Contoh Soal dan Jawaban Dilatasi Horizontal Panduan Lengkap

Contoh Soal dan Jawaban Dilatasi Horizontal seringkali jadi titik yang membuat kita sedikit mengerutkan dahi saat mempelajari transformasi geometri. Bayangkan kamu punya sebuah gambar atau grafik di kertas, lalu kamu menarik atau menekannya secara horizontal dari suatu pusat tertentu—itulah inti dari dilatasi horizontal. Konsep ini bukan sekadar teori belaka, melainkan alat yang powerful untuk memahami bagaimana bentuk suatu fungsi atau objek berubah ketika kita mengubah faktor skalanya, dan memahami perbedaannya dengan dilatasi vertikal adalah kunci utamanya.

Melalui pembahasan yang detail, kita akan mengupas tuntas mulai dari rumus dasar, efek faktor skala yang berbeda, hingga langkah sistematis menyelesaikan berbagai variasi soal. Dilengkapi dengan visualisasi grafik dan contoh penerapan nyata, panduan ini dirancang untuk mengubah konsep yang awalnya terasa abstrak menjadi sesuatu yang konkret dan mudah dipraktikkan, baik untuk menyelesaikan soal titik, garis, maupun fungsi yang lebih kompleks.

Pengantar dan Konsep Dasar Dilatasi Horizontal

Source: quipper.com

Dalam dunia transformasi geometri, dilatasi sering kita bayangkan sebagai perbesaran atau pengecilan. Tapi, coba bayangkan sebuah gambar diregangkan atau dikecilkan hanya ke arah samping, seperti menarik karet secara horizontal. Itulah inti dari dilatasi horizontal. Transformasi ini mengubah jarak titik-titik terhadap sumbu-Y, sementara koordinat vertikalnya tetap tak tersentuh. Konsep ini bukan hanya abstraksi matematika, tapi sangat berguna dalam kompresi data gambar, desain grafis, dan analisis fungsi.

Perbedaan utama dengan dilatasi vertikal terletak pada sumbu yang dipengaruhi. Jika dilatasi horizontal “memainkan” koordinat x dengan faktor skala, maka dilatasi vertikal bekerja pada koordinat y. Keduanya adalah saudara kembar yang serupa tapi tak sama. Rumus dasarnya cukup elegan. Untuk faktor skala k terhadap pusat (0,0), bayangan dari titik (x, y) adalah (k
– x, y).

Ketika berhadapan dengan persamaan fungsi, misalnya y = f(x), bayangan setelah dilatasi horizontal dengan faktor skala k adalah y = f(x/k). Ingat, di sini kita bagi variabel x dengan k di dalam fungsi, bukan mengalikannya.

Perbandingan Efek Faktor Skala k

Nilai faktor skala k menentukan sifat transformasi yang terjadi. Perubahan ini bisa membuat grafik menyempit, melebar, atau bahkan berubah orientasi. Tabel berikut merangkum efeknya secara visual dan konseptual.

Prosedur dan Langkah Pengerjaan: Contoh Soal Dan Jawaban Dilatasi Horizontal

Menyelesaikan soal dilatasi horizontal terasa lebih mudah jika kita punya peta langkah yang jelas. Pendekatan sistematis mencegah kebingungan, terutama saat soal mulai bercampur dengan transformasi lain. Mari kita uraikan prosedurnya dari level paling dasar hingga penerapan pada fungsi.

Langkah Menemukan Bayangan Titik

Misalkan kita punya titik A(x, y) dan akan didilatasikan horizontal dengan faktor skala k dan pusat di O(0,0). Prosedurnya sangat langsung:

1. Identifikasi koordinat awal (x, y) dan faktor skala k.
2. Kalikan koordinat x dengan faktor skala k. Koordinat y dibiarkan tetap.
3. Tuliskan bayangan titik sebagai A'(k*x, y).
4. Jika pusat dilatasi bukan (0,0), misal (a, b), geser dulu titik agar pusat menjadi (0,0), lakukan dilatasi, lalu geser kembali.

Prosedur Mencari Bayangan Persamaan Garis atau Fungsi

Untuk persamaan, prosesnya melibatkan manipulasi aljabar. Prinsipnya: kita ingin menyatakan variabel lama dalam variabel baru. Berikut rinciannya:

• Misal fungsi awal: y = f(x). Dilatasi horizontal dengan faktor k menghasilkan bayangan y’ = f(x’/k).
• Langkah praktis: Ganti setiap variabel x dalam persamaan awal dengan (x/k). Biarkan y tetap.
• Sederhanakan persamaan baru tersebut untuk mendapatkan y sebagai fungsi dari x.

Sebagai contoh, untuk garis 2y = 4x + 6, ganti x dengan (x/k). Hasilnya 2y = 4(x/k) + 6.

