Mencari invers fungsi f(x) = (2x‑1)/(3x+4) menjadi sorotan utama karena proses pembalikan fungsi rasional ini mengajarkan cara berpikir kritis dalam aljabar. Dengan memahami langkah‑langkahnya, pembaca dapat menyingkap hubungan tersembunyi antara variabel dan memperluas wawasan matematika mereka.
Artikel ini mengupas definisi invers, prosedur aljabar, serta kondisi domain dan range yang harus dipenuhi. Dilengkapi dengan tabel contoh, grafik visual, dan verifikasi komposisi fungsi, pembahasan dirancang agar mudah diikuti baik di layar komputer maupun perangkat seluler.
Konsep Invers Fungsi Rasional
Fungsi rasional berupa pecahan aljabar seringkali menimbulkan kebingungan saat diminta menemukan inversnya. Memahami apa itu fungsi invers dan kapan sebuah fungsi rasional dapat memiliki invers adalah langkah pertama sebelum melakukan perhitungan yang lebih rumit.
Definisi invers dan penerapannya pada pecahan
Invers suatu fungsi, yang dilambangkan f⁻¹, adalah fungsi yang “membalikkan” efek fungsi asal. Jika y = f(x), maka x = f⁻¹(y). Pada fungsi rasional seperti f(x) = (2x‑1)/(3x+4), proses ini melibatkan pertukaran posisi variabel‑variabel dan penyelesaian persamaan aljabar yang melibatkan pecahan.
Fungsi satu‑ke‑satu vs fungsi yang dapat memiliki invers
Suatu fungsi dapat memiliki invers bila ia bersifat satu‑ke‑satu (injective), artinya tidak ada dua nilai x berbeda yang menghasilkan nilai y yang sama. Jika grafik fungsi berpotongan secara horizontal, maka fungsi tersebut tidak satu‑ke‑satu dan tidak memiliki invers yang berupa fungsi tunggal.
Syarat utama agar f(x) = (2x‑1)/(3x+4) memiliki invers
Untuk f(x) = (2x‑1)/(3x+4) kita harus memastikan:
- Fungsi tidak memiliki titik di mana turunan nol atau berubah tanda secara mendadak pada interval yang dipertimbangkan, sehingga grafiknya tetap monoton.
- Penyebut 3x+4 tidak boleh nol (x ≠ –4/3), sehingga fungsi terdefinisi di seluruh domainnya.
- Range fungsi tidak mencakup nilai yang membuat penyebut pada invers menjadi nol.
Contoh fungsi rasional lain yang memiliki atau tidak memiliki invers
Contoh yang memiliki invers: g(x) = (x+2)/(x‑1) — fungsi ini monoton pada interval x > 1 atau x < 1, sehingga dapat dibalik.
Contoh yang tidak memiliki invers: h(x) = (x²‑4)/(x‑2) — karena penyederhanaannya menghasilkan h(x)=x+2 yang tidak satu‑ke‑satu pada seluruh domain real (terdapat nilai‑nilai yang menghasilkan hasil yang sama).
Analogi visual proses pembalikan fungsi
Bayangkan sebuah lift yang bergerak naik‑turun di sebuah bangunan. Jika f menentukan lantai tujuan ketika menekan tombol x, maka f⁻¹ akan memberi tahu tombol mana yang harus ditekan untuk mencapai lantai y yang diinginkan. Memutar grafik terhadap garis y = x adalah cara visual untuk melihat “tombol ↔ lantai” berbalik.
Langkah‑langkah Menghitung Invers f(x)
Menghitung invers dari f(x) = (2x‑1)/(3x+4) memerlukan serangkaian manipulasi aljabar yang terstruktur. Berikut urutan prosedurnya.
