Kurangkanlah: a. 5x – 9 dengan 7x + 15y b. 5x – 3y + 7 dari 5y – 3x – 4 c. -x^2 – 6xy + 3y^2 dari 5x^2 – 9xy – 4y^2. Kalimat perintah ini mungkin awalnya bikin sedikit bergidik, tapi percayalah, operasi pengurangan aljabar itu sebenarnya jauh lebih sederhana daripada yang dibayangkan.
Asal tahu trik dan langkah-langkahnya, semua soal ini bisa diselesaikan dengan metode yang rapi dan logis.
Mari kita bedah bersama. Pengurangan dalam aljabar intinya adalah tentang mengelompokkan hal-hal yang sejenis, berani berhadapan dengan tanda minus, dan menyusun ulang ekspresi dengan cara yang lebih sederhana. Dari ekspresi linear yang cuma punya satu variabel sampai yang sudah berbentuk kuadrat dan punya banyak variabel, prinsip dasarnya tetaplah sama. Kita akan menyelami semua itu dengan pendekatan yang mudah diikuti.
Pengurangan Bentuk Aljabar Dasar
Memahami konsep pengurangan dalam aljabar adalah fondasi utama untuk menguasai materi matematika yang lebih kompleks. Pada dasarnya, pengurangan aljabar mengikuti logika yang sama dengan pengurangan bilangan biasa, namun kita berurusan dengan objek yang disebut suku-suku aljabar. Kunci utamanya adalah hanya suku sejenis—suku dengan variabel dan pangkat yang persis sama—yang dapat dikurangi atau dijumlahkan.
Sebagai contoh sederhana, pengurangan 5a – 3a dapat langsung dilakukan dengan hanya mengurangkan koefisiennya, yaitu angka di depan variabel. Hasilnya adalah (5 – 3)a = 2a. Hal ini berlaku untuk koefisien positif dan negatif. Misalnya, -4b – (-2b) sama dengan -4b + 2b = -2b. Tanda minus sebelum kurung mengubah tanda setiap suku di dalam kurung tersebut.
Perbandingan Penjumlahan dan Pengurangan Suku Sejenis, Kurangkanlah: a. 5x – 9 dengan 7x + 15y b. 5x – 3y + 7 dari 5y – 3x – 4 c. -x^2 – 6xy + 3y^2 dari 5x^2 – 9xy – 4y^2
Meskipun mirip, operasi penjumlahan dan pengurangan memiliki aturan tanda yang krusial. Tabel berikut merangkum perbedaannya untuk membantu pemahaman.
| Operasi | Contoh | Langkah Penyelesaian | Hasil |
|---|---|---|---|
| Penjumlahan | 6x + 3x | Koefisien dijumlahkan | 9x |
| Penjumlahan | -5y + (-2y) | Koefisien dijumlahkan | -7y |
| Pengurangan | 8m – 3m | Koefisien dikurangkan | 5m |
| Pengurangan | -4n – (-6n) | Tanda minus mengubah tanda, menjadi -4n + 6n | 2n |
Langkah-Langkah Menyusun Ekspresi untuk Dikurangkan
Sebelum menyederhanakan sebuah ekspresi aljabar yang melibatkan pengurangan, penting untuk menyusunnya dengan benar. Langkah pertama adalah menuliskan semua suku dari ekspresi pertama, diikuti oleh suku-suku dari ekspresi kedua yang tandanya telah berubah karena operasi pengurangan.
Rumus Umum: (Ekspresi A)
(Ekspresi B) = Ekspresi A + (-1 × Ekspresi B)
Ini berarti kita mengalikan setiap suku di dalam ekspresi B dengan -1, yang akan membalikkan tandanya, sebelum akhirnya kita menjumlahkannya dengan ekspresi A.
Tips Mengidentifikasi Suku-Suku Sejenis
Kemampuan mengelompokkan suku sejenis dengan cepat akan sangat memudahkan proses perhitungan. Suku sejenis ditandai oleh kesamaan variabel dan pangkatnya.
- Variabel dan Pangkat Identik: 3x² dan -5x² adalah sejenis karena variabel x dan pangkat 2-nya sama. Sementara 4y dan 4y² bukan sejenis karena pangkat y berbeda.
- Urutan Tidak Penting: Suku 2xy memiliki jenis yang sama dengan yx, karena perkalian bersifat komutatif (xy = yx).
- Konstanta adalah Jenisnya Sendiri: Semua bilangan tanpa variabel, seperti 7, -3, dan 12, dikelompokkan sebagai suku konstanta.
