Mencari nilai terkecil x+y untuk bilangan asli dengan pembagian 20 dan 18

Mencari nilai terkecil x + y untuk bilangan asli dengan pembagian 20 dan 18 terdengar seperti teka-teki matematika yang ketat, bukan? Tapi jangan salah, di balik kerumitan angka-angka itu tersembunyi logika yang elegan dan pola yang menari-nari. Soal semacam ini bukan cuma untuk mengasah otak, melainkan juga melatih kita melihat keteraturan dalam kekacauan, mirip seperti mencari ritme dalam gemuruh kehidupan sehari-hari. Dari mengatur jadwal hingga mengemas barang, prinsip dasarnya ternyata sama: menemukan titik temu yang paling efisien dari dua aturan yang berbeda.

Pada intinya, kita punya dua bilangan asli, x dan y, yang masing-masing mematuhi aturan pembagian spesifik. Misalnya, ketika x dibagi 20, ia meninggalkan sisa tertentu, dan y dibagi 18 juga punya cerita sisanya sendiri. Tantangannya adalah menemukan pasangan (x, y) yang memenuhi kedua aturan ini sekaligus, dan yang jumlah x+y-nya paling kecil. Ini seperti misi pencarian harta karun di lautan bilangan, di mana petanya adalah konsep modulo dan kompasnya adalah Kelipatan Persekutuan Kecil (KPK).

Mari kita selami bersama.

Menguak Lapisan Tersembunyi dari Persamaan Bilangan Bulat Positif

Masalah mencari dua bilangan asli x dan y yang memenuhi kondisi pembagian tertentu, lalu meminimalkan jumlah keduanya, lebih dari sekadar latihan matematika. Pada intinya, ini adalah upaya menemukan koordinasi dalam sistem yang terfragmentasi. Bayangkan x dan y sebagai dua sumber daya berbeda yang harus dipesan atau dijadwalkan. Kondisi “x dibagi 20 bersisa 3” mirip dengan aturan bahwa sebuah pesanan hanya bisa diproses setiap 20 hari, dan kita sedang berada pada hari ke-3 dari siklus tersebut.

Sementara “y dibagi 18 bersisa 12” mewakili siklus produksi dengan periode berbeda. Tantangannya adalah menemukan momen di mana kedua sumber daya ini tersedia secara bersamaan (atau memenuhi syarat tertentu) dengan total biaya atau jumlah (x+y) yang paling hemat.

Filosofi pencarian nilai minimum ini berakar pada efisiensi. Dalam dunia nyata, apakah itu mengemas barang dalam kemasan berisi 20 dan 18, menyelaraskan jadwal pemeliharaan mesin, atau merencanakan pengiriman dengan interval tetap, kita selalu berusaha meminimalkan pemborosan. Pendekatan ini relevan karena memaksa kita untuk tidak hanya mencari solusi, tetapi solusi yang optimal. Tanpa prinsip minimalisasi, kita mungkin puas dengan jawaban yang bekerja, tetapi mungkin boros dalam sumber daya atau waktu.

Perbandingan Pasangan Kandidat Awal

Sebelum menemukan metode sistematis, seseorang mungkin mencoba-coba pasangan bilangan. Tabel berikut menunjukkan beberapa kandidat yang memenuhi salah satu syarat dan analisis mengapa mereka bukan solusi minimal. Asumsi kondisi contoh adalah x dibagi 20 bersisa 3 dan y dibagi 18 bersisa 12.

Percobaan acak seperti ini mudah terjebak dalam asumsi yang keliru, seperti yang diilustrasikan di bawah.

“Kita punya x = 20a + 3 dan y = 18b +

• Untuk mendapatkan jumlah kecil, a dan b harus kecil. Coba a=1, b=1, maka x=23 dan y=
• Jumlahnya

53. Cek syarat

23 bagi 20 sisa 3 (OK), 30 bagi 18 sisa 12? 18*1=18, sisa 12. Tunggu, 30-18=12, benar! Jadi (23,30) solusinya dengan jumlah 53.” Ini adalah kesalahan umum. Perhitungan sisa untuk y=30 adalah 30 = 18*1 + 12, yang secara matematis benar. Namun, dalam konteks bilangan bulat positif dan pembagian, sisa harus bilangan bulat non-negatif yang kurang dari pembagi.

Sisa 12 memang kurang dari 18, jadi (23,30) sebenarnya adalah solusi yang valid. Tantangan selanjutnya adalah memastikan apakah ini solusi dengan jumlah terkecil, yang memerlukan eksplorasi lebih lanjut.