Panduan Mengidentifikasi Jenis Dilatasi

Terkadang soal cerita menyamarkan jenis dilatasi. Beberapa petunjuk ini bisa membantu:

• Fokus pada perubahan dimensi horizontal: frasa seperti “lebar diperbesar 2 kali”, “dikompresi secara mendatar”, atau “diregangkan ke samping” mengindikasikan dilatasi horizontal.
• Perhatikan sumbu acuan: Jika perubahan diukur relatif terhadap sumbu vertikal (garis/titik di kiri-kanan), kemungkinan besar horizontal.
• Dalam konteks fungsi, lihat variabel yang dimanipulasi. Jika aturan fungsi berubah terkait input x (seperti f(2x) atau f(x/3)), itu adalah isyarat kuat untuk dilatasi horizontal.

Variasi Contoh Soal dan Penyelesaian

Teori tanpa praktik bagai kapal tanpa kompas. Mari kita lihat bagaimana konsep dilatasi horizontal diterapkan dalam berbagai tingkat kesulitan soal. Mulai dari yang sederhana hingga yang membutuhkan analisis lebih dalam.

Penerapan dalam Konteks Masalah Nyata

Bayangkan kamu sedang mendesain logo di software grafis. Logo awal berbentuk lingkaran sempurna. Kemudian, kamu menggunakan tool “Scale” dan hanya menarik handle samping, sehingga logo menjadi bentuk oval yang lebih lebar.

Tanpa sadar, kamu telah menerapkan dilatasi horizontal pada semua titik dalam logo tersebut. Dalam pemrosesan sinyal, kompresi data audio terkadang menggunakan prinsip serupa untuk meregangkan atau menekan gelombang secara horizontal (domain waktu).

Tips Penting: Selalu perhatikan posisi variabel x. Dalam dilatasi horizontal, penggantiannya adalah x → x/k. Kesalahan umum adalah menulis x → k*x, yang justru merupakan invers dari transformasi yang dimaksud. Ingat, kita mencari bayangan (x’), di mana x’ = kx. Maka x = x’/k.

Visualisasi dan Interpretasi Grafik

Memahami perubahan grafik secara visual adalah kunci untuk menguasai konsep ini. Bayangkan grafik fungsi digambar di atas karet yang sangat elastis. Dilatasi horizontal berarti kita menarik atau mendorong karet tersebut ke arah kiri dan kanan.

Ambil contoh fungsi kuadrat sederhana y = x². Grafiknya adalah parabola yang terbuka ke atas dengan puncak di (0,0). Jika kita terapkan dilatasi horizontal dengan k=2, persamaannya menjadi y = (x/2)² = x²/4. Apa yang terjadi? Untuk menghasilkan nilai y yang sama, misalnya y=1, fungsi awal butuh x=±1.

Pada fungsi bayangan, agar y=1, diperlukan x=±2. Artinya, grafik menjadi lebih “landai” dan melebar secara horizontal. Puncaknya tetap di (0,0), tetapi tubuh parabola terentang ke samping.

Perbandingan Grafik Awal dan Bayangan

Mari kita deskripsikan perbandingan antara grafik fungsi f(x) dan bayangan g(x) = f(x/k) untuk k > 1. Setiap titik (a, f(a)) pada grafik f akan berpindah ke titik (k*a, f(a)) pada grafik g. Perhatikan, nilai y-nya identik, tetapi posisi x-nya bergeser menjauh dari sumbu-Y jika a positif. Hasilnya, grafik g terlihat seperti versi f yang diregangkan ke arah kiri dan kanan.

Titik potong dengan sumbu-Y (saat x=0) selalu tetap karena 0 dikali k tetap 0. Sementara titik potong dengan sumbu-X (akar fungsi) akan berubah posisinya, karena akar dari f(x/k) adalah k kali akar dari f(x).

Karakteristik Grafik Pasca-Dilatasi

Transformasi ini mengubah beberapa karakteristik grafik secara spesifik:

• Asimtot Vertikal: Jika fungsi awal memiliki asimtot vertikal di x = c, maka setelah dilatasi horizontal dengan faktor k, asimtot vertikal yang baru akan berada di x = k*c.
• Periodisitas: Untuk fungsi periodik seperti sinus, dilatasi horizontal mengubah periodenya. Periode baru = periode lama
  – k. Jadi, untuk y = sin(x) yang didilatasi dengan k=2 menjadi y = sin(x/2), periodenya berubah dari 2π menjadi 4π.
• Kesimetrisan: Sifat simetri terhadap sumbu-Y akan dipertahankan. Jika fungsi awal genap [f(-x)=f(x)], fungsi bayangan juga akan genap.

Latihan dan Aplikasi Lanjutan

Setelah mempelajari teori dan contoh, saatnya mengasah kemampuan dengan berlatih. Soal-soal berikut dirancang untuk menguji pemahaman mendalam dan aplikasi konsep dalam situasi yang lebih kompleks.

