311, 1368, 1425, 1482, 1539, 1596, 1653, 1710, 1767, 1824, 1881, 1938,
1995.
Terlihat bahwa 1995 adalah kelipatan persekutuan. Untuk mencari KPK dengan faktorisasi, kita menggabungkan semua faktor prima dari kedua bilangan. Untuk 35 (5×7) dan 57 (3×19), kita ambil semua faktor yang ada: 3, 5, 7, dan 19.
Perhitungan KPK dengan Metode Pohon Faktor
Setelah mendapatkan faktor-faktor prima unik dari kedua bilangan, yaitu 3, 5, 7, dan 19, KPK dihitung dengan mengalikan semua faktor tersebut. Karena tidak ada faktor yang berpangkat (semua muncul sekali), kita kalikan saja semuanya. Jadi, KPK(35, 57) = 3 × 5 × 7 ×
19. Mari kita hitung: 3 × 5 = 15; 15 × 7 = 105; 105 × 19 = 1995.
Jadi, KPK dari 35 dan 57 adalah 1995.
Perbandingan Metode Faktorisasi dan Metode Kelipatan
Metode Faktorisasi Prima: Cepat dan sistematis untuk bilangan besar. Langsung mengalikan semua faktor prima (dengan pangkat tertinggi jika ada). Contoh: KPK(35,57) = 3 1 × 5 1 × 7 1 × 19 1 = 1995.
Metode Kelipatan: Membuat daftar kelipatan hingga ditemukan yang sama. Mudah untuk bilangan kecil, tetapi sangat tidak praktis untuk bilangan besar karena daftar bisa sangat panjang sebelum bertemu.
Aplikasi dan Contoh Soal Variasi: Cari KPK Dan FPB 35 Serta 57 Dengan Pohon Faktor
Konsep FPB dan KPK bukan hanya sekadar latihan hitungan, tetapi memiliki aplikasi nyata dalam menyelesaikan masalah, seperti masalah jadwal, pengelompokan, atau pembagian barang. Memahami cara mengidentifikasi masalah yang membutuhkan FPB atau KPK adalah kunci utamanya. Biasanya, KPK digunakan untuk masalah yang berulang atau bertemu kembali, sedangkan FPB untuk masalah pembagian atau pengelompokan yang sama rata.
Contoh Soal Cerita Sederhana
Andi berenang setiap 35 hari sekali, sedangkan Budi berenang setiap 57 hari sekali. Jika hari ini mereka berenang bersama, berapa hari lagi mereka akan berenang bersama untuk kedua kalinya? Soal ini jelas tentang pengulangan periode, sehingga kita gunakan KPK. KPK(35, 57) = 1995. Jadi, mereka akan berenang bersama lagi 1995 hari lagi.
Tiga Contoh Soal Latihan
- Soal Mudah: Tentukan FPB dan KPK dari pasangan bilangan 14 dan 25.
- Soal Sedang: Dua buah lampu berkedip. Lampu A menyala setiap 20 detik, dan lampu B setiap 35 detik. Jika kedua lampu menyala bersama pada detik ke-0, pada detik keberapakah mereka akan menyala bersama untuk ketiga kalinya?
- Soal Analisis: Ibu memiliki 48 permen cokelat dan 64 permen stroberi. Ia ingin membungkusnya dalam beberapa paket hadiah dengan isi yang sama untuk setiap jenis permennya, dan tidak ada permen yang tersisa. Berapa jumlah paket hadiah terbanyak yang dapat dibuat Ibu?
Tips Cek Kebenaran Hasil
- Untuk FPB, pastikan hasilnya dapat membagi habis kedua bilangan awal. Contoh: 1 pasti bisa membagi 35 dan 57.
- Untuk KPK, pastikan hasilnya adalah kelipatan dari kedua bilangan awal. Contoh: 1995 ÷ 35 = 57 (tepat), dan 1995 ÷ 57 = 35 (tepat).
- Jika dua bilangan relatif prima (seperti 35 dan 57), FPB-nya selalu 1, dan KPK-nya selalu hasil kali kedua bilangan tersebut (35 × 57 = 1995).
Solusi Contoh Soal Latihan
- Soal 1: 14 = 2 × 7; 25 = 5². Tidak ada faktor sama. Jadi, FPB(14,25)=1 dan KPK(14,25)= 2 × 7 × 5² = 350.
- Soal 2: Cari KPK(20,35). 20=2²×5; 35=5×7. KPK = 2² × 5 × 7 = 140 detik. Menyala bersama ketiga kalinya = 140 × 3 = 420 detik.
- Soal 3: Ini masalah FPB untuk pembagian sama rata. Cari FPB(48,64). 48=2⁴×3; 64=2⁶. FPB = 2⁴ = 16. Jadi, jumlah paket terbanyak adalah 16 paket.
