Pengurangan Akar Kuadrat 20 dan 5 seringkali dianggap sekadar hitungan kalkulator, padahal di baliknya ada logika matematika yang rapi dan penerapan yang cukup nyata. Mari kita telusuri bersama, bukan hanya untuk mendapatkan jawaban akhir, tetapi untuk memahami ‘rasa’ dari setiap langkah penyederhanaan dan operasinya. Proses ini mengajak kita berpikir lebih dalam tentang sifat bilangan irasional dan bagaimana mereka berinteraksi dalam dunia angka yang tidak selalu bulat.
Pada dasarnya, mengurangkan bentuk akar seperti √20 dan √5 memerlukan pendekatan khusus karena mereka bukan bilangan biasa. Sebelum operasi pengurangan bisa dilakukan, kita perlu menyederhanakan bentuk akar ke dalam bentuk paling dasar untuk melihat apakah mereka memiliki ‘kesamaan’ yang memungkinkan pengurangan langsung. Inilah titik awal dimana matematika menunjukkan keanggunannya, mengubah yang tampak rumit menjadi struktur yang lebih sederhana dan mudah dipahami.
Konsep Dasar Pengurangan Bentuk Akar
Source: slidesharecdn.com
Operasi pengurangan pada bentuk akar, seperti √20 – √5, bukanlah sekadar memotong angka di dalam tanda akar. Ini adalah operasi aljabar yang memiliki aturan mainnya sendiri. Sama seperti kita tidak bisa mengurangkan 3 apel dengan 2 jeruk dan menyebut hasilnya “1 buah”, kita juga tidak bisa langsung mengurangkan angka di dalam akar jika akar-akarnya tidak sejenis. Konsep utamanya adalah menyederhanakan bentuk akar ke bentuk paling dasar terlebih dahulu, baru kemudian melihat kemungkinan untuk melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan.
Bentuk akar seperti √20 dan √5 memiliki karakteristik yang berbeda dengan bilangan bulat atau pecahan biasa. Mereka mewakili bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana dan memiliki desimal yang tidak berulang. Namun, mereka tetap mematuhi hukum aljabar. Perbedaan mendasar terletak pada penyederhanaan; √20 dapat dipecah karena 20 memiliki faktor kuadrat sempurna (4), sedangkan √5 sudah merupakan bentuk paling sederhana karena 5 adalah bilangan prima.
Karakteristik dan Contoh Bentuk Akar
Untuk memahami perbedaan, mari lihat contoh langsung. Pengurangan bentuk akar sejenis, seperti 5√3 – 2√3, dapat langsung dilakukan karena bagian akarnya identik, menghasilkan 3√3. Ini mirip dengan 5x – 2x = 3x. Sebaliknya, untuk bentuk yang tidak sejenis seperti √8 – √2, kita harus menyederhanakan √8 menjadi 2√2 terlebih dahulu. Setelah penyederhanaan, kita baru menyadari bahwa operasi menjadi 2√2 – √2 = √2.
Tanpa langkah penyederhanaan itu, kita mungkin mengira pengurangan tidak mungkin dilakukan.
Penyederhanaan Bentuk Akar Sebelum Operasi
Penyederhanaan bentuk akar adalah kunci untuk membuka kemungkinan operasi aljabar. Proses ini memanfaatkan aturan fundamental bahwa akar kuadrat dari suatu perkalian sama dengan perkalian dari akar kuadratnya, atau √(a × b) = √a × √b. Dengan aturan ini, kita mencari faktor dari bilangan di dalam akar yang merupakan bilangan kuadrat sempurna (seperti 4, 9, 16, 25, dan seterusnya).
Langkah Menyederhanakan √20
Mari kita bedah √
20. Pertama, faktorkan 20 menjadi bilangan-bilangan primanya: 20 = 2 × 2 × 5, atau 20 = 4 × 5. Karena 4 adalah kuadrat sempurna (2²), kita dapat menulis ulang √20 menjadi √(4 × 5). Berdasarkan aturan perkalian dalam akar, ini setara dengan √4 × √5. Karena √4 = 2, maka bentuk sederhana dari √20 adalah 2√5.
