Jika 0,21717171… = p/q hitung p+q dengan pola desimal berulang

Jika 0,21717171… = p/q, hitung p + q. Kalimat yang terlihat seperti teka-teki aljabar ini sebenarnya adalah pintu gerbang menuju keindahan tersembunyi dalam matematika. Di balik deretan angka 0,21717171… yang seolah tak berujung, tersimpan pola rapi yang bisa diungkap dengan logika sederhana. Soal semacam ini sering muncul dan menguji pemahaman kita tentang hubungan antara bentuk desimal dan pecahan, sebuah konsep dasar yang punya daya pikat luar biasa.

Mari kita telusuri bersama bagaimana sebuah bilangan desimal tak hingga dengan blok ’71’ yang terus berulang itu bisa diubah menjadi bentuk pecahan paling sederhana p/q. Prosesnya melibatkan trik aljabar yang cerdik, di mana kita akan bermain-main dengan perkalian dengan kelipatan 10 untuk mengisolasi bagian yang berulang. Hasil akhirnya bukan hanya sekedar nilai p dan q, tetapi juga kepuasan karena berhasil mengubah sesuatu yang tampak kompleks menjadi bentuk yang sederhana dan elegan.

Menguak Pola Tersembunyi di Balik Deretan Angka Desimal Berulang

Bilangan desimal berulang sering kali tampak sebagai deretan angka acak yang tak berujung, namun sebenarnya mereka menyembunyikan pola rasional yang sangat elegan. Setiap angka desimal berulang, seperti 0,333… atau 0,142857142857…, sebenarnya adalah representasi lain dari sebuah pecahan biasa atau bilangan rasional. Rahasia utamanya terletak pada identifikasi blok angka yang berulang secara periodik. Blok ini bisa berupa satu digit seperti ‘3’, atau beberapa digit seperti ‘142857’.

Begitu blok pengulangan ini dikenali, kita memiliki kunci untuk mengubah bilangan desimal tak hingga yang tampak rumit itu menjadi bentuk pecahan sederhana p/q, di mana p dan q adalah bilangan bulat. Proses ini bukanlah sihir, melainkan penerapan logika aljabar yang rapi terhadap pola numerik yang konsisten.

Memahami konsep ini membuka cara pandang baru terhadap bilangan. Desimal berulang bukanlah bilangan yang ‘tidak lengkap’, melainkan bentuk penulisan alternatif yang setara dengan pecahan tertentu. Ketika kita menulis 0,999…, misalnya, kita sebenarnya sedang menggambarkan bilangan 1 dalam bentuk lain. Kekuatan dari identifikasi blok pengulangan memungkinkan kita untuk menangkap ketakterhinggaan itu ke dalam sebuah persamaan yang terbatas dan dapat diolah. Tabel berikut memberikan gambaran bagaimana blok pengulangan menjadi jantung dari konversi awal.

Notasi Elipsis dan Transformasinya ke dalam Persamaan

Source: amazonaws.com

Langkah pertama yang krusial adalah mengubah notasi intuitif dengan tanda elipsis (…) menjadi sebuah pernyataan matematis yang solid. Misalkan kita memiliki bilangan x = 0,21717171… . Tanda elipsis memberitahu kita bahwa blok ’71’ akan berulang tanpa henti setelah digit awal ‘2’. Untuk bekerja dengan ini, kita perlu menyatakannya sebagai sebuah persamaan.

Menyelesaikan soal seperti “Jika 0,21717171… = p/q, hitung p + q” itu seru, lho! Kita cari pola desimal berulangnya, lalu ubah jadi pecahan biasa. Proses ini mengingatkan kita pada prinsip Hukum Kekekalan Massa dalam kimia, di mana jumlah massa sebelum dan sesudah reaksi tetap. Nah, dalam matematika, nilai pecahan p/q itu juga ‘kekal’ dan unik mewakili desimal tersebut.

Jadi, setelah dapat nilai p dan q, tinggal dijumlahkan, deh!

