Diketahui persamaan kuadrat x^2 + 2x – 15 = 0. Tentukan himpunan penyelesaian atau nilai x1 dan x2, dengan metode : a. Faktorisasi b. Rumus kuadrat/r – Diketahui persamaan kuadrat x^2 + 2x – 15 =
0. Tentukan himpunan penyelesaian atau nilai x1 dan x2, dengan metode : a. Faktorisasi b. Rumus kuadrat/r. Nah, kalau lihat soal kayak gini, jangan langsung panik dan bikin kepala cenut-cenut.
Persamaan kuadrat itu sebenarnya teman lama yang sering kita temui, cuma kadang kita lupa cara ngobrolnya. Bayangin aja, bentuk ax² + bx + c = 0 ini adalah bahasa aljabar untuk menggambarkan lengkungan parabola, lintasan bola, atau bahkan perhitungan untung-rugi bisnis sederhana. Memahami cara mencari akar-akarnya sama seperti punya kunci untuk membuka misteri di balik angka-angka itu.
Pada intinya, himpunan penyelesaian atau nilai x1 dan x2 adalah titik-titik di mana persamaan itu menjadi benar alias nol. Dalam konteks grafik, itulah titik di mana parabola menyentuh atau memotong sumbu X. Sekarang, kita punya dua jurus andalan untuk menemukan titik-titik sakti tersebut: faktorisasi yang mengandalkan kecerminan mencari pasangan bilangan, dan rumus ABC yang lebih mirip mantra sakti serba bisa.
Mari kita bedah satu per satu dengan santai tapi tetap serius, biar pemahamannya nempel kuat di kepala.
Pengantar dan Konsep Dasar Persamaan Kuadrat
Kalau kita ngomongin persamaan kuadrat, mungkin yang keinget adalah rumus ABC yang panjang itu. Tapi sebenarnya, konsepnya sederhana dan sering banget muncul, baik di pelajaran matematika maupun di sekitar kita. Secara umum, persamaan kuadrat itu berbentuk ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah bilangan konstanta, dan a tidak boleh nol. Kalau a-nya nol, ya udah bukan persamaan kuadrat lagi, jadi persamaan linear.
Himpunan penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat, biasanya disebut x1 dan x2, adalah nilai-nilai x yang membuat persamaan tersebut bernilai benar (sama dengan nol). Dalam bahasa yang lebih visual, ini adalah titik-titik di mana grafik parabola dari fungsi y = ax² + bx + c memotong sumbu x. Dalam kehidupan sehari-hari, bentuk kuadrat bisa ditemui saat menghitung luas tanah, memprediksi lintasan bola yang ditendang, atau bahkan dalam perhitungan bisnis untuk mencari titik impas keuntungan dan kerugian.
Menyelesaikan x² + 2x – 15 = 0 dengan Metode Faktorisasi
Source: rumushitung.com
Metode faktorisasi itu seperti bermain teka-teki angka. Kita ingin mengubah bentuk persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor linear yang sederhana. Untuk persamaan x² + 2x – 15 = 0, kita cari dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan konstanta c (-15) dan hasil jumlahnya sama dengan koefisien b (2).
Mencari Pasangan Faktor yang Tepat, Diketahui persamaan kuadrat x^2 + 2x – 15 = 0. Tentukan himpunan penyelesaian atau nilai x1 dan x2, dengan metode : a. Faktorisasi b. Rumus kuadrat/r
Proses pencariannya bisa dilakukan dengan sistematis. Berikut adalah tabel yang membandingkan beberapa pasangan faktor dari -15 dan jumlahnya.
| Faktor 1 | Faktor 2 | Hasil Kali (F1
|
Hasil Jumlah (F1 + F2) |
|---|---|---|---|
| 1 | -15 | -15 | -14 |
| -1 | 15 | -15 | 14 |
| 3 | -5 | -15 | -2 |
| -3 | 5 | -15 | 2 |
Dari tabel terlihat, pasangan -3 dan 5 memenuhi syarat karena (-3)
– 5 = -15 dan (-3) + 5 =
2. Dengan demikian, pemfaktorannya adalah:
x² + 2x – 15 = (x – 3)(x + 5) = 0
Untuk menemukan nilai x yang memenuhi, kita gunakan sifat bahwa jika hasil kali dua faktor nol, maka salah satu atau kedua faktornya harus nol.
- x – 3 = 0 → x1 = 3
- x + 5 = 0 → x2 = -5
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 2x – 15 = 0 adalah -5, 3 .
Menyelesaikan persamaan kuadrat seperti x² + 2x – 15 = 0 dengan faktorisasi atau rumus ABC itu seru, mirip kayak kita ngurai pola. Nah, soal cerita aljabar lain yang bikin penasaran adalah tentang Anton membeli 4 buah buku tulis dan 2 buah pensil seharga Rp 13.000,00. Di toko yang sama, Dona membeli 3 buah buku tulis dan sebuah pensil dengan h.
Setelah paham sistem persamaan linear dua variabel itu, balik lagi ke persamaan kuadrat tadi, kamu pasti lebih mudah menemukan akar-akarnya, yaitu x = 3 dan x = -5. Jadi, logika matematika itu saling terhubung, seru kan?
Menyelesaikan x² + 2x – 15 = 0 dengan Rumus Kuadrat (ABC)
Ketika faktorisasi terasa sulit atau tidak mungkin, rumus kuadrat adalah senjata pamungkas yang selalu bisa diandalkan. Rumus ini berlaku universal untuk semua bentuk persamaan kuadrat. Rumusnya adalah:
x = [-b ± √(b²
4ac)] / 2a
Untuk persamaan kita, x² + 2x – 15 = 0, nilai koefisiennya sangat jelas: a = 1, b = 2, dan c = -15. Langkah pertama adalah menghitung nilai diskriminan (D = b²
-4ac), yang menentukan sifat akar-akarnya.
Proses Perhitungan Lengkap Rumus ABC
Berikut adalah langkah demi langkah perhitungannya, disajikan secara rinci untuk memudahkan pemahaman.
1. Identifikasi koefisien
a = 1, b = 2, c = -15.
2. Hitung Diskriminan (D)
D = b²
- 4ac = (2)²
- 4*(1)*(-15) = 4 + 60 = 64.
3. Substitusi ke Rumus ABC
x = [-2 ± √64] / (2*1) = [-2 ± 8] / 2.
Nah, soal persamaan kuadrat x² + 2x – 15 = 0 itu seru banget buat dipecahin pake faktorisasi atau rumus ABC, hasilnya pasti x = 3 dan x = -5. Kalau lo udah paham logika aljabar kayak gini, tantangan lain kayak Diketahui a,b, dan c berturut-turut adalah suku ke-2,ke-4, dan ke-6 suatu barisan aritmatika. Jika (a + b + c)/(b +1) = 4 maka nilai b adalah juga bakal terasa lebih ringan, lho.
Jadi, balik lagi ke persamaan kuadrat tadi, intinya metode apapun yang dipilih, ketelitian dan pemahaman konsep dasar tetaplah kunci utamanya.
4. Hitung kedua kemungkinan nilai x
– Untuk tanda plus: x1 = (-2 + 8) / 2 = 6 / 2 = 3.
– Untuk tanda minus: x2 = (-2 – 8) / 2 = -10 / 2 = -5.
Dengan demikian, rumus kuadrat juga memberikan hasil yang sama: x1 = 3 dan x2 = -5.
Perbandingan dan Verifikasi Hasil Kedua Metode
Setelah menjalankan kedua metode, menarik untuk melihat perbandingannya. Meskipun titik akhirnya sama, perjalanan menuju ke sana memiliki nuansa yang berbeda. Tabel berikut merangkum perbedaan mendasar antara kedua pendekatan tersebut untuk persamaan x² + 2x – 15 = 0.
| Aspek | Metode Faktorisasi | Metode Rumus Kuadrat |
|---|---|---|
| Hasil Akhir | x1 = 3, x2 = -5 | x1 = 3, x2 = -5 |
| Langkah Inti | Mencari pasangan faktor dari c yang jumlahnya b. | Menghitung diskriminan lalu mensubstitusi ke rumus baku. |
| Kompleksitas | Sangat cepat dan elegan jika faktornya mudah terlihat. | Langkahnya lebih mekanis dan pasti, sedikit lebih panjang hitungannya. |
| Keterbatasan | Hanya efisien untuk persamaan dengan akar-akar rasional yang sederhana. | Dapat menyelesaikan semua jenis persamaan kuadrat, termasuk yang memiliki akar irasional atau imajiner. |
Verifikasi hasilnya jelas: kedua metode menghasilkan himpunan penyelesaian yang identik, yaitu -5, 3 . Dalam pemilihan metode, faktorisasi biasanya jadi pilihan pertama jika koefisiennya tidak terlalu besar dan akarnya berupa bilangan bulat. Sementara rumus ABC adalah pilihan yang lebih aman dan wajib digunakan ketika persamaan terlihat sulit difaktorkan secara langsung.
Aplikasi dan Latihan Pengembangan: Diketahui Persamaan Kuadrat X^2 + 2x – 15 = 0. Tentukan Himpunan Penyelesaian Atau Nilai X1 Dan X2, Dengan Metode : A. Faktorisasi B. Rumus Kuadrat/r
Memahami konsep jadi lebih mantap ketika kita mencoba menerapkannya pada variasi soal. Berikut tiga soal latihan dengan tingkat kesulitan yang berbeda, yang bisa kamu coba selesaikan dengan kedua metode untuk melatih kelincahan.
- Tingkat Dasar: x² + 5x + 6 = 0 (Akar-akarnya bilangan bulat positif).
- Tingkat Menengah: 2x²
-8x + 6 = 0 (Koefisien a bukan 1). - Tingkat Lanjut: x² + 4x – 3 = 0 (Akan menghasilkan akar berbentuk bilangan irasional).
Sebagai tips cepat, persamaan kuadrat yang mudah difaktorkan biasanya memiliki koefisien a = 1 dan konstanta c yang memiliki pasangan faktor dengan selisih atau jumlah yang jelas sesuai dengan nilai b. Kembali ke persamaan awal kita, y = x² + 2x – 15, grafiknya adalah sebuah parabola yang terbuka ke atas karena a positif. Parabola ini memotong sumbu x tepat di titik x = -5 dan x = 3, yang tidak lain adalah akar-akar persamaan yang telah kita temukan.
Sumbu simetri grafiknya berada di tengah-tengah kedua akar tersebut, yaitu di x = -1.
Simpulan Akhir
Jadi, setelah mengupas habis kedua metode itu, terbukti kan kalau baik faktorisasi maupun rumus ABC membawa kita ke tujuan yang sama: himpunan penyelesaian 3, -5 untuk si x² + 2x – 15 = 0. Faktorisasi itu seperti jalan pintas yang cerdik kalau persamaannya ramah, sementara rumus ABC adalah senjata pamungkas yang siap tempur untuk segala jenis persamaan kuadrat, sekalipun yang akarnya berupa bilangan imajiner.
Pelajaran pentingnya, matematika sering menyediakan lebih dari satu jalur untuk sampai ke kebenaran. Pilih yang paling nyaman atau paling efisien menurut situasi. Sekarang, coba deh praktikkan dengan soal latihan lain. Percayalah, sekali kamu mengerti logika di baliknya, menyelesaikan persamaan kuadrat akan terasa seperti menyelesaikan teka-teki yang menyenangkan, bukan lagi momok menakutkan.
Detail FAQ
Apa beda akar, penyelesaian, dan nilai x1 x2?
Ketiganya merujuk pada hal yang sama: nilai variabel x yang membuat persamaan kuadrat bernilai nol. Istilahnya bisa dipakai bergantian.
Mengapa hasil faktorisasi (x+5)(x-3)=0 menghasilkan akar -5 dan 3, bukan 5 dan -3?
Karena kita mencari nilai x yang membuat faktor bernilai nol. Untuk (x+5)=0, maka x harus -5. Untuk (x-3)=0, maka x harus 3. Hati-hati dengan tanda positif/negatif di dalam kurung.
Kapan harus pakai rumus ABC dan kapan pakai faktorisasi?
Gunakan faktorisasi jika koefisien dan konstanta terlihat mudah difaktorkan secara intuitif. Gunakan rumus ABC jika persamaan sulit difaktorkan, koefisiennya berupa pecahan, atau akarnya tidak bulat/irasional.
Apa fungsi diskriminan (b²
-4ac) selain untuk dihitung dalam rumus?
Diskriminan memberi tahu sifat akar: positif (2 akar real berbeda), nol (1 akar real kembar), atau negatif (2 akar tidak real/imajiner).
Apakah himpunan penyelesaian selalu dua angka?
Tidak selalu. Bisa dua angka berbeda, satu angka (kembar), atau bahkan tidak ada bilangan real (akar imajiner) tergantung nilai diskriminannya.