Strategi Menyelami Kelipatan Persekutuan untuk Menemukan Titik Temu

Kekacauan dari mencoba-coba dapat diatasi dengan menyadari pola mendasar yang mengatur kedua kondisi tersebut. Kedua persamaan, x = 20a + 3 dan y = 18b + 12, sebenarnya menggambarkan dua barisan aritmatika. Nilai x tumbuh dengan loncatan 20, dimulai dari 3. Nilai y tumbuh dengan loncatan 18, dimulai dari 12. Masalah kita adalah menemukan titik temu antara kedua barisan ini, tetapi dalam konteks penjumlahan x+y yang minimal.

Kunci untuk menyederhanakan pencarian ini terletak pada Kelipatan Persekutuan Kecil (KPK) dari kedua pembagi, yaitu 20 dan 18.

KPK dari 20 dan 18 adalah
180. Nilai ini memiliki arti penting: ia adalah periode di mana pola sisa dari kedua barisan akan mulai berulang secara bersamaan dalam sebuah sistem yang terpadu. Dengan kata lain, jika kita menemukan satu solusi (x, y), maka (x+180, y+180) juga akan menjadi solusi, karena penambahan 180 adalah kelipatan dari 20 dan 18 sehingga tidak mengubah sisa pembagian.

Ini membatasi ruang pencarian kita. Kita hanya perlu mencari solusi dalam satu siklus sepanjang 180, karena di luar itu, nilai x dan y hanya akan bertambah besar.

Transformasi ke dalam Persamaan Modular yang Padu

Alih-alih memperlakukan x dan y secara terpisah, kita bisa menggabungkan kondisi tersebut dengan memandang nilai x dan y yang memenuhi kedua sisa. Pendekatan yang elegan adalah dengan menyatakan bahwa kita mencari sebuah bilangan N yang memenuhi: N ≡ 3 (mod 20) dan juga N ≡ 12 (mod 18). Jika N adalah bilangan seperti itu, maka kita dapat mengambil x = N.

Lalu, bagaimana dengan y? Karena N juga bersisa 12 ketika dibagi 18, maka y bisa sama dengan N. Namun, masalah kita membolehkan x dan y berbeda. Jika kita mengambil x = N dan y = N, maka x+y = 2N. Ini belum tentu minimal karena mungkin ada pasangan (x, y) dengan x ≠ y yang jumlahnya lebih kecil dari 2N.

Tetapi, konsep mencari N yang memenuhi kedua kongruensi ini adalah langkah pertama yang kuat. N yang memenuhi adalah bilangan berbentuk N = 3 + 20k yang juga sama dengan 12 + 18m. Dengan menyamakan, kita dapatkan 20k – 18m = 9. Persamaan Diophantine ini dapat diselesaikan untuk menemukan kandidat dasar.

Prosedur sistematis untuk menghasilkan pasangan (x, y) dalam rentang terbatas dapat dirumuskan sebagai berikut:

• Tuliskan semua bilangan yang bersisa 3 ketika dibagi 20, dimulai dari yang terkecil dalam satu periode KPK (180): 3, 23, 43, 63, 83, 103, 123, 143, 163.
• Tuliskan semua bilangan yang bersisa 12 ketika dibagi 18 dalam rentang yang sama: 12, 30, 48, 66, 84, 102, 120, 138, 156, 174.
• Pasangan solusi (x, y) yang valid adalah setiap kombinasi di mana x diambil dari daftar pertama dan y dari daftar kedua. Tidak ada persyaratan x harus sama dengan y.
• Untuk setiap pasangan yang mungkin, hitung nilai x+y. Tugas kita adalah menemukan pasangan dengan jumlah terkecil di antara semua kombinasi ini.

Eksplorasi Visual Pola Koordinat Solusi pada Bidang Kartesius

Representasi grafis memberikan intuisi geometris yang kuat terhadap masalah aljabar ini. Bayangkan sebuah bidang Kartesius, di mana sumbu horizontal (X) mewakili nilai x yang memenuhi x ≡ 3 (mod 20), dan sumbu vertikal (Y) mewakili nilai y yang memenuhi y ≡ 12 (mod 18). Himpunan nilai x yang mungkin membentuk deret titik-titik pada garis horizontal y=0 (jika kita hanya plot x) dengan jarak konstan 20, dimulai dari x=3.

Demikian pula, himpunan nilai y membentuk titik-titik pada garis vertikal x=0 dengan jarak 18, dimulai dari y=12.