Penyederhanaan ini mengubah bentuk akar yang tampak kompleks menjadi lebih mudah diolah.
Aturan Dasar: √(a × b) = √a × √b, asalkan a dan b ≥ 0. Aturan ini adalah senjata utama untuk menyederhanakan bentuk akar.
Berikut adalah tabel perbandingan untuk melihat pola penyederhanaan beberapa bilangan:
| Bilangan | Faktor Prima & Kuadrat | Bentuk Akar Sederhana | Nilai Desimal (Pendekatan) |
|---|---|---|---|
| 20 | 4 × 5 | 2√5 | 4.4721 |
| 18 | 9 × 2 | 3√2 | 4.2426 |
| 12 | 4 × 3 | 2√3 | 3.4641 |
| 5 | 5 (prima) | √5 | 2.2361 |
Mengapa √5 Sudah Paling Sederhana
Bilangan 5 adalah bilangan prima. Satu-satunya faktor positifnya adalah 1 dan 5 itu sendiri. Karena 1 bukanlah kuadrat sempurna selain 1², dan 5 juga bukan kuadrat sempurna, maka √5 tidak dapat dipecah lagi menjadi perkalian akar yang lebih sederhana. Ia sudah berada dalam bentuk yang paling rasional, atau sering disebut sebagai bentuk akar paling sederhana. Tidak ada bilangan kuadrat sempurna (selain 1) yang dapat membagi 5.
Prosedur Pengurangan √20 – √5
Dengan pemahaman tentang penyederhanaan, prosedur pengurangan √20 dan √5 menjadi jelas dan terstruktur. Tujuan akhirnya adalah menyatakan hasil dalam bentuk akar yang paling sederhana. Proses ini melibatkan identifikasi, penyederhanaan, dan pengoperasian bagian yang sejenis.
Langkah-langkah Kunci Perhitungan
Berikut adalah rangkaian langkah sistematis untuk menyelesaikan √20 – √5:
- Identifikasi dan sederhanakan bentuk akar yang dapat disederhanakan. Dalam soal ini, √20 dapat disederhanakan.
- Ubah √20 menjadi bentuk sederhananya, yaitu 2√5.
- Tulis ulang soal pengurangan dengan bentuk yang telah disederhanakan: 2√5 – √5.
- Perhatikan bahwa sekarang kita memiliki bentuk akar yang sejenis, yaitu √
5. Lakukan pengurangan pada koefisien di depan akar tersebut: (2 – 1)√5. - Sederhanakan menjadi 1√5, yang biasanya ditulis sebagai √5.
Contoh Perhitungan Lengkap
√20 – √5 =
√(4 × 5)√5 =
(√4 × √5)
√5 =
(2 × √5)
- √5 =
- √5 – 1√5 =
(2 – 1)√5 =
√5
Penjelasan setiap tahap: Tahap pertama memfaktorkan 20. Tahap kedua menerapkan aturan perkalian akar. Tahap ketiga menghitung √4. Tahap keempat menuliskan √5 sebagai 1√5 untuk kejelasan. Tahap kelima mengurangkan koefisien.
Tahap keenam menghasilkan bentuk paling sederhana.
Kesalahan Umum dan Pencegahannya
Kesalahan paling umum adalah mencoba langsung mengurangkan angka di dalam akar, misalnya mengira √20 – √5 = √15. Ini salah karena sifat akar tidak linear seperti itu. Kesalahan lain adalah lupa menyederhanakan bentuk akar terlebih dahulu, sehingga menganggap √20 – √5 sebagai bentuk akhir yang tidak dapat dioperasikan. Cara menghindarinya adalah selalu berdisiplin untuk menyederhanakan setiap bentuk akar dalam soal sebelum memutuskan untuk menjumlahkan atau mengurangkannya.