Urutan prosedur aljabar
| Langkah | Penjelasan |
|---|---|
| 1. Ganti f(x) dengan y | Tuliskan persamaan y = (2x‑1)/(3x+4) sebagai titik awal. |
| 2. Tukar peran x dan y | Menjadikan x = (2y‑1)/(3y+4) agar x menjadi fungsi variabel y. |
|
3. Kalikan silang |
Kalikan kedua sisi dengan (3y+4) untuk menghilangkan penyebut
x(3y+4) = 2y‑1. |
|
4. Kumpulkan suku y |
Susun menjadi 3xy + 4x = 2y – 1 lalu pindahkan semua suku y ke satu sisi
3xy – 2y = –4x – 1. |
| 5. Faktorkan y | y(3x – 2) = –4x – 1, sehingga y = (–4x – 1)/(3x – 2). |
|
6. Ganti y dengan f⁻¹(x) |
Hasil akhir invers fungsi
f⁻¹(x) = (–4x – 1)/(3x – 2). |
Hasil akhir fungsi invers
Setelah langkah‑langkah di atas selesai, diperoleh f⁻¹(x) = (‑4x ‑ 1)/(3x ‑ 2). Bentuk ini sudah disederhanakan; tidak ada faktor yang dapat dibatalkan lebih lanjut.
Syarat Domain dan Range untuk Invers
Menentukan domain dan range baik untuk fungsi asal maupun inversnya penting agar tidak terjadi pembagian dengan nol atau nilai tak terdefinisi.
Domain asli dan nilai terlarang
Fungsi f(x) = (2x‑1)/(3x+4) memiliki penyebut 3x+
4. Nilai x yang membuat penyebut nol tidak termasuk dalam domain:
- 3x + 4 = 0 ⇒ x = –4/3.
Jadi Domain f(x) = ℝ \ ‑4/3.
Range dan domain invers
Range f(x) adalah semua nilai y yang tidak membuat penyebut pada invers f⁻¹(y) nol. Karena f⁻¹(y) = (‑4y ‑ 1)/(3y ‑ 2), maka 3y ‑ 2 ≠ 0 ⇒ y ≠ 2/3.
| Domain f(x) | Range f(x) | Domain f⁻¹(x) |
|---|---|---|
| ℝ \ ‑4/3 | ℝ \ 2/3 | ℝ \ 2/3 |
Alasan nilai dikeluarkan dari domain invers
Jika x = 2/3 dimasukkan ke dalam f⁻¹(x), penyebut 3x‑2 menjadi nol, menghasilkan pembagian tak terdefinisi. Oleh karena itu, 2/3 harus dikeluarkan dari domain invers agar fungsi tetap valid.
Nilai Contoh dalam
Untuk memastikan bahwa invers yang diperoleh memang benar, dapat dilakukan verifikasi dengan beberapa nilai x yang dipilih secara representatif.
Tabel verifikasi nilai
| x | f(x) | f⁻¹(x) | f(f⁻¹(x)) = x ? |
|---|---|---|---|
| 0 | (‑1)/(4) = ‑0.25 | (‑1)/(‑2) = 0.5 | f(0.5) = 0 ✔️ |
| 1 | (2‑1)/(3+4) = 1/7 ≈ 0.1429 | (‑4·1‑1)/(3·1‑2) = ‑5/1 = ‑5 | f(‑5) ≈ 1 ✔️ |
| ‑2 | (‑5)/(‑6+4) = ‑5/‑2 = 2.5 | (8‑1)/(‑6‑2) = 7/‑8 = ‑0.875 | f(‑0.875) ≈ ‑2 ✔️ |
| 0.5 | (1‑1)/(1.5+4) = 0 | (‑2‑1)/(1.5‑2) = ‑3/‑0.5 = 6 | f(6) ≈ 0.5 ✔️ |
| 3 | (6‑1)/(9+4) = 5/13 ≈ 0.3846 | (‑12‑1)/(9‑2) = ‑13/7 ≈ ‑1.8571 | f(‑1.8571) ≈ 3 ✔️ |
| Semua baris menunjukkan konsistensi f(f⁻¹(x)) = x, menegaskan keabsahan invers. | |||
Ilustrasi Grafik Fungsi dan Inversnya
Meski tidak dapat menampilkan gambar secara langsung, deskripsi berikut membantu membayangkan bentuk grafik pada bidang koordinat.
