Mencari KPK 252a⁵b² dan 108a³b⁵ memang terdengar menantang, namun dengan langkah‑langkah terstruktur prosesnya menjadi jauh lebih mudah. Pada dasarnya kita harus memecah masing‑masing koefisien menjadi faktor prima, lalu menggabungkan pangkat tertinggi variabel a serta b untuk mendapatkan hasil akhir yang tepat.
Pemahaman tentang faktorisasi prima, pemilihan eksponen terbesar, serta perbedaan antara KPK dan FPB pada monomial menjadi kunci utama. Setelah semua elemen tersebut disusun dalam tabel dan bullet‑point, hasil KPK dapat dituliskan dalam bentuk monomial yang lengkap, siap dipakai untuk menyelesaikan soal latihan atau aplikasi matematika lainnya.
Memahami faktorisasi prima angka 252 dan 108: Mencari KPK 252a⁵b² Dan 108a³b⁵
Faktorisasi prima merupakan langkah awal yang penting sebelum menghitung Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) pada monomial. Dengan mengetahui faktor‑faktor prima beserta pangkatnya, proses selanjutnya menjadi sistematis dan minim kesalahan.
Faktorisasi prima 252
Angka 252 dapat diuraikan menjadi faktor prima secara lengkap sebagai berikut:
| Faktor Prima | Pangkat |
|---|---|
| 2 | 2 |
| 3 | 2 |
| 7 | 1 |
Langkah‑langkah faktorisasi 252:
- Bagikan 252 dengan 2 → 126.
- Bagikan 126 dengan 2 → 63.
- Bagikan 63 dengan 3 → 21.
- Bagikan 21 dengan 3 → 7.
- 7 adalah bilangan prima, sehingga berhenti.
Faktorisasi prima 108
Angka 108 diuraikan menjadi faktor prima sebagai berikut:
| Faktor Prima | Pangkat |
|---|---|
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
Langkah‑langkah faktorisasi 108:
- Bagikan 108 dengan 2 → 54.
- Bagikan 54 dengan 2 → 27.
- Bagikan 27 dengan 3 → 9.
- Bagikan 9 dengan 3 → 3.
- Bagikan 3 dengan 3 → 1, selesai.
Faktor prima menjadi “batu bata” dalam perhitungan KPK; tanpa identifikasi yang tepat, hasil KPK dapat meleset.
Diagram pohon faktorisasi secara verbal: pada akar terdapat angka 252 (atau 108). Cabang pertama memisahkan faktor 2, kemudian cabang selanjutnya memisahkan sisa hasil bagi dengan 2 hingga tidak dapat dibagi lagi, dilanjutkan dengan faktor 3, dan seterusnya sampai mencapai faktor prima terakhir (7 untuk 252, 3 untuk 108). Setiap percabangan mencerminkan satu faktor prima beserta tingkat pemakaiannya.
Menentukan pangkat tertinggi variabel a dan b
Pada monomial 252a⁵b² dan 108a³b⁵, eksponen tertinggi masing‑masing variabel dipilih untuk menghitung KPK. Memilih eksponen terbesar memastikan semua faktor monomial dapat terbagi oleh KPK.
Cari KPK 252a⁵b² dan 108a³b⁵ itu seru karena melibatkan faktorisasi dan penyederhanaan aljabar; sambil mengerjakan, kita bisa lihat bagaimana peristiwa sejarah memengaruhi pola pikir masyarakat, misalnya melalui Dampak Sosial Politik Peristiwa G30S PKI yang menambah perspektif kritis. Kembali ke KPK, hasilnya membantu memperkuat pemahaman matematika.
Pilih pangkat terbesar untuk a dan b
Perbandingan eksponen:
- Untuk variabel a: 5 (dari a⁵) vs 3 (dari a³) → pangkat tertinggi 5.
- Untuk variabel b: 2 (dari b²) vs 5 (dari b⁵) → pangkat tertinggi 5.
Tabel tiga kolom yang menampilkan informasi tersebut:
| Variabel | Pangkat pada masing‑masing monomial | Pangkat tertinggi yang dipilih |
|---|---|---|
| a | 5 (dari 252a⁵b²) dan 3 (dari 108a³b⁵) | 5 |
| b | 2 (dari 252a⁵b²) dan 5 (dari 108a³b⁵) | 5 |
Prosedur penentuan pangkat tertinggi:
- Catat eksponen variabel pada setiap monomial.
- Bandingkan nilai eksponen untuk variabel yang sama.
- Pilih nilai yang lebih besar sebagai pangkat tertinggi.
- Gunakan pangkat ini dalam perhitungan KPK.
Aturan matematika menegaskan bahwa KPK mengandung pangkat tertinggi dari setiap faktor yang muncul pada semua suku.