Mengurangi Dua Ekspresi Linear
Mari kita terapkan konsep dasar tadi untuk menyelesaikan pengurangan antara dua ekspresi linear, yaitu 5x – 9 dan 7x + 15y. Soal ini meminta kita untuk mengurangkan ekspresi kedua dari ekspresi pertama. Langkah pertama dan terpenting adalah menuliskan operasi ini dalam bentuk matematika yang benar.
Kalimat “Kurangkanlah A dengan B” berarti A – B. Jadi, bentuk matematikanya adalah: (5x – 9)
-(7x + 15y). Tanda minus yang berada tepat sebelum kurung kedua akan memengaruhi setiap suku di dalam kurung tersebut.
Prosedur Pengurangan (5x – 9) dengan (7x + 15y)
Langkah penyelesaiannya dilakukan secara sistematis untuk menghindari kesalahan, terutama terkait tanda.
- Tuliskan ekspresi awal: (5x – 9)
(7x + 15y)
- Terapkan tanda minus pada kurung kedua. Ini sama dengan mengalikan suku di dalam kurung dengan -1: 5x – 9 – 7x – 15y
- Kelompokkan suku-suku yang sejenis. Suku dengan variabel x: 5x dan -7x. Suku konstanta: –
9. Suku dengan variabel y
-15y.
- Hitung masing-masing kelompok: (5x – 7x) + (-9) + (-15y)
- Sederhanakan: -2x – 9 – 15y
Dengan demikian, hasil pengurangannya adalah -2x – 15y – 9.
Aturan Tanda Minus pada Pengelompokan Suku
Kesalahan paling umum terjadi pada langkah kedua. Sangat penting untuk diingat bahwa tanda minus di depan kurung mengubah tanda semua suku di dalamnya, tanpa terkecuali.
- Tanda plus (+) di dalam kurung berubah menjadi minus (-).
- Tanda minus (-) di dalam kurung berubah menjadi plus (+).
Peringatan: Jangan hanya mengubah tanda suku pertama. Setiap suku harus diperhatikan.
Kesalahan Umum dalam Proses Pengurangan
Beberapa kesalahan yang sering dijumpai saat mengerjakan soal ini antara lain:
- Hanya mengurangkan suku pertama saja, misalnya menulis 5x – 7x, tetapi lupa mengurangkan suku-suku lainnya.
- Lupa mengalikan tanda minus ke suku kedua dalam kurung, misalnya menulis (5x – 9)
-7x + 15y, yang merupakan kesalahan fatal. - Mencoba mengurangkan suku yang tidak sejenis, seperti mencoba menghitung 5x – 15y, yang tidak mungkin disederhanakan.
Ilustrasi Visual Suku yang Tidak Sejenis
Bayangkan Anda memiliki 5 buah apel (5x) dan 9 buah jeruk (-9). Lalu, Anda diminta mengurangkan 7 apel (7x) dan 15 semangka (15y) dari koleksi tersebut. Hasilnya, apel Anda berkurang menjadi -2 (Anda malah berhutang 2 apel), jeruk tetap 9, dan Anda sekarang juga berhutang 15 semangka. Anda tidak bisa menjumlahkan atau mengurangkan apel dengan semangka. Mereka adalah entitas yang berbeda, persis seperti variabel x dan y dalam aljabar.
Pengurangan Ekspresi dengan Multiple Variabel: Kurangkanlah: A. 5x – 9 Dengan 7x + 15y B. 5x – 3y + 7 Dari 5y – 3x – 4 C. -x^2 – 6xy + 3y^2 Dari 5x^2 – 9xy – 4y^2
Soal selanjutnya memperkenalkan kompleksitas baru dengan adanya lebih dari satu variabel dan urutan pengurangan yang harus diperhatikan secara hati-hati. Kita diminta mengurangkan (5x – 3y + 7) dari (5y – 3x – 4). Frasa kuncinya di sini adalah “dari”, yang menentukan ekspresi mana yang menjadi pengurang dan yang dikurangi.
Dalam bahasa aljabar, “A dikurangkan dari B” ditulis sebagai B – A. Jadi, untuk soal ini, ekspresi yang benar adalah: (5y – 3x – 4)
-(5x – 3y + 7). Ekspresi setelah kata “dari” diletakkan di depan.
