Grafik suatu fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik A(-1, 0), B(4, 0), dan memotong sumbu Y di titik C(0, 8). Persamaan grafik fungsi tersebut adalah teka-teki matematika yang sebenarnya punya pola penyelesaian yang sangat elegan. Mari kita buka bersama lembaran coretan ini, karena menemukan persamaan dari titik-titik kunci grafiknya itu seperti menyusun puzzle—setiap petunjuk saling mengunci dan pada akhirnya membentuk gambaran utuh yang memuaskan.
Dari tiga titik yang diberikan, kita bisa membaca cerita tentang parabola tersebut. Titik A dan B memberitahu di mana sang kurva menyapa sumbu X, sementara titik C adalah momen pertama kalinya ia bertemu sumbu Y. Informasi ini sebenarnya sudah lebih dari cukup untuk kita rekonstruksi kembali wujud asli persamaan kuadratnya, lengkap dengan koefisien-koefisien yang menentukan senyum atau cemberutnya grafik tersebut.
Memahami Masalah dan Konsep Dasar Fungsi Kuadrat
Sebelum kita terjun ke dalam perhitungan, mari kita sepakati dulu bahasanya. Fungsi kuadrat itu ibarat resep dasar untuk membuat parabola, kurva yang melengkung indah itu. Bentuk umum persamaannya adalah
f(x) = ax² + bx + c
Di sini, a, b, dan c adalah konstanta angka yang menentukan sifat si grafik. Koefisien a adalah sang sutradara utama: kalau positif, parabola membuka ke atas seperti senyuman; kalau negatif, membuka ke bawah seperti alis yang sedang sedih. Sementara b dan c bekerja bersama menggeser dan menentukan posisi tepat kurva tersebut di bidang koordinat.
Nah, titik potong dengan sumbu X dan Y adalah petunjuk visual yang sangat berharga. Titik potong sumbu X, sering disebut akar atau nol fungsi, adalah titik di mana grafik menyentuh atau memotong garis horizontal (sumbu X). Di titik ini, nilai y selalu nol. Sebaliknya, titik potong sumbu Y adalah titik di mana grafik memotong garis vertikal (sumbu Y), di mana nilai x-nya pasti nol.
Dari tiga titik yang diberikan—A(-1,0), B(4,0), dan C(0,8)—kita punya informasi lebih dari cukup untuk merekonstruksi kembali “resep” fungsi kuadratnya.
Interpretasi Titik-Titik Kunci pada Grafik
Mari kita uraikan makna dari setiap titik yang diketahui ke dalam tabel berikut untuk melihat kontribusinya dalam membentuk persamaan.
| Titik | Koordinat | Makna dan Interpretasi |
|---|---|---|
| A | (-1, 0) | Merupakan akar pertama fungsi. Memberi informasi bahwa (x + 1) adalah salah satu faktor dari persamaan kuadrat. |
| B | (4, 0) | Merupakan akar kedua fungsi. Memberi informasi bahwa (x – 4) adalah faktor lainnya dari persamaan kuadrat. |
| C | (0, 8) | Merupakan titik potong dengan sumbu Y. Memberi informasi bahwa konstanta c atau nilai fungsi saat x=0 adalah 8. Ini akan menjadi kunci untuk menemukan pengali (nilai a) dari bentuk faktor. |
Menentukan Bentuk Persamaan dari Titik Potong yang Diketahui
Dengan dua titik potong sumbu X, kita bisa langsung menulis bentuk faktor dari fungsi kuadrat tersebut. Jika sebuah parabola memotong sumbu X di x = p dan x = q, maka persamaannya dapat ditulis sebagai
f(x) = a(x – p)(x – q)
dimana a adalah sebuah konstanta yang belum diketahui. Logikanya sederhana: saat x diganti p atau q, hasil kali di dalam kurung akan nol, sehingga f(x)=0—sesuai dengan definisi titik potong.
Langkah Penyusunan dan Substitusi
Dari titik A(-1,0) dan B(4,0), kita punya p = -1 dan q =
4. Masukkan ke dalam bentuk faktor:
f(x) = a(x – (-1))(x – 4) = a(x + 1)(x – 4)
Ini adalah kerangka persamaan kita. Sekarang, kita gunakan petunjuk terakhir, titik C(0,8). Titik ini memberitahu kita bahwa ketika x = 0, nilai f(x) haruslah 8. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam kerangka persamaan untuk mencari sang misteri a.