Deskripsi visual perbandingan eksponen: bayangkan dua kolom vertikal, satu untuk variabel a dan satu untuk variabel b. Pada tiap kolom terdapat dua tingkat tinggi yang merepresentasikan nilai eksponen dari masing‑masing monomial, dengan panah menunjuk ke nilai yang lebih tinggi sebagai pilihan akhir.
Saat mencari KPK 252a⁵b² dan 108a³b⁵, kita sering terjebak pada perhitungan rumit, namun isu sosial tak kalah penting; misalnya Kekerasan terhadap buruh migran perempuan akibat diskriminasi menunjukkan betapa perlunya keadilan yang setara. Kembali ke KPK, faktor-faktor tersebut mengajarkan kita untuk memeriksa setiap variabel dengan teliti dan memastikan hasilnya akurat dalam konteks matematika maupun keadilan sosial.
Menghitung Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) monomial
Setelah faktor prima dan pangkat variabel tertinggi diketahui, KPK dapat dihitung dengan mengalikan semua faktor prima pada pangkat tertinggi serta variabel pada pangkat tertinggi.
Nilai numerik KPK, Mencari KPK 252a⁵b² dan 108a³b⁵
Faktor prima yang dipilih:
- 2 dengan pangkat 2 (karena 2² muncul pada kedua angka).
- 3 dengan pangkat 3 (karena 3³ muncul pada 108).
- 7 dengan pangkat 1 (hanya muncul pada 252).
Maka nilai numerik KPK = 2² × 3³ × 7 = 4 × 27 × 7 = 756.
Tabel empat kolom responsif:
| Komponen | Faktor Prima | Pangkat Terpilih | Hasil Perkalian |
|---|---|---|---|
| Angka | 2 | 2 | 4 |
| Angka | 3 | 3 | 27 |
| Angka | 7 | 1 | 7 |
| Variabel a | a | 5 | a⁵ |
| Variabel b | b | 5 | b⁵ |
Proses perkalian faktor numerik dan variabel:
- Kalikan semua hasil perkalian faktor prima: 4 × 27 × 7 = 756.
- Gabungkan variabel dengan pangkat tertinggi: a⁵ dan b⁵.
- Hasil akhir KPK merupakan produk 756a⁵b⁵.
Hasil KPK: 756a⁵b⁵
Deskripsi alur diagram perhitungan KPK secara verbal: mulai dari kotak “Faktor Prima 252 & 108”, cabang ke “Pilih pangkat tertinggi” untuk tiap faktor (2, 3, 7). Selanjutnya cabang ke “Kalikan faktor numerik” menghasilkan 756, kemudian gabungkan dengan “Variabel a⁵” dan “Variabel b⁵”, akhirnya mengarah ke kotak akhir “KPK = 756a⁵b⁵”.
Contoh soal latihan dengan solusi lengkap
Berikut tiga contoh soal yang menguji kemampuan menghitung KPK monomial dengan koefisien dan eksponen berbeda.
| Soal | Solusi singkat |
|---|---|
| Find KPK of 45x³y and 60x²y⁴. | 540x³y⁴ |
| Find KPK of 84m⁴n and 126m²n³. | 756m⁴n³ |
| Find KPK of 32p⁶q and 48p³q⁵. | 96p⁶q⁵ |
Penyelesaian masing‑masing contoh:
- Contoh 1
- Faktorisasi 45 = 3²·5, 60 = 2²·3·5.
- Pilih pangkat tertinggi: 2², 3², 5¹ → 4·9·5 = 180.
- Variabel: x³ vs x² → pilih x³; y vs y⁴ → pilih y⁴.
- KPK = 180·x³·y⁴ = 540x³y⁴.
- Contoh 2
- Faktorisasi 84 = 2²·3·7, 126 = 2·3²·7.
- Pilih pangkat tertinggi: 2², 3², 7¹ → 4·9·7 = 252.
- Variabel: m⁴ vs m² → m⁴; n vs n³ → n³.
- KPK = 252·m⁴·n³ = 756m⁴n³.
- Contoh 3
- Faktorisasi 32 = 2⁵, 48 = 2⁴·3.
- Pilih pangkat tertinggi: 2⁵, 3¹ → 32·3 = 96.
- Variabel: p⁶ vs p³ → p⁶; q vs q⁵ → q⁵.
- KPK = 96·p⁶·q⁵ = 96p⁶q⁵.
Strategi umum: faktorisasi prima koefisien, pilih pangkat tertinggi untuk tiap faktor prima, lalu gabungkan dengan variabel pada eksponen tertinggi.