Teknik Pengurangan (5x – 3y + 7) dari (5y – 3x – 4)
Setelah menyusun ekspresi dengan benar, langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
- Tuliskan ekspresi: (5y – 3x – 4)
(5x – 3y + 7)
- Terapkan tanda minus pada kurung kedua: 5y – 3x – 4 – 5x + 3y – 7
- Kelompokkan suku sejenis:
- Suku x: -3x – 5x
- Suku y: 5y + 3y
- Konstanta: -4 – 7
- Hitung masing-masing kelompok: (-3 – 5)x + (5 + 3)y + (-4 – 7)
- Sederhanakan: -8x + 8y – 11
Jadi, hasil akhir dari pengurangan tersebut adalah 8y – 8x – 11.
Identifikasi Suku Sejenis pada Ekspresi
Pada kedua ekspresi, suku-suku sejenis yang dapat dikelompokkan adalah:
- Suku dengan variabel x: -3x (dari ekspresi pertama) dan 5x (dari ekspresi kedua).
- Suku dengan variabel y: 5y (dari ekspresi pertama) dan -3y (dari ekspresi kedua).
- Suku konstanta: -4 (dari ekspresi pertama) dan +7 (dari ekspresi kedua).
Perbandingan Suku Sebelum dan Sesudah Pengurangan
Tabel berikut menunjukkan proses pengelompokan dan pengurangan suku-suku sejenis secara jelas.
| Jenis Suku | Suku dari (5y – 3x – 4) | Suku dari (5x – 3y + 7) setelah dikali -1 | Hasil Pengelompokan | Hasil Perhitungan |
|---|---|---|---|---|
| Variabel x | -3x | -5x | -3x – 5x | -8x |
| Variabel y | +5y | +3y | 5y + 3y | +8y |
| Konstanta | -4 | -7 | -4 – 7 | -11 |
Analogi untuk Memudahkan Pemahaman
Source: z-dn.net
Bayangkan Anda adalah seorang pedagang. Anda memiliki 5 keranjang berisi jeruk (5y), tetapi berutang 3 keranjang apel (-3x), dan juga berutang 4 ribu rupiah (-4). Lalu, Anda ingin menghapuskan (mengurangi) dari catatan Anda, sebuah utang yang terdiri dari 5 keranjang apel (5x), 3 keranjang jeruk (-3y), dan modal 7 ribu rupiah (+7). Setelah “pengurangan”, utang apel Anda bertambah menjadi 8 keranjang (-8x), jeruk yang Anda miliki menjadi 8 keranjang (8y), dan utang uang Anda menjadi 11 ribu (-11).
Wah, soal aljabar kayak gini, “Kurangkanlah: a. 5x – 9 dengan 7x + 15y b. 5x – 3y + 7 dari 5y – 3x – 4 c. -x^2 – 6xy + 3y^2 dari 5x^2 – 9xy – 4y^2”, emang butuh logika yang jernih, mirip kayak kita lagi cari nilai d pada Sebuah titik P(3, d) terletak pada garis yang melalui titkk Q(-2,10) dan R(1, 1).
Nilai d adalah. Nah, setelah paham konsep garis dan koordinat itu, pasti jadi lebih mudah ‘kan buat balik lagi dan fokus menyelesaikan pengurangan bentuk aljabar yang tadi? Yuk, kita kerjakan step by step!
Analogi ini menggambarkan bagaimana setiap jenis barang (variabel) dihitung secara terpisah.
Operasi pada Bentuk Kuadrat dan Pengurangan Polinomial
Tingkat kesulitan meningkat ketika kita memasuki dunia polinomial yang melibatkan kuadrat dan perkalian antar variabel. Soal ini meminta kita untuk mengurangkan (-x²
-6xy + 3y²) dari (5x²
-9xy – 4y²). Seperti sebelumnya, kata “dari” berarti ekspresi pertama adalah (5x²
-9xy – 4y²) dan ekspresi pengurang adalah (-x²
-6xy + 3y²), sehingga bentuk matematikanya adalah: (5x²
-9xy – 4y²)
-(-x²
-6xy + 3y²).
Kompleksitasnya terletak pada banyaknya jenis suku: suku x², suku y², dan suku xy. Setiap jenis ini harus dikelompokkan dan dihitung secara terpisah. Kesalahan dalam mengidentifikasi suku sejenis (misalnya, menganggap x² sama dengan xy) akan menghasilkan jawaban yang salah.
Pendekatan Sistematis untuk Pengurangan Polinomial
Langkah-langkah yang runut dan teliti sangat dibutuhkan untuk menyelesaikan operasi ini.