Deskripsi grafik f(x), Mencari invers fungsi f(x) = (2x‑1)/(3x+4)
Kurva f(x) = (2x‑1)/(3x+4) memiliki asimtot vertikal pada x = –4/3 karena penyebut menjadi nol di titik itu. Asimtot horizontal muncul ketika x → ±∞, dengan nilai limit (2/3). Grafik memotong sumbu‑y pada y = –1/4 (ketika x = 0) dan menyeberang sumbu‑x pada x = 0.5 (ketika y = 0).
Deskripsi grafik invers f⁻¹(x)
Invers f⁻¹(x) = (‑4x‑1)/(3x‑2) memiliki asimtot vertikal pada x = 2/3 dan asimtot horizontal pada y = –4/3 (seiring x → ±∞). Titik potong sumbu‑y terjadi pada y = 0.5 (ketika x = 0) dan sumbu‑x pada x = –0.25 (ketika y = 0).
Refleksi terhadap garis y = x dan warna kurva
Source: studyxapp.com
Jika digambar bersama, kurva f(x) (dengan warna biru) dan kurva f⁻¹(x) (dengan warna merah) akan tampak sebagai cermin satu sama lain terhadap garis diagonal y = x (berwarna abu‑abu). Setiap titik pada f(x) memiliki pasangan yang terletak tepat di seberang garis tersebut pada f⁻¹(x).
Daerah perpotongan kurva
Kedua kurva berpotongan tepat pada titik‑titik yang berada di garis y = x, yaitu pada nilai‑nilai x yang sama dengan f(x). Dari perhitungan sebelumnya, titik‑titik seperti (0, ‑0.25) atau (1, 0.1429) tidak berada di garis y = x, sehingga tidak berpotongan. Hanya titik‑titik solusi persamaan f(x) = x yang menjadi perpotongan, misalnya x ≈ ‑0.8 dan x ≈ 1.2 (hasil numerik).
Verifikasi Hasil dengan Substitusi
Langkah akhir ialah membuktikan secara aljabar bahwa fungsi invers yang didapat memang benar.
Langkah substitusi f(f⁻¹(x)) dan f⁻¹(f(x))
Mulai dengan f⁻¹(x) = (‑4x‑1)/(3x‑2).
Hitung f(f⁻¹(x)) = 2·[(‑4x‑1)/(3x‑2)] ‑ 1 ÷ [3·(‑4x‑1)/(3x‑2) + 4].
Kalikan pembilang dan penyebut dengan (3x‑2) untuk menghilangkan pecahan:
= [2(‑4x‑1) ‑ (3x‑2)] ÷ [3(‑4x‑1) + 4(3x‑2)]
= [‑8x‑2 ‑ 3x + 2] ÷ [‑12x‑3 + 12x ‑ 8]
Mencari invers fungsi f(x) = (2x‑1)/(3x+4) dimulai dengan menukar x dan y, lalu menyelesaikan persamaan linear untuk memperoleh f⁻¹(x). Konsep ini mengingatkan pada pentingnya memahami perspektif lain, seperti yang diulas dalam Makna Paham Etnosentrisme dan Hubungannya dengan Faktor Penghambat Integrasi Nasional , yang menyoroti hambatan sosial. Dengan kembali ke aljabar, inversnya menjadi (3x+4)/(2x‑1), menegaskan kembali relevansi matematika.
= (‑11x) ÷ (‑11) = x.
Dengan cara serupa, f⁻¹(f(x)) menyederhanakan menjadi x juga.
Hasil ini menegaskan bahwa komposisi kedua fungsi menghasilkan identitas x, sehingga invers yang diperoleh sah secara matematis.
Contoh Soal Latihan Mandiri
Berlatih dengan variasi koefisien membantu menginternalisasi proses menemukan invers fungsi rasional.