Solusi dari masalah kita adalah setiap titik koordinat (x, y) di mana x berasal dari himpunan pertama dan y dari himpunan kedua. Secara visual, ini adalah seluruh titik pada grid yang dibentuk oleh perpotongan dua set garis vertikal dan horizontal tersebut. Namun, grid ini tidak berlanjut tanpa batas. Karena kita mencari x+y yang minimal, kita secara efektif mencari titik pada grid ini yang paling dekat dengan titik origin (0,0) jika diukur dengan jarak Manhattan (yaitu |x|+|y|, yang dalam kuadran positif sama dengan x+y).

Titik dengan x+y terkecil akan terletak paling dekat dengan origin sepanjang garis diagonal x+y = C.

Koordinat Lima Solusi Potensial Pertama

Berikut adalah lima pasangan solusi valid pertama yang dihasilkan dari kombinasi daftar x dan y dalam rentang terbatas, diurutkan berdasarkan nilai x+y yang mengecil.

Dari tabel, terlihat bahwa kandidat (3,30) dengan jumlah 33 dan (23,12) dengan jumlah 35 bersaing. Polanya menunjukkan bahwa untuk meminimalkan jumlah, kita ingin memilih x dan y yang sedekat mungkin dengan sisa aslinya, tetapi kadang menambah salah satu variabel sedikit (sesuai kelipatan periodenya) bisa menguntungkan jika variabel lainnya bisa tetap sangat kecil.

Mencari nilai minimal x + y dari bilangan asli yang habis dibagi 20 dan 18 itu kayak cari pola tersembunyi, seru banget! Proses sistematisnya mengingatkan gue sama pentingnya Tahapan Penyusunan Laporan BK di Sekolah , yang butuh langkah-langkah runtut biar hasilnya akurat dan bisa dipertanggungjawabkan. Nah, setelah paham strukturnya, balik lagi ke soal tadi: jawabannya ketemu setelah kita hitung KPK-nya dulu, baru deh kita eksplorasi kombinasi x dan y yang memenuhi.

Grafik imajinatif akan menampilkan grid titik-titik diskrit. Sumbu X memiliki titik pada koordinat 3, 23, 43, 63, dan seterusnya. Sumbu Y memiliki titik pada 12, 30, 48, 66, dan seterusnya. Setiap titik solusi adalah perpotongan dari garis vertikal melalui titik-x dan garis horizontal melalui titik-y, membentuk pola titik-titik yang tersebar secara teratur di kuadran pertama. Garis diagonal x+y = C, untuk berbagai nilai C, digambarkan sebagai garis miring. Titik solusi yang terdekat dengan origin adalah titik yang disentuh oleh garis diagonal dengan C terkecil. Visualisasi ini dengan jelas menunjukkan bahwa titik seperti (3,12) berada di garis x+y=15, sangat dekat dengan origin. Titik (3,30) di garis x+y=33, dan (23,12) di garis x+y=35, berada lebih jauh. Grid ini membantu melihat bahwa tidak ada titik solusi lain di antara garis diagonal 15 dan 33, mengonfirmasi bahwa solusi minimal adalah yang memiliki C terkecil.

Pendekatan Algoritmik Sederhana dan Verifikasi Manual

Meskipun pendekatan visual dan sistematis dengan KPK sudah membatasi ruang pencarian, pendekatan algoritmik brute force yang dirancang dengan baik dapat memberikan verifikasi yang meyakinkan. Kelebihan pendekatan manual berbasis pola adalah memberikan pemahaman mendalam tentang struktur masalah. Namun, untuk pembagi dan sisa yang lebih besar, pendekatan manual menjadi rentan terhadap kesalahan hitung. Pendekatan komputasional, di sisi lain, dapat dengan cepat memindai ribuan kemungkinan, tetapi tanpa pemahaman konseptual, algoritma mungkin dijalankan dengan batas yang tidak efisien atau bahkan tak terhingga.

Kunci efisiensi pada brute force adalah menetapkan batas atas yang masuk akal. Kita tahu bahwa KPK(20,18)=180, dan pola berulang setiap 180. Oleh karena itu, kita hanya perlu memeriksa nilai x dalam satu rentang panjang 180, dimulai dari sisa 3. Untuk setiap x tersebut, kita bisa menghitung y yang sesuai? Tidak tepat.

Lebih baik, kita bisa mengiterasi nilai x kandidat (3, 23, 43, …) dan untuk setiap x, kita mencari y kandidat (12, 30, 48, …) dan menghitung x+y. Pencarian dihentikan ketika kita yakin bahwa penambahan x lebih lanjut (yang akan menambah minimal 20) sudah pasti menghasilkan x+y yang lebih besar dari kandidat minimum sementara yang telah ditemukan.

Prosedur Pengecekan Berurutan dengan Sifat Kelipatan

Source: slidesharecdn.com

• Tetapkan daftar_x = [3, 23, 43, 63, 83, 103, 123, 143, 163]. Ini adalah x < 180 yang memenuhi x ≡ 3 mod 20.
• Tetapkan daftar_y = [12, 30, 48, 66, 84, 102, 120, 138, 156, 174]. Ini adalah y < 180 yang memenuhi y ≡ 12 mod 18.
• Inisialisasi nilai_minimum = bilangan yang sangat besar (misalnya 9999).
• Untuk setiap x dalam daftar_x:
  • Untuk setiap y dalam daftar_y:
    • Hitung jumlah = x + y.
    • Jika jumlah < nilai_minimum, maka update nilai_minimum = jumlah dan catat pasangan (x, y).
  • Jika x sendiri sudah lebih besar dari nilai_minimum yang tercatat, iterasi untuk x dapat dihentikan lebih awal karena y minimal adalah 12.
• Pasangan dengan nilai_minimum terakhir adalah solusi yang dicari.

Verifikasi untuk solusi (3, 30):Langkah 1: Periksa kondisi x. x = 3. 3 dibagi 20 adalah 0 dengan sisa 3. Kondisi “x dibagi 20 bersisa 3” terpenuhi.Langkah 2: Periksa kondisi y. y = 30. 30 dibagi 18 adalah 1 dengan sisa 12 (karena 30 – 18 = 12). Kondisi “y dibagi 18 bersisa 12” terpenuhi.Langkah 3: Periksa apakah ada solusi dengan x+y < 33.Kandidat x yang lebih kecil dari 3 tidak ada (karena bilangan asli). Untuk x=3, y harus dari daftar 12, 30, 48,…. y=12 memberikan jumlah 15, tetapi apakah (3,12) diterima? Jika konteks membolehkan hasil bagi 0, maka (3,12) adalah solusi dengan jumlah 15 yang lebih kecil. Namun, sering dalam soal bilangan asli, hasil bagi diharapkan minimal 1, sehingga x=3 (dengan hasil bagi 0) dianggap tidak valid. Jika (3,12) dikesampingkan, maka untuk x=3, y berikutnya adalah 30 dengan jumlah 33.Untuk x=23 (kandidat berikutnya), y terkecil adalah 12, memberikan jumlah 35 yang sudah lebih besar dari 33. Oleh karena itu, tidak ada solusi dengan jumlah antara 15 dan 33 jika (3,12) tidak dianggap. Dengan demikian, (3,30) dengan jumlah 33 adalah solusi minimal berikutnya.

Aplikasi Masalah Modulo Serupa dalam Konteks Permainan Teka-Teki Logika

Struktur masalah pencarian bilangan dengan sisa pembagian tertentu adalah bahan baku yang sempurna untuk merancang teka-teki logika yang menantang. Daya tariknya terletak pada perpaduan antara aturan yang sederhana untuk dipahami dan proses penyelesaian yang memerlukan ketekunan dan wawasan. Dengan mengubah pembagi, sisa, atau menambahkan kondisi ketiga, tingkat kesulitan dapat disesuaikan, dari puzzle untuk pemula hingga tantangan yang memakan waktu bagi penggemar matematika.

Modifikasi seperti menggunakan pembagi bilangan prima dapat mengubah sifat solusi karena KPK-nya menjadi sederhana (perkalian), sementara pembagi yang bukan koprima dapat membuat pola solusi lebih kompleks atau bahkan tidak ada solusi.

Variasi masalah ini juga muncul dalam narasi cerita, seperti mencari jumlah koin dalam peti harta karun, jumlah pasukan dalam formasi, atau tanggal temu janji yang bersesuaian dengan kalender berbeda. Elemen cerita ini mengabstraksikan matematika menjadi sebuah misteri yang harus dipecahkan, membuat konsep modulo menjadi lebih hidup dan aplikatif.

Variasi Masalah dan Kompleksitasnya, Mencari nilai terkecil x + y untuk bilangan asli dengan pembagian 20 dan 18

Variasi ketiga, di mana sisa y bergantung pada nilai x, memperkenalkan lapisan logika tambahan. Ini tidak lagi sekadar mencari irisan dua himpunan independen, tetapi menemukan nilai x yang ketika dimasukkan ke dalam aturan kedua, menghasilkan y yang konsisten dengan kondisi modularnya sendiri.

“Di sebuah kerajaan kuno, terdapat dua ritus penting. Ritus Matahari diadakan setiap 15 tahun sekali, dan upacara terakhir berlangsung pada tahun ke-1 dalam siklusnya. Ritus Bulan diadakan setiap 15 tahun sekali juga, tetapi dimulai agar jumlah tahun sejak Ritus Matahari terakhir selalu tepat 2 tahun. Catatan sejarah menunjukkan bahwa pada suatu tahun di masa lalu, kedua ritus pernah diadakan pada tahun yang sama. Jika tahun ini adalah tahun 2023 dan kita menghitung tahun sejak tahun 0 Masehi, tahun berapakah kemungkinan terjadinya peristiwa langka itu di masa lalu, dengan syarat jumlah tahun sejak Ritus Matahari dan tahun sejak Ritus Bulan (dihitung dari awal siklus masing-masing) adalah paling sedikit? Cari tahun dimana kedua ritus pernah bersamaan dengan total ‘angka tahun dalam siklus’ mereka yang terkecil.”Teka-teki ini memetakan: x = tahun dalam siklus Matahari (≡ 1 mod 15), y = tahun dalam siklus Bulan. Kondisi “jumlah tahun sejak Ritus Matahari terakhir selalu tepat 2 tahun” berarti y ≡ x+2 (mod 15). Kita mencari x dan y (masing-masing antara 1 dan 15) yang memenuhi x ≡ 1 mod 15 dan y ≡ x+2 mod 15, dan meminimalkan x+y.

Ulasan Penutup: Mencari Nilai Terkecil X + y Untuk Bilangan Asli Dengan Pembagian 20 Dan 18

Jadi, perjalanan kita mencari nilai minimal x+y ini lebih dari sekadar hitung-menghitung. Ia adalah bukti bahwa banyak masalah yang tampak kompleks sebenarnya punya struktur rapi di baliknya, menunggu untuk diurai dengan pendekatan yang tepat. Dengan memadukan logika modular, eksplorasi visual, dan sedikit ketekunan, solusi yang paling elegan pun bisa ditemukan. Pelajaran ini tak hanya berhenti di kertas; ia mengajarkan kita untuk mencari pola, menyederhanakan masalah, dan selalu mempertanyakan, “Apakah ini yang paling efisien?” dalam berbagai aspek.

Jawaban untuk Pertanyaan Umum

Apakah solusi untuk x dan y harus berbeda?

Tidak harus. Meskipun dalam banyak kasus solusinya bisa bilangan yang berbeda, secara teori x dan y boleh saja memiliki nilai yang sama asalkan memenuhi kedua kondisi pembagian yang diberikan.

Bagaimana jika pembaginya diganti menjadi bilangan prima, seperti 17 dan 19?

Prinsipnya tetap sama, tetapi perhitungannya bisa lebih langsung karena KPK-nya adalah hasil kali keduanya (323). Seringkali, dengan pembagi prima yang tidak bersekutu, pola solusi menjadi lebih teratur dan jarak antar solusi potensial akan lebih besar.

Apakah metode ini bisa dipakai untuk mencari nilai terbesar x+y?

Secara teori bisa, tetapi nilai terbesar x+y tidak terbatas (tak hingga) karena kita bisa terus menambahkan kelipatan KPK. Pencarian biasanya hanya bermakna untuk nilai terkecil, karena itulah yang unik dan terbatas.

Bisakah masalah ini diselesaikan tanpa menggunakan konsep KPK?

Bisa, misalnya dengan mencoba-coba sistematis (brute force) dalam rentang tertentu. Namun, metode itu tidak efisien dan kurang elegan. Penggunaan KPK adalah kunci untuk menyederhanakan masalah dan memahami pola dasarnya secara mendalam.

Apakah ada kemungkinan tidak ada solusi yang memenuhi kedua kondisi pembagian tersebut?

Untuk masalah dengan format seperti ini (mencari x dan y yang memenuhi sisa pembagian tertentu), hampir selalu ada solusi tak terhingga banyaknya, asalkan tidak ada kontradiksi dalam sistem persamaan modularnya. Syarat utamanya adalah sisa pembagian yang diberikan harus valid (kurang dari pembaginya).