Banyaknya Pasangan Bilangan Bulat Positif (a,b) Memenuhi 1/a+1/b=1/6

Banyaknya Pasangan Bilangan Bulat Positif (a,b) Memenuhi 1/a+1/b=1/6 ternyata bukan sekadar teka-teki aljabar yang kering, lho. Soal ini seperti puzzle matematika yang menyimpan pola rapi di balik tampilannya yang berantakan. Kalau kita cuma coba-coba pasang angka, bisa pusing tujuh keliling karena angkanya nggak terbatas. Tapi tenang, dengan sedikit trik aljabar, semua kekacauan itu bisa ditata menjadi sebuah relasi sederhana yang elegan.

Inti dari penyelesaian soal ini adalah mengubah persamaan pecahan yang menjengkelkan itu menjadi bentuk perkalian, tepatnya (a – 6)(b – 6) =
36. Transformasi ini adalah kunci yang membuka segala kemungkinan. Alih-alih mencari secara membabi buta, kita sekarang punya petunjuk jelas: kita hanya perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 36. Dari sanilah, perjalanan untuk menemukan semua pasangan (a, b) yang valid dimulai dengan cara yang lebih terstruktur dan masuk akal.

Mengurai Persamaan Dasar Menuju Bentuk yang Dapat Dipecahkan

Source: slidesharecdn.com

Persamaan pecahan seperti 1/a + 1/b = 1/6 memang terlihat sederhana, tetapi mencari pasangan bilangan bulat positif yang memenuhinya bisa seperti mencari jarum di tumpukan jerami jika kita mencoba-coba secara membabi buta. Kunci utamanya adalah mengubah bentuk persamaan ini menjadi sesuatu yang lebih ramah terhadap analisis bilangan bulat. Langkah pertama yang paling alami adalah menyamakan penyebut. Dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan 6ab, kita mendapatkan 6b + 6a = ab.

Ini sudah lebih baik karena menghilangkan bentuk pecahan.

Namun, langkah jeniusnya adalah memanipulasi persamaan linear tersebut ke dalam bentuk perkalian. Dari ab = 6a + 6b, kita pindahkan semua suku ke satu sisi: ab – 6a – 6b =
0. Di sinilah trik aljabar klasik bekerja, yaitu dengan menambahkan suatu konstanta tertentu untuk membuat ruas kiri bisa difaktorkan. Jika kita tambahkan 36 ke kedua ruas, persamaan menjadi ab – 6a – 6b + 36 =
36.

Sekarang, perhatikan bahwa ruas kiri dapat difaktorkan menjadi (a – 6)(b – 6). Maka, kita sampai pada bentuk inti: (a – 6)(b – 6) = 36.

Transformasi ini sangat penting karena mengubah masalah dari persamaan penjumlahan pecahan yang “lunak” menjadi persamaan perkalian yang “keras” dan terstruktur. Dalam dunia bilangan bulat, perkalian jauh lebih mudah dikendalikan daripada penjumlahan dalam konteks seperti ini. Kita sekarang tahu bahwa (a-6) dan (b-6) harus merupakan pasangan faktor dari bilangan 36. Pencarian kita yang tak terbatas secara potensial kini dibatasi secara ketat hanya pada sejumlah kemungkinan faktor dari 36.

Setiap pasangan faktor yang dikalikan menghasilkan 36 akan memberi kita calon solusi untuk a dan b.

Sebagai contoh numerik lain, misalnya kita punya persamaan 1/x + 1/y = 1/
2. Mengikuti langkah serupa: kalikan dengan 2xy menjadi 2y + 2x = xy, lalu xy – 2x – 2y = 0, tambahkan 4 di kedua sisi menjadi xy – 2x – 2y + 4 = 4, dan faktorkan menjadi (x-2)(y-2)=4. Sekarang kita hanya perlu mencari faktor dari 4, yang jauh lebih sederhana.

Menelusuri Faktor dari Bilangan 36 sebagai Kunci Solusi

Setelah berhasil mereduksi persamaan menjadi (a-6)(b-6) = 36, misi kita berubah menjadi menemukan semua pasangan bilangan bulat (p, q) sehingga p × q = 36, di mana p = a-6 dan q = b-6. Ini berarti kita harus mendaftar semua faktor dari 36, baik yang positif maupun negatif. Mengapa negatif juga perlu dipertimbangkan? Meskipun a dan b akhirnya harus positif, nilai (a-6) dan (b-6) bisa saja negatif.