Misalkan x = 0,21717171…
Dengan mengamati pola, bagian yang berulang adalah ’71’. Digit ‘2’ setelah koma adalah bagian tetap yang tidak berulang. Pernyataan x = 0,21717171… adalah titik awal formal kita untuk manipulasi aljabar.

Pemisian Bagian Tetap dan Bagian Berulang

Konversi menjadi lebih mudah ketika kita memisahkan bilangan desimal berulang menjadi dua komponen: bagian yang tidak berulang (jika ada) dan bagian yang berulang tak hingga. Pada contoh 0,21717171…, digit pertama setelah koma, yaitu ‘2’, adalah bagian tetap. Sisa dari desimal, yaitu 0,01717171…, seluruhnya terdiri dari pengulangan blok ’71’. Pemisahan ini strategis karena memungkinkan kita untuk menangani bagian berulang secara terisolasi.

Kita bisa menulis x = 0,2 + 0,01717171… . Sekarang, perhatian kita dapat difokuskan pada mengonversi 0,01717171… menjadi pecahan. Dengan mengalikan bagian ini dengan faktor yang tepat (seperti 10 atau 100), kita dapat menciptakan persamaan di mana bagian desimal berulang yang identik muncul, sehingga memungkinkan kita untuk mengeliminasinya melalui pengurangan.

Pendekatan bertahap ini mengubah masalah yang tampak kompleks menjadi serangkaian langkah yang lebih sederhana dan terkelola.

Strategi Aljabar Kreatif untuk Mengungkap Nilai p dan q yang Tersamar

Setelah berhasil mengidentifikasi pola dan memisahkan bagian bilangan, langkah berikutnya adalah menerapkan strategi aljabar yang cerdik. Inti dari strategi ini adalah membangun dua persamaan berbeda yang mewakili bilangan yang sama (x), tetapi dengan posisi koma yang bergeser. Pergeseran ini dicapai dengan mengalikan persamaan awal dengan pangkat 10 yang sesuai (seperti 10, 100, 1000), sehingga blok berulang sejajar sempurna. Ketika dua persamaan ini kemudian dikurangkan, bagian desimal tak hingga yang identik akan saling menghilang, meninggalkan kita dengan sebuah persamaan aljabar biasa yang hanya melibatkan bilangan bulat dan x.

Pemilihan pangkat 10 yang digunakan merupakan langkah kritis yang bergantung pada struktur desimal. Untuk bagian berulang murni, kita membutuhkan pengali 10^n di mana n adalah panjang blok pengulangan. Untuk desimal campuran dengan bagian tidak berulang, kita mungkin membutuhkan dua pengali yang berbeda: satu untuk menjadikan seluruh bagian berulang berada di belakang koma, dan satu lagi untuk menyelaraskan pengulangannya. Tabel berikut mengilustrasikan pengaruh pemilihan pengali.

Proses Penjajaran dan Eliminasi

Mari kita visualisasikan proses ini untuk soal kita, x = 0,21717171… . Pertama, kita buat persamaan dasar: x = 0,21717171… . Karena ada satu digit tidak berulang (‘2’), kita kalikan dengan 10 untuk memindahkan digit itu ke bagian bilangan bulat: 10x = 2,1717171…

. Sekarang, perhatikan bahwa bagian desimal dari 10x adalah 0,171717… yang murni berulang dengan blok ’71’. Untuk menyelaraskannya, kita perlu menggeser blok ini sebanyak dua digit (karena panjang blok ’71’ adalah 2). Jadi, kita kalikan 10x dengan 100: 1000x = 217,1717171…

. Sekarang, lihat keajaiban aljabar: bagian desimal dari 10x (0,171717…) dan 1000x (0,171717…) adalah identik! Ketika kita mengurangkan 10x dari 1000x, bagian desimal yang identik itu lenyap: 1000x – 10x = 217,171717…
-2,171717… . Hasilnya adalah 990x = 215, sebuah persamaan linier sederhana.

Dari sini, nilai x sebagai pecahan langsung diperoleh: x = 215/990.