Lihatlah bagian akarnya (setelah disederhanakan), bukan angka di dalam akar mentah.
Aplikasi dalam Contoh Soal dan Geometri: Pengurangan Akar Kuadrat 20 Dan 5
Penguasaan operasi pengurangan bentuk akar bukan hanya untuk menyelesaikan soal aljabar abstrak. Konsep ini memiliki penerapan praktis, khususnya dalam geometri, di mana panjang sisi, diagonal, atau jarak seringkali melibatkan bentuk akar yang berasal dari teorema Pythagoras.
Variasi Contoh Soal
Berikut tiga contoh soal dengan tingkat kesulitan berbeda yang melibatkan prinsip yang sama.
| Soal | Penyederhanaan Awal | Proses Pengurangan | Hasil Akhir |
|---|---|---|---|
| √45 – √20 | √45 = 3√5, √20 = 2√5 | 3√5 – 2√5 | √5 |
| √75 + √12 – √27 | √75=5√3, √12=2√3, √27=3√3 | 5√3 + 2√3 – 3√3 | 4√3 |
| 2√20 – √5 + √125 | 2√20=4√5, √125=5√5 | 4√5 – √5 + 5√5 | 8√5 |
Penerapan dalam Konteks Geometri
Bayangkan sebuah persegi panjang dengan panjang 5 cm dan lebar √5 cm. Panjang diagonalnya dapat dihitung dengan teorema Pythagoras: √(5² + (√5)²) = √(25 + 5) = √30. Sekarang, misalkan ada persegi panjang lain dengan diagonal √20 cm dan lebar √5 cm. Untuk mencari selisih panjang kedua persegi panjang tersebut, kita mungkin perlu menghitung √20 – √5 setelah menyederhanakan √20 menjadi 2√5.
Hasilnya, √5, bisa saja merupakan selisih panjang sisi tertentu dalam soal cerita.
Masalah Cerita, Pengurangan Akar Kuadrat 20 dan 5
Seorang tukang kayu memotong sebatang kayu berbentuk persegi dengan luas 20 dm². Dari kayu yang sama, ia ingin membuat bingkai dengan lebar bagian dalam yang membutuhkan potongan kayu sepanjang √5 dm. Setelah memotong bagian untuk bingkai tersebut, berapakah kira-kira panjang sisi sisa kayu persegi yang masih dapat digunakan? Solusinya: Sisi persegi awal adalah √20 dm = 2√5 dm. Setelah dipotong √5 dm, sisa panjang kayu yang bisa digunakan adalah 2√5 – √5 = √5 dm.
Visualisasi dan Pendekatan Numerik
Memahami bentuk akar secara numerik dan visual membantu membangun intuisi tentang besaran bilangan-bilangan ini. Meskipun hasil akhir √20 – √5 adalah √5, melihatnya dalam garis bilangan dan nilai desimal memberikan perspektif yang lebih konkret.
Ilustrasi pada Garis Bilangan
Bayangkan sebuah garis bilangan. Titik √5 terletak kira-kira di angka 2.236. Titik √20 (atau 2√5) terletak di dua kali jarak itu dari nol, yaitu sekitar 4.472. Operasi pengurangan √20 – √5 secara geometris berarti mencari jarak antara titik 4.472 dan titik 2.236 pada garis bilangan. Jarak itu adalah 4.472 – 2.236 = 2.236, yang kembali ke titik √5.
Jadi, pengurangan ini memindahkan kita dari titik 2√5 mundur sejauh √5, dan berhenti tepat di √5.