Contohnya, jika a = 3, maka a-6 = -3, yang merupakan faktor negatif dari 36. Mengabaikan faktor negatif akan membuat kita kehilangan sejumlah solusi yang valid.

Daftar lengkap pasangan faktor bilangan bulat dari 36 adalah sebagai berikut, dimana hasil kali keduanya adalah 36:

• 1 dan 36
• 2 dan 18
• 3 dan 12
• 4 dan 9
• 6 dan 6
• -1 dan -36
• -2 dan -18
• -3 dan -12
• -4 dan -9
• -6 dan -6

Setiap pasangan faktor ini langsung memberikan kita sistem persamaan yang sangat sederhana: a – 6 = p dan b – 6 = q. Dengan kata lain, a = p + 6 dan b = q + 6. Proses ini mengubah pencarian solusi dari tebakan menjadi substitusi langsung. Sifat dari faktor-faktor ini—apakah keduanya positif, keduanya negatif, atau berlawanan tanda—akan menentukan apakah a dan b nantinya bernilai positif, lebih kecil dari 6, atau bahkan tidak valid.

Aturan utama dari bentuk (a-n)(b-n) = K adalah: setiap pasangan faktor (p, q) dari bilangan K menghasilkan calon solusi a = n+p dan b = n+q. Sifat penjumlahan dan perkalian faktor-faktor ini secara langsung mencerminkan sifat solusi akhirnya; faktor positif menghasilkan nilai a dan b > n, sedangkan faktor negatif menghasilkan nilai a dan b < n.

Penyaringan Solusi Valid dari Sekumpulan Kemungkinan: Banyaknya Pasangan Bilangan Bulat Positif (a,b) Memenuhi 1/a+1/b=1/6

Dari sepuluh pasangan faktor yang telah kita identifikasi, langkah selanjutnya adalah menyaring mana yang menghasilkan pasangan (a, b) yang memenuhi syarat utama: a dan b harus bilangan bulat positif. Karena a = 6 + p dan b = 6 + q, proses penyaringan ini menjadi sangat lugas. Kita hanya perlu memastikan bahwa 6 + p > 0 dan 6 + q > 0.

Kriteria ini secara otomatis menjamin a dan b adalah bilangan bulat (karena p dan q bulat) dan positif.

Mari kita telusuri beberapa contoh. Untuk pasangan faktor positif seperti (1, 36), kita peroleh a = 7 dan b = 42. Keduanya positif, valid. Untuk pasangan (6, 6), diperoleh a=12 dan b=12, juga valid. Bagaimana dengan faktor negatif?

Ambil contoh (-3, -12). Maka a = 6 + (-3) = 3 dan b = 6 + (-12) = -6. Nilai b = -6 bukan bilangan positif, sehingga pasangan ini ditolak. Demikian pula, pasangan (-1, -36) menghasilkan a=5 dan b=-30, yang juga tidak valid karena b negatif. Namun, perhatikan pasangan (-2, -18) menghasilkan a=4 dan b=-12, tetap tidak valid.

Trik cepat untuk mengeliminasi calon solusi tanpa menghitung lengkap adalah dengan melihat tanda faktor. Jika salah satu faktor, katakanlah p, bernilai ≤ -6, maka a = 6 + p akan menjadi ≤ 0. Karena kita membutuhkan a > 0, maka syaratnya adalah p > -6. Dengan logika yang sama, q juga harus > -6. Jadi, kita hanya perlu mempertimbangkan pasangan faktor (p, q) dimana p > -6 dan q > -6.

Dari daftar faktor negatif, hanya pasangan yang kedua faktornya lebih besar dari -6 yang akan lolos. Dalam konteks ini, faktor negatif yang memenuhi adalah (-1, -36)? Tidak, karena -36 < -6. (-2,-18)? Tidak. (-3,-12)? Tidak. (-4,-9)? -9 < -6, jadi tidak. (-6,-6)? -6 tidak lebih besar dari -6 (sama dengan), menghasilkan a=0, tidak positif. Ternyata, tidak ada pasangan faktor negatif yang memenuhi kedua kondisi p > -6 dan q > -6 secara bersamaan. Artinya, semua solusi valid berasal dari pasangan faktor positif.