Pemilihan Faktor Pengali yang Tepat

Keberhasilan metode ini sangat bergantung pada pemilihan faktor pengali yang tepat. Tujuannya bukan sekadar menghilangkan desimal, tetapi melakukannya dengan cara yang menghasilkan persamaan dengan koefisien bilangan bulat yang paling sederhana. Jika kita memilih pengali yang kurang atau berlebih, kita mungkin masih mendapatkan jawaban yang benar setelah penyederhanaan ekstra, tetapi prosesnya menjadi lebih berantakan. Prinsipnya, kita ingin selisih antara dua pengali (seperti 1000 dan 10) menjadi berbentuk 10^n – 10^m, yang menghasilkan penyebut dengan angka 9 dan 0.

Angka 9 sebanyak digit berulang, dan angka 0 sebanyak digit tidak berulang. Pada contoh kita, dengan 1 digit tidak berulang dan 2 digit berulang, penyebut idealnya adalah 990 (satu angka 0 diikuti dua angka 9). Pemilihan yang tepat ini memastikan bahwa pecahan 215/990 yang dihasilkan dapat disederhanakan lebih lanjut dengan mudah, menuntun kita ke pasangan p dan q yang relatif prima.

Menyelami Keanggunan Penyederhanaan Pecahan hingga Bentuk Paling Rasional

Setelah berhasil memperoleh pecahan dari proses aljabar, seperti 215/990, pekerjaan belum selesai. Langkah final yang tak kalah pentingnya adalah menyederhanakan pecahan tersebut ke bentuk paling sederhana. Dalam konteks mencari p dan q untuk dijumlahkan, kita menginginkan p dan q yang relatif prima, yaitu bilangan bulat positif dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) sama dengan 1. Penyederhanaan ini memastikan bahwa kita mendapatkan representasi pecahan yang unik dan paling elegan.

Nilai p+q dari pecahan yang belum disederhanakan (misal 215+990=1205) akan berbeda dengan nilai p+q dari pecahan sederhananya, sehingga langkah ini menentukan kebenaran akhir.

Teknik penyederhanaan dilakukan dengan mencari FPB dari pembilang dan penyebut, lalu membagi keduanya dengan angka tersebut. Untuk bilangan seperti 215 dan 990, kita bisa menggunakan algoritma Euclidean atau dengan memfaktorkan. 215 dapat difaktorkan menjadi 5 x 43, sedangkan 990 adalah 9 x 110 = 2 x 3^2 x 5 x 11. Terlihat bahwa faktor persekutuan mereka adalah 5. Membagi pembilang dan penyebut dengan 5 menghasilkan pecahan 43/198.

Sekarang, 43 adalah bilangan prima dan tidak membagi 198 (2 x 3^2 x 11), sehingga 43/198 adalah bentuk paling sederhana.

Langkah-Langkah Verifikasi Kesederhanaan

Sebelum menyatakan p=43 dan q=198 sebagai jawaban final, penting untuk melakukan pemeriksaan kritis.

• Pastikan telah menghitung FPB(p, q) dengan benar, misalnya menggunakan algoritma pembagian berulang (Euclidean).
• Periksa apakah pembilang dan penyebut masih memiliki faktor prima bersama. Untuk bilangan yang lebih besar, uji keterbagian dengan bilangan prima kecil (2, 3, 5, 7, 11) bisa membantu.
• Konfirmasi bahwa pecahan yang dihasilkan memang setara dengan desimal awal. Lakukan pembagian 43 dibagi 198 secara manual atau dengan kalkulator untuk melihat kemunculan pola 0,2171717…
• Pastikan q (penyebut) tidak memiliki faktor prima selain 2 dan 5 (yang menghasilkan desimal terbatas) atau selain faktor dari 10^n-1 (yang menghasilkan desimal berulang murni). Untuk 0,21717…, penyebut 198 = 2 x 3^2 x 11, mengandung faktor 3 dan 11, yang sesuai untuk desimal berulang.