Nah, kalau kamu udah bisa nemuin persamaan fungsi kuadrat dari titik potongnya di sumbu X dan Y, berarti konsep dasarnya udah oke. Tapi, jangan berhenti di situ! Coba asah lagi skill aljabarmu dengan latihan soal kayak Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(4, 3) dan bergradien 3/2. Latihan ini bakal bikin pemahamanmu tentang hubungan titik dan gradien makin mantap, yang ujung-ujungnya ngebantu banget buat ngolah soal fungsi kuadrat tadi dengan lebih percaya diri.
f(0) = a(0 + 1)(0 – 4)
8 = a(1)(-4)
8 = -4a
a = 8 / -4 = -2
Dengan demikian, nilai a telah kita dapatkan, yaitu -2.
Perhitungan Lengkap Menuju Persamaan Akhir, Grafik suatu fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik A(-1, 0), B(4, 0), dan memotong sumbu Y di titik C(0, 8). Persamaan grafik fungsi tersebut adala
Sekarang kita punya semua komponen: a = -2, p = -1, q = 4. Mari kita tulis persamaan lengkapnya dalam bentuk faktor dan kita kembangkan ke bentuk umum.
Bentuk Faktor: f(x) = -2(x + 1)(x – 4)
Kembangkan:
f(x) = -2[(x)(x) + (x)(-4) + (1)(x) + (1)(-4)]
f(x) = -2[x²
-4x + x – 4]
f(x) = -2[x²
-3x – 4]
f(x) = -2x² + 6x + 8
Jadi, dari tiga titik kunci tersebut, kita berhasil menyusun persamaan fungsi kuadratnya.
Verifikasi dan Visualisasi Grafik Hasil: Grafik Suatu Fungsi Kuadrat Memotong Sumbu X Di Titik A(-1, 0), B(4, 0), Dan Memotong Sumbu Y Di Titik C(0, 8). Persamaan Grafik Fungsi Tersebut Adala
Sebelum kita yakin seratus persen, mari kita verifikasi. Substitusikan kembali ketiga titik A, B, dan C ke dalam persamaan akhir f(x) = -2x² + 6x +
8. Untuk A(-1,0): -2(-1)² + 6(-1) + 8 = -2(1) -6 + 8 =
0. Benar. Untuk B(4,0): -2(4)² + 6(4) + 8 = -2(16) + 24 + 8 =
0.
Benar. Untuk C(0,8): -2(0)² + 6(0) + 8 = 8. Benar. Persamaan kita sudah terverifikasi.
Sifat-Sifat Grafik dari Persamaan Akhir
Dari persamaan f(x) = -2x² + 6x + 8, kita bisa membaca banyak karakteristik grafik tanpa perlu menggambar. Karena koefisien x² adalah -2 (negatif), parabola ini membuka ke bawah. Titik puncak (vertex) dapat dicari. Sumbu simetrinya terletak di tengah-tengah kedua akar, yaitu di x = (-1 + 4)/2 = 1.
5.
Nah, kalau kamu sudah bisa cari persamaan fungsi kuadrat dari titik potong A(-1,0), B(4,0), dan C(0,8), berarti logika aljabarmu sudah oke. Skill itu bakal berguna banget, lho, buat ngurai soal pertidaksamaan kayak Himpunan penyelesaian dari 2x + 5 – 3(x – 1) <= 0 jika x variabel pada himpunan bilangan bulat adalah. Setelah mahir menyelesaikan batasan nilai x seperti itu, kamu akan lebih mudah memahami bagaimana bentuk grafik fungsi kuadrat tadi bisa digambarkan dengan akurat, kembali ke soal awal kita.
Untuk mencari koordinat puncak, substitusi x=1.5 ke persamaan: f(1.5) = -2(2.25) + 6(1.5) + 8 = -4.5 + 9 + 8 = 12.5. Jadi puncaknya di (1.5, 12.5).
Bayangkan grafiknya: sebuah parabola yang membuka ke bawah, memotong sumbu X di titik -1 dan 4, melesat naik dan memotong sumbu Y di ketinggian 8, lalu mencapai puncaknya di ketinggian 12.5 tepat di atas x=1.5, sebelum akhirnya turun kembali dan memotong sumbu X di sebelah kanan. Lengkungannya curam karena nilai |a|=2 terbilang cukup besar.
Aplikasi dan Variasi Soal Terkait
Source: amazonaws.com
Pola soal seperti ini sangat fleksibel. Titik potongnya bisa saja berbeda, atau bahkan hanya menyinggung sumbu X. Berikut beberapa variasi untuk mengasah pemahaman.
Contoh Variasi Soal Titik Potong
- Soal 1: Grafik memotong sumbu X di (2,0) dan (-3,0), serta melalui titik (1, -8).
- Soal 2: Grafik memotong sumbu X di (5,0) dan titik asal (0,0), serta memotong sumbu Y di (0,0).
- Soal 3: Grafik menyinggung sumbu X di titik (1,0) dan melalui titik (0, 3).
Strategi untuk Kasus Menyinggung Sumbu X
Ketika grafik hanya menyentuh sumbu X di satu titik, artinya titik tersebut adalah akar ganda (diskriminan nol). Bentuk faktornya menjadi f(x) = a(x – p)², dimana (p,0) adalah titik singgungnya. Langkah selanjutnya sama: gunakan titik lain yang diketahui untuk mencari nilai a.
Langkah Universal Mencari Persamaan
- Identifikasi titik potong dengan sumbu X: (p,0) dan (q,0). Jika hanya satu titik singgung, gunakan (p,0) sebagai akar ganda.
- Tulis bentuk faktor: f(x) = a(x – p)(x – q) atau f(x) = a(x – p)² untuk kasus singgung.
- Substitusi koordinat titik lain yang diketahui (bisa titik potong Y atau titik lain mana pun) ke dalam persamaan untuk mencari nilai a.
- Substitusi nilai a ke dalam bentuk faktor, lalu kembangkan untuk mendapatkan bentuk umum ax²+bx+c.
Penulisan Akhir dan Penyajian Jawaban
Untuk menjawab soal utama secara lengkap dan sistematis, penyajian yang rapi akan sangat membantu. Berikut adalah contoh penyajian jawaban final beserta langkah-langkah runtutnya.
Jawaban Final dari Soal Utama
Persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut adalah f(x) = -2x² + 6x + 8 atau y = -2x² + 6x + 8.
Penyusunan Langkah-Langkah Sistematis
Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian yang dapat ditulis:
- Diketahui titik potong sumbu X: A(-1,0) dan B(4,0). Maka bentuk faktor fungsi adalah f(x) = a(x – (-1))(x – 4) = a(x + 1)(x – 4).
- Diketahui titik potong sumbu Y: C(0,8). Substitusi titik ini ke dalam bentuk faktor untuk mencari nilai a.
f(0) = a(0+1)(0-4)
8 = a(1)(-4)
8 = -4a
a = -2 - Substitusi nilai a = -2 ke dalam bentuk faktor.
f(x) = -2(x + 1)(x – 4)
- Kembangkan persamaan ke bentuk umum.
f(x) = -2(x²
4x + x – 4)
f(x) = -2(x²
3x – 4)
f(x) = -2x² + 6x + 8
Dengan penyajian seperti ini, alur logika dari data menuju jawaban menjadi sangat jelas dan mudah untuk diikuti.
Simpulan Akhir
Jadi, begitulah ceritanya. Dari tiga titik sederhana, kita berhasil membongkar rahasia persamaan lengkapnya. Proses ini mengajarkan bahwa matematika seringkali adalah soal menyambung titik, baik secara harfiah maupun figuratif. Setelah mendapatkan persamaan akhir, coba deh verifikasi sendiri dengan memasukkan kembali koordinat titik A, B, dan C. Kepuasan yang didapat ketika semua angka cocok itu, jujur, nggak kalah serunya dari menyelesaikan level tersulit di game favoritmu.
Selamat mencoba dan terapkan logika yang sama untuk variasi soal lainnya!
Ringkasan FAQ
Bagaimana jika grafik hanya memotong sumbu X di satu titik saja?
Itu berarti grafik menyinggung sumbu X. Dalam bentuk faktor, titik potong ganda itu ditulis sebagai (x – a)². Anda tetap membutuhkan satu titik lain untuk mencari nilai konstanta pengalinya.
Apakah metode ini bisa dipakai jika diketahui titik puncak dan satu titik lain?
Bisa, tetapi bentuk persamaan yang digunakan berbeda. Gunakan bentuk verteks, y = a(x – h)² + k, di mana (h,k) adalah titik puncak, lalu substitusi titik lain untuk mencari nilai ‘a’.
Mengapa titik potong sumbu Y langsung memberi kita nilai konstanta?
Karena titik potong Y terjadi saat x=0. Substitusi x=0 ke persamaan umum y = ax² + bx + c akan langsung menyisakan y = c. Jadi, koordinat Y dari titik potong itu adalah nilai c itu sendiri.
Bisakah soal seperti ini diselesaikan dengan sistem persamaan linear?
Sangat bisa! Substitusi ketiga titik ke bentuk umum y = ax² + bx + c akan menghasilkan tiga persamaan linear yang bisa diselesaikan untuk mencari nilai a, b, dan c. Metode faktor seperti di atas seringkali lebih cepat.