Mencari banyaknya pasangan bilangan bulat positif (a,b) yang memenuhi 1/a + 1/b = 1/6 itu seru, lho. Kita perlu berpikir sistematis, layaknya menganalisis sebuah transaksi keuangan yang memengaruhi posisi aset. Nah, konsep perubahan yang terstruktur ini mirip dengan prinsip dalam Contoh dan bukti pengaruh transaksi pada aset dalam satu ruas​ , di mana setiap aksi punya dampak yang jelas dan terukur.

Dengan logika serupa, kita manipulasi persamaan awal menjadi (a-6)(b-6)=36, lalu tinggal menghitung faktor positif dari 36 untuk menemukan semua solusi yang mungkin.

Simetri Tersembunyi dan Penghitungan Pasangan Unik

Persamaan awal 1/a + 1/b = 1/6 bersifat simetris terhadap pertukaran a dan b. Jika (a, b) adalah solusi, maka (b, a) juga pasti solusi. Simetri ini tercermin jelas dalam bentuk faktorisasi (a-6)(b-6)=36; pertukaran a dan b sama dengan pertukaran faktor p dan q. Dalam konteks soal yang menanyakan “pasangan bilangan bulat positif (a,b)”, umumnya pasangan terurut seperti (7,42) dan (42,7) dianggap sebagai dua pasangan yang berbeda, kecuali disebutkan secara eksplisit bahwa pasangan dianggap tidak terurut.

Implikasi dari simetri ini memengaruhi penyajian jawaban akhir. Ketika kita mendaftar semua solusi dari pasangan faktor positif 36, kita akan mendapatkan dua solusi untuk setiap pasangan faktor yang berbeda (seperti dari (1,36) kita dapat (7,42) dan (42,7)), dan satu solusi untuk pasangan faktor yang sama (yaitu dari (6,6) kita hanya dapat (12,12)). Jika kita membayangkan plot semua titik (a,b) yang merupakan solusi pada bidang kartesian, titik-titik tersebut akan tersebar secara simetris terhadap garis diagonal a = b.

Garis ini sendiri akan dilintasi oleh solusi (12,12), yang merupakan satu-satunya solusi dimana a sama dengan b.

Berikut adalah daftar sistematis semua pasangan bilangan bulat positif (a, b) dengan a ≤ b (untuk menghindari pengulangan akibat simetri), yang memenuhi persamaan 1/a + 1/b = 1/6:

• (7, 42)
• (8, 24)
• (9, 18)
• (10, 15)
• (12, 12)

Jika kita menganggap pasangan terurut, maka daftar lengkapnya berisi 10 pasangan: lima pasangan di atas, dan lima pasangan lainnya dengan posisi a dan b ditukar (seperti (42,7), (24,8), (18,9), (15,10), dan (12,12) yang sudah termasuk). Jadi, total ada 10 solusi untuk pasangan terurut (a,b).

Eksplorasi Variasi Soal dengan Struktur Serupa untuk Penguatan Pemahaman

Metode yang telah kita pelajari bersifat umum untuk persamaan berbentuk 1/x + 1/y = 1/n, dengan n adalah bilangan bulat positif. Mari kita terapkan untuk n=
8. Persamaannya menjadi 1/x + 1/y = 1/
8. Setelah manipulasi aljabar standar, kita peroleh bentuk setara (x-8)(y-8) =
64. Sekarang, tugas kita adalah mencari semua pasangan faktor dari
64.

Banyaknya faktor positif dari 64 adalah 7 (yaitu 1,2,4,8,16,32,64), yang berarti ada 7 pasangan faktor positif. Setiap pasangan akan menghasilkan solusi, dan karena ada pasangan faktor yang sama (8,8), maka jumlah solusi bilangan bulat positif dengan x ≤ y adalah 7, dan jumlah solusi untuk pasangan terurut (x,y) adalah 13 (karena 6 pasangan faktor berbeda memberi 2 solusi masing-masing, dan 1 pasangan identik memberi 1 solusi: 6*2 + 1 = 13).

Membandingkan dengan kasus n=6 tadi, di mana kita punya (a-6)(b-6)=
36. Banyaknya faktor positif dari 36 adalah 9, yang menghasilkan 9 pasangan faktor positif. Itu sebabnya kita mendapatkan lebih banyak solusi (10 pasangan terurut) untuk n=6 dibandingkan n=8 (13 pasangan terurut). Polanya menjadi jelas: jumlah solusi pasangan terurut bilangan bulat positif bergantung pada banyaknya faktor dari n². Secara spesifik, jika n² memiliki F faktor positif, maka jumlah solusi pasangan terurut (x,y) adalah F, karena setiap faktor p dari n² berkorespondensi dengan satu solusi x = n + p, y = n + (n²/p).