Visualisasi dan Penjelasan Mendalam Proses
Mari kita tinjau ulang proses faktorisasi 35 dan 57 dengan deskripsi tekstual yang detail, kemudian melihat bagaimana hasil faktorisasi prima ini secara langsung menentukan nilai FPB dan KPK. Hubungan antara faktorisasi, FPB, dan KPK adalah hubungan yang elegan dan saling terikat dalam matematika.
Deskripsi Tekstual Pohon Faktor 35 dan 57
Visualisasikan sebuah diagram dengan dua pohon terpisah. Pohon pertama memiliki akar bertuliskan angka 35. Dari akar tersebut, keluar dua garis (cabang) yang mengarah ke bawah menuju dua lingkaran. Lingkaran kiri berisi angka 5, dan lingkaran kanan berisi angka 7. Baik angka 5 maupun 7 tidak memiliki cabang lagi, menandakan mereka adalah bilangan prima.
Pohon kedua berakar pada angka 57. Dari akar 57, muncul dua cabang. Cabang kiri mengarah ke angka 3. Cabang kanan mengarah ke angka 19. Sama seperti pohon pertama, angka 3 dan 19 tidak bercabang lebih lanjut, mengonfirmasi status mereka sebagai bilangan prima.
Perbandingan Visualisasi Faktorisasi 35 dan 57
Persamaan dari kedua pohon faktor ini adalah keduanya langsung bercabang dua menuju bilangan prima tanpa perlu pembagian bertahap lebih lanjut. Perbedaannya terletak pada bilangan prima yang dihasilkan. Pohon 35 menghasilkan daun berwarna 5 dan 7, sementara pohon 57 menghasilkan daun berwarna 3 dan 19. Tidak ada satu pun daun yang warnanya sama antara kedua pohon, yang secara visual menjelaskan mengapa FPB mereka adalah 1.
Hubungan Faktorisasi Prima dengan FPB dan KPK
Hubungannya sangat langsung. FPB diperoleh dengan mengambil faktor-faktor prima yang sama dari kedua bilangan, dengan pangkat terkecil. KPK diperoleh dengan mengambil semua faktor prima dari kedua bilangan, dengan pangkat tertinggi. Dalam kasus 35 dan 57, karena tidak ada faktor yang sama, himpunan faktor untuk FPB kosong, yang secara konvensional menghasilkan 1. Untuk KPK, himpunannya adalah gabungan dari 5,7 dan 3,19, yaitu 3,5,7,19.
Tabel Rangkuman Hubungan Faktorisasi, FPB, dan KPK
| Bilangan | Faktorisasi Prima | Peran dalam FPB | Peran dalam KPK |
|---|---|---|---|
| 35 | 5 × 7 | Tidak ada faktor sama (kosong) | Diambil semua faktor: 5 dan 7 |
| 57 | 3 × 19 | Tidak ada faktor sama (kosong) | Diambil semua faktor: 3 dan 19 |
| Hasil | – | FPB = 1 | KPK = 3 × 5 × 7 × 19 = 1995 |
Terakhir
Jadi gitu, mate. Udah kelar urusan sama 35 dan 57. Intinya, pohon faktor itu tool yang ngebut banget buat ngelebur angka jadi faktor prima, yang mana itu bahan baku utama buat masak FPB dan KPK. Sekarang lo punya bekal buat nganalisis bilangan lain. Ingat, practice makes perfect, jadi keep grinding!
Jawaban yang Berguna
Apa bedanya pohon faktor sama cara biasa cari faktor prima?
Pohon faktor itu cara visual yang lebih terstruktur dan rapi, khususnya buat bilangan besar. Cara biasa (pembagian berulang) lebih ke tulisan mendatar, tapi inti hasil faktorisasi primanya sama aja.
Kenapa hasil KPK 35 dan 57 justru lebih besar dari kedua bilangannya?
Karena KPK itu kelipatan
-persekutuan* terkecil. Untuk bilangan yang relatif prima kayak 35 dan 57 (faktor prima beda semua), KPK-nya ya hasil kali keduanya, yang pasti lebih besar dari masing-masing bilangan.
Bisakah pohon faktor dipakai untuk bilangan prima seperti 57?
Bisa banget. Untuk bilangan prima kayak 57, pohon faktornya pendek banget: cuma ada “57” lalu langsung bercabang ke “3” dan “19”, karena dia cuma bisa dibagi sama dirinya dan 1 (yang nggak dimasukin ke pohon).
Ada trik cepat ngecek bener atau nggaknya FPB dan KPK yang kita hitung?
Ada, coba tes hubungan ini: FPB(35,57) × KPK(35,57) harus sama dengan 35 × 57. Kalau perkalian silang ini hasilnya beda, berarti ada yang salah di hitungan.