Perbandingan Nilai Desimal dan Analisis
Mari kita lihat nilai pendekatan desimalnya:
√20 ≈ 4.472135955
√5 ≈ 2.236067977
Hasil pengurangan (√20 – √5) ≈ 2.236067978
Nilai ini hampir identik dengan √5. Selisih yang sangat kecil (dalam orde 10⁻⁹) pada digit terakhir adalah akibat pembulatan dalam perhitungan desimal. Ini secara numerik membuktikan bahwa 2√5 – √5 memang benar-benar sama dengan √5.
Diagram Hubungan Kuadrat
Pikirkan sebuah persegi dengan luas 20 satuan. Sisi persegi itu adalah √20. Di dalamnya, dapat digambarkan sebuah persegi kecil dengan luas 5 satuan, yang sisinya adalah √5. Hubungannya, luas persegi besar (20) adalah empat kali luas persegi kecil (5) karena 20 = 4 × 5. Oleh karena itu, sisi persegi besar (√20) adalah dua kali sisi persegi kecil (√5), karena √(4×5) = 2√5.
Pengurangan √20 – √5 secara visual seperti mengukur sisa panjang jika sisi persegi besar dikurangi dengan satu sisi persegi kecil.
Pendekatan Estimasi Cepat
Tanpa kalkulator, kita bisa mengestimasi √20 – √
5. Kita tahu √4=2 dan √9=3, jadi √5 sedikit di atas 2.
2. Kita juga tahu √16=4 dan √25=5, jadi √20 sekitar tengah-tengah 4.4 dan 4.5 (karena 20 lebih dekat ke 16 daripada 25). Jadi, √20 ≈ 4.47 dan √5 ≈ 2.
24. Estimasi cepat: 4.47 – 2.24 = 2.
23. Kita tahu hasil pastinya adalah √5, dan 2.23 adalah pendekatan yang sangat baik untuk nilai √
5. Estimasi ini mengonfirmasi logika aljabar kita.
Kesimpulan
Jadi, perjalanan mengurai Pengurangan Akar Kuadrat 20 dan 5 membawa kita pada sebuah kesadaran: matematika bukanlah sekadar penghitungan kering. Dari penyederhanaan √20 hingga pengurangan akhir yang menghasilkan 2√5 – √5, setiap langkah adalah cerita tentang efisiensi dan logika. Nilai akhir, √5 atau sekitar 2.236, lebih dari sekadar angka; ia adalah bukti bahwa dari proses yang terstruktur, kita bisa mendapatkan hasil yang elegan dan aplikatif, baik dalam teori maupun dalam menyelesaikan masalah geometri di dunia nyata.
Informasi Penting & FAQ
Apakah hasil √20 – √5 bisa ditulis sebagai bilangan bulat?
Tidak, hasilnya adalah bilangan irasional (√5) yang bentuk desimalnya tidak berulang dan tidak terhenti, sehingga tidak dapat diubah menjadi bilangan bulat.
Mengapa √20 harus disederhanakan dulu sebelum dikurang √5?
Penyederhanaan mengungkap faktor persekutuan. √20 disederhanakan menjadi 2√5, sehingga pengurangan dengan √5 menjadi mungkin seperti 2x – x, yang hasilnya adalah √5.
Bisakah operasi ini diterapkan dalam kehidupan sehari-hari?
Ya, contohnya dalam geometri atau desain, seperti menghitung selisih panjang diagonal dua persegi panjang dengan spesifikasi sisi tertentu yang melibatkan akar kuadrat.
Apakah √20 – √5 sama dengan √(20-5) atau √15?
Sama sekali tidak. Operasi pengurangan tidak bisa dikerjakan di dalam akar seperti itu. √20 – √5 dan √15 adalah dua nilai yang sangat berbeda.
Bagaimana cara cepat mengestimasi nilai √20 – √5 tanpa kalkulator?
Ketahui bahwa √4=2, √9=3, jadi √5 sekitar 2.2 dan √16=4, √25=5, jadi √20 sekitar 4.
5. Estimasi kasar: 4.5 – 2.2 = 2.3, mendekati nilai sebenarnya √5 ≈ 2.236.