Faktor p dan n²/p yang berbeda akan memberikan pasangan (x,y) yang berbeda secara terurut.

Namun, metode ini memiliki batasan. Ia bekerja sangat baik ketika n adalah bilangan bulat. Jika ruas kanan persamaan awal adalah bilangan pecahan umum seperti 1/k, pendekatannya tetap sama. Tetapi, jika persamaannya bukan dalam bentuk 1/n, misalnya 1/a + 1/b = 2/5, maka kita perlu melakukan manipulasi awal untuk membawanya ke bentuk standar terlebih dahulu. Inti dari eksplorasi ini adalah menunjukkan bahwa banyak masalah yang tampak rumit seringkali menyembunyikan struktur faktorisasi yang elegan, yang begitu terungkap, akan menyederhanakan pencarian solusi secara dramatis.

Ulasan Penutup

Jadi, setelah melalui proses aljabar, penelusuran faktor, dan penyaringan, akhirnya kita sampai pada jawaban yang pasti. Persamaan 1/a + 1/b = 1/6 memiliki sejumlah solusi bilangan bulat positif yang terbatas, dan setiap solusi lahir dari simetri yang indah antara faktor-faktor bilangan 36. Soal ini mengajarkan bahwa seringkali, masalah yang tampak kompleks menyimpan struktur sederhana di dalamnya.

Pola ini tidak hanya berlaku untuk angka 6. Coba ganti dengan bilangan lain, dan kamu akan melihat irama matematika yang serupa, di mana jumlah solusinya berkaitan erat dengan banyaknya faktor dari kuadrat bilangan tersebut. Menemukan pasangan (a,b) yang memenuhi persamaan ini ibarat menyelesaikan misteri dengan petunjuk yang tepat, dan ketika semua potongan puzzle bertemu, rasanya sangat memuaskan. Inilah keindahan matematika yang sering tersembunyi di balik rumus-rumus.

Sudut Pertanyaan Umum (FAQ)

Apakah pasangan (a,b) dan (b,a) dihitung sebagai dua solusi berbeda?

Ya, dalam konteks soal ini, pasangan (a,b) dan (b,a) dianggap berbeda karena urutan penulisan diperhatikan. Misalnya, (7,42) dan (42,7) adalah dua pasangan solusi yang terpisah.

Bagaimana jika soal meminta bilangan bulat non-negatif (termasuk nol), apakah ada solusi tambahan?

Tidak ada. Jika a atau b bernilai 0, maka 1/a atau 1/b menjadi tak terdefinisi (pembagian dengan nol). Jadi, solusi harus tetap bilangan bulat positif.

Apakah metode (a-6)(b-6)=36 ini bisa dipakai untuk bentuk persamaan serupa seperti 1/a + 1/b = 1/5?

Tentu bisa! Metode ini universal. Untuk 1/a + 1/b = 1/n, persamaannya akan berubah menjadi (a – n)(b – n) = n². Langkah selanjutnya adalah mencari faktor dari n².

Mengapa kita harus mempertimbangkan faktor negatif dari 36 padahal a dan b akhirnya positif?

Karena (a-6) dan (b-6) bisa saja bernilai negatif, asalkan perkalian keduanya tetap +36. Contoh, jika (a-6) = -4 dan (b-6) = -9, maka a=2 dan b=-3 (tidak valid). Namun, jika (a-6) = -3 dan (b-6) = -12, maka a=3 dan b=-6 (juga tidak valid). Faktor negatif perlu diperiksa untuk memastikan tidak ada solusi positif yang terlewat, meski pada akhirnya sering menghasilkan a atau b yang negatif atau nol.

Adakah cara cepat mengetahui berapa banyak solusi tanpa harus menuliskan semua pasangannya?

Ada polanya. Jumlah solusi bilangan bulat positif untuk 1/a + 1/b = 1/n sama dengan jumlah faktor positif dari n². Untuk n=6, n²=36 yang memiliki 9 faktor positif. Namun, karena solusi a dan b simetris, jumlah pasangan terurut yang valid adalah 9 juga, setelah menyaring nilai a dan b yang positif.