- Tuliskan ekspresi: (5x²
- 9xy – 4y²)
- (-x²
- 6xy + 3y²)
- Terapkan tanda minus pada kurung kedua. Ingat, ini mengubah semua tanda: 5x²
9xy – 4y² + x² + 6xy – 3y²
- Kelompokkan suku-suku sejenis dengan cermat:
- Suku x²: 5x² + x²
- Suku xy: -9xy + 6xy
- Suku y²: -4y²
-3y²
- Hitung masing-masing kelompok:
- (5 + 1)x² = 6x²
- (-9 + 6)xy = -3xy
- (-4 – 3)y² = -7y²
- Gabungkan hasilnya: 6x²
3xy – 7y²
Menangani Pengurangan Koefisien Negatif
Operasi ini penuh dengan koefisien negatif. Aturan dasarnya tetap sama: kurangkan koefisien untuk suku sejenis. Berikut adalah poin-poin pentingnya:
- Ketika mengurangkan bilangan negatif, itu sama dengan menambahkan bilangan positif. Misalnya, -4y²
-(-3y²) akan menjadi -4y² + 3y² = -y². Namun, dalam langkah kita, kita telah mengubah tanda kurung terlebih dahulu, sehingga perhitungan menjadi lebih lurus. - Perhatikan tanda pada setiap suku dengan saksama sebelum melakukan pengelompokan. Sebuah tanda minus yang terlewat akan merusak seluruh perhitungan.
Rangkuman Aturan Tanda: (-a)
- (-b) = -a + b | (-a)
- (+b) = -a – b | (+a)
- (-b) = a + b
Ilustrasi Visual Pengelompokan Suku Berderajat Tinggi
Visualisasikan tiga kotak terpisah. Kotak pertama hanya diisi oleh benda berbentuk persegi dengan label x². Kotak kedua diisi oleh benda berbentuk persegi panjang dengan label xy. Kotak ketiga diisi oleh benda berbentuk persegi dengan label y². Dari ekspresi pertama, masukkan 5 benda x², kembalikan 9 benda xy, dan kembalikan 4 benda y² ke kotak masing-masing.
Lalu, dari ekspresi kedua setelah dikali -1, kita tambahkan 1 benda x², tambahkan 6 benda xy, dan kembalikan 3 benda y². Sekarang, hitung isi setiap kotak: kotak x² berisi 6 benda, kotak xy berisi -3 benda, dan kotak y² berisi -7 benda. Ini menggambarkan bahwa operasi hanya terjadi pada benda-benda yang jenisnya完全相同 persis sama.
Latihan dan Penerapan Praktis
Untuk menguasai pengurangan aljabar, tidak ada cara yang lebih baik daripada terus berlatih. Latihan mempertajam pemahaman konseptual dan melatih kecepatan serta ketelitian dalam perhitungan. Berikut adalah serangkaian soal dengan tingkat kesulitan yang berbeda, dari yang paling dasar hingga yang menantang.
Setiap soal dirancang untuk menguji pemahamanmu pada aspek tertentu, seperti penanganan tanda, pengelompokan suku sejenis, dan urutan operasi. Usahakan untuk menyelesaikannya sendiri terlebih dahulu sebelum melihat pembahasan langkah demi langkah yang disediakan.
Soal Latihan dan Penyelesaian Langkah Demi Langkah
Soal 1 (Mudah): Kurangkan 3p + 2q dari 10p + 7q.
Penyelesaian: (10p + 7q)
-(3p + 2q) = 10p + 7q – 3p – 2q = (10p – 3p) + (7q – 2q) = 7p + 5q.
Soal 2 (Sedang): Kurangkan 2a – 3b – 5 dari 8 – a + 4b.
Penyelesaian: (8 – a + 4b)
-(2a – 3b – 5) = 8 – a + 4b – 2a + 3b + 5 = (-a – 2a) + (4b + 3b) + (8 + 5) = -3a + 7b + 13.
Soal 3 (Sulit): Kurangkan 2m²
-3mn + n² dari hasil penjumlahan m² + 4mn dan 5n²
-2mn.
Penyelesaian:
1. Cari hasil penjumlahan terlebih dahulu: (m² + 4mn) + (5n²
-2mn) = m² + (4mn – 2mn) + 5n² = m² + 2mn + 5n².
2. Sekarang kurangkan: (m² + 2mn + 5n²)
-(2m²
-3mn + n²) = m² + 2mn + 5n²
-2m² + 3mn – n² = (m²
-2m²) + (2mn + 3mn) + (5n²
-n²) = -m² + 5mn + 4n².