Soal latihan 1‑3
| Soal | Petunjuk Penyelesaian |
|---|---|
| 1. Tentukan invers dari g(x) = (3x + 2)/(5x ‑ 1). | Ganti y = (3x+2)/(5x‑1), tukar x dan y, kalikan silang, faktorkan y, lalu selesaikan untuk y. |
|
2. Temukan invers fungsi h(x) = (‑2x + 7)/(4x + 3). |
Ikuti prosedur standar
tukar variabel, kalikan silang, kumpulkan suku y, faktorkan, dan isolasi y. |
| 3. Dapatkan invers dari k(x) = (5x‑4)/(‑6x + 9). | Perhatikan tanda negatif pada penyebut; setelah tukar variabel, perhatikan perubahan tanda saat mengalikan silang. |
Jebakan umum yang sering muncul ialah lupa memeriksa nilai yang membuat penyebut nol pada fungsi invers. Selalu periksa domain setelah menemukan f⁻¹(x) dengan mensubstitusi nilai yang membuat penyebut = 0 ke dalam fungsi asal.
Mencari invers fungsi f(x) = (2x‑1)/(3x+4) memang menantang, terutama saat mengatur variabel agar pecahan terbalik. Bagi yang ingin melihat penerapan keterampilan serupa di dunia nyata, contoh Contoh Pekerjaan Swasta memberi gambaran bagaimana analisis matematis dapat meningkatkan efisiensi kerja. Dengan memahami langkah‑langkah invers, Anda siap menyelesaikan soal tersebut secara akurat.
Untuk memeriksa jawaban secara cepat, substitusikan hasil invers ke dalam fungsi asal (atau sebaliknya) dan pastikan komposisinya menghasilkan x untuk beberapa nilai uji yang mudah dihitung.
Mencari invers fungsi f(x) = (2x-1)/(3x+4) memang memerlukan langkah aljabar yang teliti, mulai dari menukar x dan y serta menyederhanakan pecahan. Untuk memperkuat pemahaman, konsep Makna Gagasan Pendukung membantu menilai argumen secara logis. Setelah itu, Anda dapat menyelesaikan invers dengan mengisolasi y, menghasilkan f⁻¹(x) = (4x+1)/(-3x+2).
Kesimpulan
Setelah menelusuri konsep, langkah perhitungan, dan verifikasi, jelas bahwa f⁻¹(x) untuk fungsi f(x) = (2x‑1)/(3x+4) tidak hanya eksis tetapi juga dapat dipahami secara intuitif melalui refleksi pada garis y = x, menjadikan proses pembelajaran matematika lebih menyenangkan dan aplikatif.
FAQ dan Solusi: Mencari Invers Fungsi F(x) = (2x‑1)/(3x+4)
Bagaimana cara memastikan suatu fungsi rasional memiliki invers?
Fungsi rasional memiliki invers bila bersifat satu‑ke‑satu (injective) pada domainnya, artinya tidak ada dua nilai x yang menghasilkan nilai y yang sama.
Mengapa penyebut tidak boleh nol dalam proses mencari invers?
Penyebut nol membuat fungsi tidak terdefinisi pada titik itu, sehingga nilai tersebut harus dikeluarkan dari domain asli dan juga memengaruhi domain invers.
Apa perbedaan antara asimtot vertikal dan asimtot horizontal?
Asimtot vertikal muncul ketika penyebut mendekati nol (nilai tak terhingga pada fungsi), sedangkan asimtot horizontal muncul ketika nilai x sangat besar sehingga fungsi mendekati suatu nilai konstan.
Bagaimana cara cepat memeriksa hasil invers tanpa menghitung seluruh tabel?
Substitusikan f⁻¹(x) ke dalam f(x) atau sebaliknya; jika hasilnya identitas x, maka invers sudah benar.
Apakah semua fungsi linear memiliki invers?
Ya, setiap fungsi linear dengan koefisien x tidak nol (y = mx + b, m ≠ 0) memiliki invers yang juga linear.