Soal Latihan Mandiri

1. Titik Q(-4, 7) didilatasikan horizontal dengan faktor skala -2. Koordinat bayangannya adalah…
2. Persamaan garis 3x – 4y = 12 didilatasi horizontal dengan faktor 1/3. Persamaan bayangan yang tepat adalah…
3. Fungsi eksponen y = 2^x mengalami dilatasi horizontal sehingga melalui titik (2, 4). Faktor skala k yang digunakan adalah…
4. Bayangan dari fungsi nilai mutlak y = |x + 1| setelah dilatasi horizontal k = 3 dan pusat (0,0) adalah…
5. Jika parabola y = x²
   

   4x didilatasi horizontal dengan k = 2, koordinat titik puncak bayangannya adalah…

Kunci Jawaban Akhir: 1. Q'(8, 7); 2. x – 4y = 12; 3. k = 1/2; 4. y = |x/3 + 1|; 5.

(4, -4).

Kesalahan Umum dan Perbaikannya

Beberapa jebakan sering ditemui. Pertama, terbalik dalam rumus fungsi. Ingat, untuk mendapatkan bayangan y = f(x) setelah dilatasi horizontal, ganti x dengan (x/k), bukan (k*x). Kedua, lupa memperhitungkan tanda negatif pada k. Faktor skala negatif menghasilkan refleksi, yang sering terlupakan saat menyederhanakan persamaan.

Ketiga, saat dilatasi tidak berpusat di (0,0). Banyak yang langsung mengalikan koordinat tanpa menggeser pusat terlebih dahulu. Prosedur yang benar: translasi agar pusat ke (0,0) → lakukan dilatasi → translasi kembali.

Soal Eksplorasi: Kombinasi Transformasi, Contoh Soal dan Jawaban Dilatasi Horizontal

Sebuah segitiga dengan titik sudut A(1,2), B(1,4), dan C(3,3) mengalami serangkaian transformasi berurutan: pertama, translasi oleh vektor (-1, -1). Kemudian, hasilnya didilatasikan horizontal dengan faktor skala 2 dan pusat (0,0). Terakhir, dilakukan refleksi terhadap sumbu-X. Tentukan koordinat akhir dari titik sudut A setelah seluruh transformasi selesai.

Petunjuk: Kerjakan step-by-step. Hasil translasi: A'(0,1), B'(0,3), C'(2,2). Dilatasi horizontal pada A’: (2*0, 1) = (0,1). Refleksi terhadap sumbu-X pada (0,1): A”(0, -1).

Penutupan Akhir

Jadi, setelah menelusuri serangkaian contoh dan penjelasan mendalam tentang dilatasi horizontal, terlihat jelas bahwa penguasaan konsep ini membuka pemahaman yang lebih luas tentang perilaku fungsi dan geometri. Latihan secara konsisten dengan soal-soal yang bervariasi, mulai dari yang mudah hingga yang menggabungkan transformasi lain, akan mengasah intuisi matematika kita. Pada akhirnya, kemampuan mengidentifikasi dan menerapkan dilatasi horizontal bukan hanya untuk menjawab soal ujian, tetapi juga untuk menganalisis perubahan dan skala dalam berbagai fenomena, baik di dunia akademik maupun aplikasinya di kehidupan nyata.

Sudut Pertanyaan Umum (FAQ)

Apakah dilatasi horizontal bisa mengubah orientasi atau arah grafik?

Ya, tetapi hanya jika faktor skala (k) bernilai negatif. Grafik akan berubah orientasi secara horizontal, seperti dicerminkan terhadap sumbu Y sebelum diregangkan atau dikecilkan.

Bagaimana jika pusat dilatasi horizontal bukan di (0,0)?

Rumusnya menjadi lebih kompleks. Untuk titik (x,y) didilatasi horizontal dengan faktor k dan pusat (a,0), bayangannya adalah (k(x – a) + a, y). Intinya, kita menggeser sistem koordinat sehingga pusatnya seolah-olah di (0,0), melakukan dilatasi, lalu menggesernya kembali.

Dalam soal cerita, bagaimana cara membedakan perintah untuk dilatasi horizontal dan vertikal?

Perhatikan kata kuncinya. “Melebar” atau “menyempit” secara mendatar/horizontal biasanya mengarah pada dilatasi horizontal. Sementara “memanjang” atau “memendek” secara tegak/vertikal mengarah pada dilatasi vertikal. Perhatikan juga objek yang diubah: jika lebar suatu bidang yang berubah, itu horizontal.

Apakah mungkin suatu fungsi hasil dilatasi horizontal menjadi fungsi yang sama sekali baru jenisnya?

Tidak, dilatasi horizontal tidak mengubah jenis fungsi dasarnya. Fungsi kuadrat tetap kuadrat, fungsi eksponen tetap eksponen. Yang berubah adalah parameter lebarnya atau periodenya (untuk fungsi trigonometri), bukan jenis kurvanya.

Bagaimana hubungan antara dilatasi horizontal dengan kompresi dan peregangan grafik?

Kedua istilah itu adalah deskripsi dari efek dilatasi. Jika 0 < k < 1, terjadi kompresi (penyempitan) horizontal. Jika k > 1, terjadi peregangan (pelebaran) horizontal. Jadi, kompresi dan peregangan adalah bagian dari operasi dilatasi horizontal.