Sketsa proses penyelesaian contoh 1 secara verbal: mulailah dengan dua kotak “45” dan “60”, tarik cabang ke faktorisasi masing‑masing, kemudian pilih pangkat terbesar untuk setiap faktor prima, gabungkan hasil menjadi “180”. Selanjutnya, buat dua kotak “x³y” dan “x²y⁴”, pilih eksponen tertinggi menghasilkan “x³y⁴”, dan akhirinya gabungkan menjadi “540x³y⁴”.
Perbandingan KPK dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) pada monomial
KPK dan FPB memiliki peran yang berlawanan dalam operasi pada monomial. KPK menyatukan semua faktor dengan pangkat tertinggi, sementara FPB menyisakan hanya faktor‑faktor yang muncul pada semua suku dengan pangkat terendah.
Perbedaan konsep KPK dan FPB
Source: gurune.net
| Aspek | Definisi KPK | Definisi FPB | Contoh aplikasi |
|---|---|---|---|
| Tujuan | Menggabungkan semua faktor agar setiap suku dapat membagi hasil. | Menemukan faktor terbesar yang dapat membagi semua suku. | KPK untuk menyamakan penyebut pecahan; FPB untuk menyederhanakan pecahan. |
| Pangkat faktor | Pangkat tertinggi di antara semua suku. | Pangkat terendah di antara semua suku. | KPK(252a⁵b²,108a³b⁵)=756a⁵b⁵; FPB(252a⁵b²,108a³b⁵)=12a³b². |
Prosedur menghitung FPB untuk 252a⁵b² dan 108a³b⁵
Langkah‑langahnya:
- Faktorisasi prima masing‑masing koefisien (lihat tabel faktorisasi).
- Pilih pangkat terendah untuk setiap faktor prima yang muncul pada kedua angka:
- 2ⁿ: pangkat terendah = 2¹.
- 3ⁿ: pangkat terendah = 3².
- 7 tidak muncul pada 108, sehingga tidak masuk.
- Kalikan faktor‑faktor terpilih: 2¹·3² = 2·9 = 18.
- Pilih pangkat terendah variabel:
- a⁵ vs a³ → a³.
- b² vs b⁵ → b².
- FPB = 18a³b² = 12a³b²? (Catatan: 18 = 2·3², tapi 252 memiliki faktor 7 yang tidak ada pada 108, jadi FPB koefisien = 2·3² = 18. Namun 108 = 2²·3³, sehingga faktor terendah 2¹·3² = 18.)
Hasil FPB: 18a³b²
Ilustrasi visualisasi: dua pohon faktorisasi berdampingan, masing‑masing menampilkan cabang faktor prima. Garis horizontal menghubungkan cabang yang sama, menandakan pangkat terendah yang dipilih, kemudian mengalir ke kotak “FPB = 18a³b²”. Di sisi lain, cabang dengan pangkat tertinggi mengarah ke “KPK = 756a⁵b⁵”.
Ringkasan prosedur lengkap dalam format checklist
Berikut rangkaian langkah yang harus diikuti mulai dari faktorisasi hingga verifikasi hasil KPK dan FPB.
| Nomor Langkah | Tindakan | Catatan penting |
|---|---|---|
| 1 | Faktorisasi prima masing‑masing koefisien. | Gunakan pembagian berulang hingga bilangan prima. |
| 2 | Catat eksponen variabel pada setiap monomial. | Pastikan tidak ada variabel yang terlewat. |
| 3 | Pilih pangkat tertinggi untuk setiap faktor prima. | Ini akan menjadi komponen KPK. |
| 4 | Pilih pangkat terendah untuk setiap faktor prima. | Ini akan menjadi komponen FPB. |
| 5 | Pilih pangkat tertinggi variabel. | Digunakan pada KPK. |
| 6 | Pilih pangkat terendah variabel. | Digunakan pada FPB. |
| 7 | Kalikan semua faktor numerik terpilih. | Hasilnya adalah koefisien KPK atau FPB. |
| 8 | Gabungkan variabel dengan pangkat terpilih. | Membentuk monomial akhir. |
| 9 | Verifikasi dengan membagi KPK/FPB oleh masing‑masing monomial asal. | Pastikan hasilnya berupa bilangan bulat. |
Penjelasan singkat tiap langkah:
- Langkah 1‑2: Menyiapkan data dasar, faktor prima dan eksponen variabel.
- Langkah 3‑4: Menentukan nilai maksimum dan minimum yang diperlukan.
- Langkah 5‑6: Menyelaraskan eksponen variabel dengan tujuan KPK atau FPB.
- Langkah 7‑8: Menghitung hasil akhir melalui perkalian dan penyusunan monomial.
- Langkah 9: Memastikan tidak ada kesalahan perhitungan dengan melakukan pengecekan kembali.
Checklist singkat: 1) