Cara Menghitung √20 + √27 - √45 dengan caranya adalah sebuah petualangan kecil yang mengajak kita melihat keindahan matematika dalam menyederhanakan hal yang tampak rumit. Seringkali kita melihat ekspresi seperti ini dan merasa bingung, padahal kuncinya hanya ada pada satu prinsip mendasar: menyederhanakan sebelum menghitung. Mari kita buka pikiran dan sambut tantangan ini dengan semangat untuk memahami, bukan sekadar menghafal prosedur.
Topik ini akan membimbing kita melalui proses transformasi bilangan akar kuadrat menjadi bentuk yang lebih sederhana, kemudian menggabungkannya dengan tepat. Kita akan belajar bahwa √20, √27, dan √45 bukanlah bilangan acak; mereka menyimpan faktor bilangan kuadrat sempurna di dalamnya yang, setelah dikeluarkan, akan mempermudah perhitungan secara signifikan. Dengan pendekatan sistematis, perhitungan yang tampak kompleks akan berubah menjadi sesuatu yang jelas dan dapat dikerjakan.
Pengantar Ekspresi Akar Kuadrat
Kalau kita lihat ekspresi seperti √20 + √27 – √45, mungkin langsung terasa sedikit menakutkan. Bagaimana cara menjumlahkan dan mengurangkan sesuatu yang ada tanda akarnya? Kuncinya sebenarnya ada pada penyederhanaan. Sebelum kita terjun ke perhitungan, mari kita sepakati dulu apa itu akar kuadrat. Secara sederhana, akar kuadrat dari suatu bilangan adalah nilai yang jika dikuadratkan akan menghasilkan bilangan tersebut.
Misalnya, √9 = 3 karena 3² = 9.
Masalahnya, tidak semua bilangan adalah kuadrat sempurna seperti 9, 16, atau 25. Bilangan seperti 20, 27, dan 45 bukanlah kuadrat sempurna. Untuk menyederhanakan bentuk akar dari bilangan-bilangan ini, kita perlu “mengeluarkan” faktor kuadrat sempurna yang ada di dalamnya. Prinsip dasarnya adalah √(a × b) = √a × √b. Dengan menyederhanakan setiap suku terlebih dahulu, kita sering kali menemukan bahwa bagian akarnya menjadi sama, sehingga operasi penjumlahan dan pengurangan menjadi mungkin, persis seperti menjumlahkan variabel aljabar.
Menyederhanakan Setiap Komponen Ekspresi
Langkah pertama dan paling penting dalam menyelesaikan soal kita adalah memecah setiap akar kuadrat menjadi bentuk yang lebih sederhana, yaitu bentuk a√b, di mana b adalah bilangan bulat terkecil yang mungkin. Untuk melakukan ini, kita cari faktor kuadrat sempurna dari bilangan di dalam akar. Berikut adalah proses detailnya yang dirangkum dalam sebuah tabel untuk kejelasan.
| Bentuk Awal | Faktorisasi Prima | Bentuk Sederhana | Penjelasan Langkah |
|---|---|---|---|
| √20 | √(4 × 5) = √(2² × 5) | 2√5 | Angka 20 dapat difaktorkan menjadi 4 (kuadrat sempurna) dan 5. Akar kuadrat dari 4 adalah 2, sehingga kita “keluarkan” 2 dari dalam akar. |
| √27 | √(9 × 3) = √(3² × 3) | 3√3 | Angka 27 dapat difaktorkan menjadi 9 (kuadrat sempurna) dan 3. Akar kuadrat dari 9 adalah 3, sehingga kita “keluarkan” 3 dari dalam akar. |
| √45 | √(9 × 5) = √(3² × 5) | 3√5 | Angka 45 dapat difaktorkan menjadi 9 (kuadrat sempurna) dan 5. Akar kuadrat dari 9 adalah 3, sehingga kita “keluarkan” 3 dari dalam akar. |
Dari tabel di atas, terlihat jelas bahwa setelah disederhanakan, kita bekerja dengan dua jenis “variabel” akar yang berbeda: √5 dan √3. Identifikasi ini akan sangat menentukan langkah kita selanjutnya.
Prosedur Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Source: z-dn.net
Setelah semua suku disederhanakan, kita masuk ke aturan utama operasi aljabar bentuk akar: kita hanya dapat menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku yang memiliki bagian akar (radikan) yang persis sama. Ini analog dengan menggabungkan 2x + 3x menjadi 5x, tetapi 2x + 3y tidak bisa digabungkan lebih sederhana.
Mari kita bandingkan hasil penyederhanaan dari bagian sebelumnya: √20 menjadi 2√5, √27 menjadi 3√3, dan √45 menjadi 3√5. Sekarang ekspresi awal kita berubah menjadi 2√5 + 3√3 – 3√5. Perhatikan bahwa suku 2√5 dan -3√5 memiliki bagian akar yang sama, yaitu √5. Sementara itu, 3√3 berdiri sendiri dengan bagian akar √3. Dengan demikian, kita hanya dapat mengoperasikan suku-suku yang mengandung √5.
Perhitungan Langkah demi Langkah, Cara Menghitung √20 + √27 - √45 dengan caranya
Sekarang kita siap untuk melakukan perhitungan akhir. Dengan menggabungkan aturan penyederhanaan dan penjumlahan suku sejenis, prosesnya menjadi sangat sistematis dan jelas.
√20 + √27 – √45 = 2√5 + 3√3 – 3√5
Setelah semua suku ditulis dalam bentuk sederhana, kita kelompokkan suku-suku sejenis. Suku sejenis adalah 2√5 dan -3√5. Suku 3√3 tidak memiliki pasangan, sehingga ia tetap ditulis sebagai 3√3.
= (2√5 – 3√5) + 3√3
Kita lakukan operasi pada koefisien dari √5: 2 – 3 = -1. Jadi, (2√5 – 3√5) hasilnya adalah -1√5, yang biasanya ditulis sebagai -√5.
= -√5 + 3√3
Hasil akhir ini sudah paling sederhana karena √5 dan √3 adalah bilangan yang berbeda dan tidak dapat digabungkan lebih lanjut. Urutan penulisan bisa saja 3√3 – √5, yang juga benar. Kesalahan umum yang sering terjadi adalah mencoba menjumlahkan langsung bentuk akar tanpa menyederhanakannya terlebih dahulu, misalnya mengira √20 + √27 = √47, yang sama sekali tidak benar. Kesalahan lain adalah menggabungkan suku yang tidak sejenis, seperti menganggap √5 dan √3 bisa dijumlahkan.
Visualisasi Konsep dan Aplikasi
Untuk membayangkan makna dari operasi ini, kita bisa menggunakan analogi geometri. Bayangkan kita memiliki tiga persegi. Persegi pertama memiliki luas 20 satuan luas, sehingga panjang sisinya adalah √20. Persegi kedua luasnya 27 (sisi = √27), dan persegi ketiga luasnya 45 (sisi = √45). Ekspresi √20 + √27 – √45 tidak secara harfiah berarti menjumlahkan sisi-sisinya, tetapi dalam konteks aljabar, setelah disederhanakan menjadi 3√3 – √5, kita sedang membandingkan besaran yang direpresentasikan oleh akar-akar tersebut.
Aplikasi perhitungan bentuk akar seperti ini sangat lazim ditemui dalam geometri, terutama dalam teorema Pythagoras. Misalnya, mencari panjang sisi miring atau diagonal dari suatu bangun datar sering kali menghasilkan bentuk akar yang perlu disederhanakan dan dioperasikan. Dalam fisika, perhitungan vektor atau besaran tertentu juga dapat menghasilkan bentuk serupa. Untuk melatih pemahaman, cobalah beberapa latihan berikut dengan tingkat kesulitan yang beragam.
- Tingkat Dasar: Sederhanakan dan hitung √18 + √50 – √8.
- Tingkat Menengah: Hitung nilai dari 2√12 – √75 + √48.
- Tingkat Lanjut: Jika panjang diagonal sebuah persegi panjang adalah √80 cm dan salah satu sisinya adalah 2√5 cm, tentukan panjang sisi yang lain.
Ringkasan Akhir: Cara Menghitung √20 + √27 - √45 Dengan Caranya
Jadi, perjalanan kita dalam menghitung √20 + √27 - √45 telah sampai pada titik terang. Proses ini mengajarkan lebih dari sekadar mendapatkan hasil akhir √5 + 3√3; ini adalah pelajaran tentang pentingnya melihat struktur di balik kerumitan. Setiap masalah matematika, seperti banyak hal dalam hidup, menjadi lebih mudah ketika kita berani memecahnya, menyederhanakannya, dan kemudian menyusunnya kembali dengan pemahaman yang lebih baik. Teruslah berlatih, karena setiap soal yang diselesaikan memperkuat fondasi logika dan ketelitian kita.
Pertanyaan yang Sering Muncul
Apakah hasil akhir dari operasi bentuk akar seperti ini selalu dalam bentuk akar juga?
Tidak selalu. Terkadang, setelah penyederhanaan dan operasi, bagian akarnya bisa hilang jika bertemu dengan pasangan yang sama namun berlawanan tanda, atau jika semua suku dapat disederhanakan menjadi bilangan bulat. Namun, untuk kasus seperti soal ini, hasilnya sering kali tetap mengandung bentuk akar yang tidak dapat disederhanakan lebih lanjut.
Mengapa kita tidak boleh langsung menjumlahkan atau mengurangkan bilangan di dalam akar, misalnya √20 + √27 dihitung sebagai √47?
Karena akar kuadrat bukan operasi linear. √a + √b tidak sama dengan √(a+b). Itu adalah kesalahan umum. Analoginya, seperti mencampur 2 apel dan 3 jeruk, hasilnya bukan 5 apel-jeruk, tetapi tetap 2 apel dan 3 jeruk yang terpisah. Kita hanya bisa menggabungkan bentuk akar jika bagian akarnya persis sama.
Bagaimana jika dalam soal ada koefisien angka di depan bentuk akar, seperti 2√5 + 3√5?
Prinsipnya tetap sama: hanya koefisien di depannya yang dijumlahkan atau dikurangkan, asalkan bagian akarnya identik. Jadi, 2√5 + 3√5 = (2+3)√5 = 5√5. Proses ini mirip dengan menggabungkan variabel yang sama dalam aljabar, seperti 2x + 3x = 5x.
Apakah metode penyederhanaan ini hanya berlaku untuk akar kuadrat (√) atau juga untuk akar pangkat lainnya?
Prinsip dasarnya serupa untuk akar pangkat tiga (∛) atau lebih tinggi, yaitu mencari faktor pangkat sempurna (seperti kubik sempurna untuk ∛) di dalam bilangan tersebut. Namun, aturan penjumlahan dan pengurangan tetap: hanya suku dengan jenis akar dan bilangan di dalam akar yang identik yang dapat digabungkan.