Hubungan Blok Pengulangan dan Penyederhanaan

Sebuah kesalahan umum adalah berhenti pada pecahan awal tanpa menyederhanakannya. Misalnya, seseorang mungkin mendapat x = 430/1980 dari langkah aljabar yang sedikit berbeda. Jika dia langsung menjumlahkan p+q = 430+1980 = 2410, hasilnya salah. Padahal, 430/1980 disederhanakan (dibagi 10) akan kembali ke 43/198, dengan p+q = 241, bukan 2410. Penyederhanaan adalah pembersihan wajib yang tidak boleh dilewatkan.

Ada hubungan menarik antara panjang blok pengulangan dan penyebut setelah disederhanakan. Untuk desimal berulang murni, penyebut setelah disederhanakan akan menjadi faktor dari bilangan yang terdiri dari angka 9 sebanyak panjang blok (seperti 9, 99, 999, …). Pada contoh 0,21717…, meski merupakan desimal campuran, penyederhanaannya melibatkan faktor dari 99 (karena blok ’71’ panjangnya 2) yang dikalikan dengan faktor 10 karena ada 1 digit tidak berulang.

Inilah mengapa penyebut 198 mengandung faktor 99 (9×11) dan faktor 2 dari 10. Memahami hubungan ini dapat menjadi alat verifikasi tambahan yang intuitif.

Eksplorasi Visual dan Numerik dari Jalan Lain Menuju Solusi p+q

Selain metode aljabar klasik, terdapat pendekatan lain yang sama-sama elegan, yaitu dengan memandang bagian desimal berulang sebagai jumlah dari suatu deret geometri tak hingga. Setiap pengulangan blok angka merepresentasikan penambahan suku-suku yang semakin kecil, di mana rasio antara suku-suku tersebut adalah pangkat negatif dari 10. Pendekatan ini memanfaatkan fakta bahwa deret geometri tak hingga dengan rasio mutlak kurang dari 1 memiliki jumlah yang terhingga, yang dapat dihitung dengan rumus S = a / (1 – r), dengan a adalah suku pertama dan r adalah rasio.

Mari kita terapkan pada bilangan 0,21717171… . Kita pisahkan menjadi 0,2 + 0,017171717… . Fokus kita adalah pada bagian berulang, 0,017171717…

. Bagian ini dapat ditulis sebagai: 0,017 + 0,00017 + 0,0000017 + … . Atau, lebih terstruktur: 17/1000 + 17/100000 + 17/10000000 + … .

Terlihat bahwa ini adalah deret geometri tak hingga. Suku pertama (a) adalah 17/1000. Rasio (r) adalah 1/100 (karena setiap suku berikutnya dikali 1/100 untuk menambahkan dua angka nol sebelum ’17’). Karena |r| = 0,01 < 1, deret ini konvergen. Jumlahnya adalah S = (17/1000) / (1 - 1/100) = (17/1000) / (99/100) = (17/1000) - (100/99) = 17/990. Jadi, bilangan asli kita adalah x = 0,2 + 17/990 = 2/10 + 17/990 = 198/990 + 17/990 = 215/990. Hasil ini sama persis dengan yang didapat dari metode aljabar.

Visualisasi Penjumlahan Deret

Bayangkan sebuah garis bilangan dari 0 ke 0,02. Langkah pertama kita menambahkan 0,017, membawa kita ke 0,017. Langkah berikutnya hanya menambahkan 0,00017, sebuah lompatan yang sangat kecil, membawa kita ke 0,01717. Lompatan berikutnya lagi hanya 0,0000017, dan seterusnya. Setiap lompatan baru hanya seperseratus dari lompatan sebelumnya.

Proses ini terus berlanjut tanpa henti, tetapi karena lompatannya menjadi sangat-sangat kecil dengan sangat cepat, total jarak yang ditempuh mendekati suatu batas tertentu, yaitu 17/990 atau sekitar 0,0171717…, dan tidak akan pernah melebihi batas itu. Inilah inti dari kekonvergenan deret geometri tak hingga.

Pertemuan Dua Metode yang Berbeda

Fakta bahwa metode aljabar dan metode deret geometri menghasilkan pecahan 215/990 yang sama bukanlah suatu kebetulan. Ini menunjukkan konsistensi mendalam dalam matematika. Kedua metode tersebut adalah dua sisi dari mata uang yang sama: satu memandang pola berulang sebagai suatu entitas utuh yang dapat dimanipulasi, sementara yang lain memandangnya sebagai hasil dari proses penjumlahan tak hingga yang teratur. Pertemuan ini memperkuat validitas hasil kita.

Implikasinya penting; ini berarti kita memiliki lebih dari satu alat untuk memverifikasi kebenaran. Jika kita ragu dengan hasil metode aljabar, kita bisa memeriksanya dengan metode deret, atau sebaliknya. Untuk soal kita, kedua metode membawa kita ke 215/990, yang setelah disederhanakan menjadi 43/198, memberikan p+q = 43 + 198 = 241.

Aplikasi Teknik Konversi pada Pola Desimal Tidak Biasa dan Verifikasi Hasil: Jika 0,21717171… = P/q, Hitung P + q

Sekarang, dengan pemahaman menyeluruh tentang kedua metode, kita dapat dengan percaya diri menerapkan logika konversi pada pola desimal dari soal utama, 0,21717171…, dan sekaligus memverifikasi hasil akhirnya. Prosesnya telah kita jalani: melalui metode aljabar, kita mendapatkan x = 215/990. Melalui metode deret, kita juga mendapatkan x = 215/990. Penyederhanaan dengan membagi FPB(215,990)=5 menghasilkan bentuk paling rasional, yaitu 43/198. Dengan demikian, p = 43 dan q = 198.

Nilai p+q adalah 241. Ini adalah inti dari solusi.

Namun, dalam matematika, keyakinan penuh datang dari verifikasi. Cara terbaik untuk memverifikasi bahwa 43/198 memang setara dengan 0,21717171… adalah dengan melakukan pembagian panjang 43 oleh
198. Proses pembagian panjang akan menunjukkan: 198 tidak dapat membagi 43, sehingga kita menambahkan desimal dan nol, mendapatkan 430 dibagi 198 adalah 2 (2 x 198 = 396), sisa
34. Turunkan nol, menjadi 340 dibagi 198 adalah 1 (sisa 142).

Turunkan nol, menjadi 1420 dibagi 198 adalah 7 (7 x 198 = 1386, sisa 34). Turunkan nol, menjadi 340… dan di sini pola mulai terlihat: sisa 34 muncul kembali setelah kita mendapatkan digit ‘7’. Ini berarti digit selanjutnya akan kembali 1, lalu 7, dan seterusnya. Jadi, hasil baginya adalah 0,2171717…, persis seperti pola awal.

Verifikasi ini menutup lingkaran penyelesaian dengan sempurna.

Ciri-Ciri Khusus Desimal Berulang, Jika 0,21717171… = p/q, hitung p + q

Berdasarkan eksplorasi kita, beberapa ciri dapat membantu memperkirakan penyebut (q) sebelum perhitungan penuh.

• Panjang blok pengulangan murni (L) sering berkaitan dengan penyebut yang merupakan faktor dari bilangan yang terdiri dari L angka 9 (10^L – 1).
• Adanya digit tidak berulang di depan menandakan penyebut akan memiliki faktor 10^n (menghasilkan angka nol) di samping faktor dari angka 9 tersebut.
• Jika penyebut setelah disederhanakan (q) difaktorkan dan mengandung faktor prima selain 2 dan 5, maka representasi desimalnya akan berulang. Faktor 2 dan 5 saja menghasilkan desimal terbatas.
• Nilai q tidak akan pernah lebih kecil dari nilai yang ditunjukkan oleh panjang blok pengulangan. Untuk blok 2-digit, q minimal adalah 11 (faktor dari 99), tetapi biasanya lebih besar karena penyederhanaan.

Peta Perjalanan Transformasi Bilangan

Mari kita rekonstruksi perjalanan lengkap bilangan ini dalam sebuah narasi visual. Dimulai dari bentuk desimal tak hingga 0,21717171…, sebuah entitas yang tampak misterius. Melalui kaca mata aljabar, ia ditangkap ke dalam sangkar persamaan: x = 0,21717171… . Dengan siasat menggeser koma (perkalian dengan 10 dan 1000), dua versi dari x yang sama diciptakan.

Ketika versi yang lebih jauh (1000x) dikurangi versi yang lebih dekat (10x), bagian desimal yang tak terbatas itu, seperti kabut, menghilang, meninggalkan inti yang padat: 990x =
215. Dari sini, x menjelma menjadi pecahan 215/
990. Namun, pecahan ini masih mengandung lapisan yang bisa dikupas. Pembagian oleh 5 mengungkap bentuk hakikinya yang lebih sederhana dan elegan: 43/198. Dari sini, komponen p dan q yang relatif prima telah ditemukan.

Penjumlahan akhir, 43 + 198 = 241, adalah sebuah bilangan bulat tunggal yang menjadi jawaban, sebuah titik akhir yang pasti yang berasal dari ketakterhinggaan awal. Setiap langkah dalam peta ini adalah penerapan logika yang konsisten, mengubah yang abstrak menjadi konkret, dan yang tak hingga menjadi terhingga.

Ulasan Penutup

Jadi, setelah melalui perjalanan mengurai pola, menyusun persamaan, dan menyederhanakan pecahan, kita sampai pada intinya. Nilai p+q dari persamaan 0,21717171… = p/q bukanlah sekadar angka akhir, tetapi bukti bahwa matematika adalah bahasa universal untuk menemukan keteraturan dalam kekacauan yang tampak. Metode aljabar dan pendekatan deret geometri, meski berbeda jalan, sama-sama membawa kita ke tujuan yang valid, mengajarkan fleksibilitas berpikir.

Pelajaran dari soal ini sungguh mendalam: banyak masalah yang tampak rumit dan berulang-ulang tanpa akhir dalam hidup, seringkali memiliki solusi rasional dan sederhana jika kita tahu cara memandangnya dengan benar. Selalu ada pola, selalu ada logika, dan yang dibutuhkan hanyalah langkah sistematis untuk mengungkapnya. Selamat telah menyelesaikan teka-teki ini, dan semoga logika yang sama bisa diterapkan untuk mengurai hal-hal lain di luar dunia angka.

FAQ Terpadu

Apakah bilangan desimal berulang seperti ini selalu merupakan bilangan rasional?

Ya, tepat sekali. Setiap bilangan desimal yang memiliki pola berulang yang tetap (seperti 0,21717171…) dapat dinyatakan sebagai pecahan dari dua bilangan bulat (p/q), yang merupakan definisi bilangan rasional.

Bagaimana jika polanya mulai berulang bukan tepat setelah koma? Misalnya 0,4123123123…?

Prinsipnya sama. Kita pisahkan bagian yang tidak berulang (0,4) dengan bagian yang berulang (0,0123123…). Konversi dilakukan secara terpisah untuk kedua bagian tersebut, lalu hasilnya dijumlahkan untuk mendapatkan pecahan akhir.

Apakah nilai p+q yang didapat selalu unik untuk setiap desimal berulang?

Tidak. Nilai p+q bergantung pada bentuk pecahan paling sederhana. Pecahan yang ekuivalen seperti 1/2 dan 2/4 memiliki nilai p+q yang berbeda. Soal ini secara implisit meminta pecahan dalam bentuk paling sederhana di mana p dan q relatif prima.

Bisakah soal ini diselesaikan dengan kalkulator langsung?

Tidak secara langsung, karena kalkulator biasa tidak menangani desimal tak hingga. Namun, memahami konsep ini memungkinkan kita memverifikasi hasil dengan kalkulator: hitung p/q, dan lihat apakah muncul pola desimal 0,2171717171…

Adakah cara cepat menebak kira-kira berapa nilai penyebut (q)-nya?

Ada petunjuknya. Untuk blok berulang dengan n digit (misal ’71’ memiliki 2 digit), penyebut setelah disederhanakan akan berbentuk faktor dari angka yang terdiri dari angka 9 sebanyak n digit (misal 99). Adanya angka di depan blok berulang (seperti ‘2’ di 0.2 171717…) akan memodifikasi bentuk akhirnya.