Contoh Kesalahan Perhitungan dan Koreksinya
Menganalisis kesalahan adalah bagian penting dari proses belajar. Tabel berikut menunjukkan beberapa kesalahan umum dan bagaimana memperbaikinya.
| Soal | Cara Salah | Cara Benar | Keterangan Kesalahan |
|---|---|---|---|
(x + 5)
|
x + 5 – x – 3 = 2 | x + 5 – x + 3 = 8 | Tanda minus untuk -3 tidak diubah menjadi +3. |
| Kurangkan 2h + k dari 5h | 2h + k – 5h = -3h + k | 5h – (2h + k) = 3h – k | Urutan “dari” terbalik. Ekspresi setelah “dari” harus jadi pengurang. |
(4x²
|
4x²
|
4x²
|
Tanda minus di depan -2x harus diubah menjadi +2x. |
Strategi Memeriksa Kembali Hasil Pengurangan
Setelah mendapatkan hasil, luangkan waktu sejenak untuk memverifikasinya. Beberapa strategi yang bisa digunakan:
- Substitusi Numerik: Ganti variabel dengan bilangan sederhana (misalnya, x=1, y=2) dan masukkan ke dalam ekspresi awal dan hasil akhir. Jika nilai kedua ekspresi sama, besar kemungkinan jawabanmu benar.
- Review Tanda: Periksa kembali langkah demi langkah, fokus khusus pada penerapan tanda minus di depan kurung. Pastikan tidak ada suku yang terlewat.
- Logika Kelompokan: Pastikan tidak ada suku yang tidak sejenis yang coba kamu jumlahkan. Hasil akhir seharusnya hanya mengandung suku-suku yang jenisnya sudah ada di soal, atau konstanta.
Penerapan dalam Situasi Praktis Sederhana
Konsep pengurangan aljabar bukan hanya abstraksi matematika. Ia memiliki penerapan dalam kehidupan sehari-hari, terutama dalam menghitung selisih. Misalnya, seorang pedagang tahu bahwa keuntungan kotor bulan ini adalah (50a + 200b) ribu rupiah, dimana a adalah harga jual satu barang A dan b adalah harga jual satu barang B. Dia juga mengetahui bahwa biaya operasionalnya adalah (30a + 150b + 500) ribu rupiah.
Untuk mencari keuntungan bersih, dia perlu mengurangkan biaya operasional dari keuntungan kotor: (50a + 200b)
-(30a + 150b + 500) = 20a + 50b –
500. Hasil ini memberitahunya bahwa keuntungan bersihnya sangat bergantung pada berapa banyak barang A dan B yang terjual.
Simpulan Akhir
Jadi, itulah tadi petualangan kita menyelesaikan soal-soal pengurangan aljabar tersebut. Kuncinya cuma satu: praktik, praktik, dan praktik. Cobalah buat soal sendiri, kurangkan berbagai ekspresi, dan jangan takut untuk membuat kesalahan karena dari situlah kita justru belajar. Semakin sering dilatih, rasa percaya diri dalam menghadapi x, y, ataupun pangkat dua akan semakin besar. Selamat berhitung!
Daftar Pertanyaan Populer
Apakah urutan pengurangan dalam soal itu penting?
Sangat penting. Frasa “dari” menandakan apa yang menjadi pengurang. Misal “mengurangi A dari B” berarti operasinya adalah B – A, bukan A – B.
Bagaimana jika tidak ada suku sejenis yang bisa dikurangkan?
Wah, soal aljabar pengurangan ini memang perlu ketelitian, ya. Kayak yang a, b, c tadi. Tapi jangan khawatir, soal hitung-hitungan pecahan kayak Hitunglah! 1) 1 1/2 + 2/3 2) 2 1/2 – 1 2/3 juga bisa jadi latihan buat mengasah logika matematika lo. Nah, balik lagi ke pengurangan ekspresi aljabar, kunci utamanya itu perhatikan tanda minusnya baik-baik, jangan sampai ada yang terlewat.
Suku yang tidak sejenis tidak dapat digabungkan. Mereka harus dibiarkan begitu saja dalam hasil akhir. Misal, hasil pengurangan bisa berbentuk -2x + 15y – 9, dimana -2x dan 15y adalah suku tidak sejenis.
Apakah konstanta bisa dikurangkan dengan suku yang memiliki variabel?
Tidak bisa. Konstanta hanya bisa dioperasikan dengan konstanta lainnya. Suku yang memiliki variabel (seperti 5x) hanya bisa dioperasikan dengan suku yang variabel dan pangkatnya完全相同 (persis sama).
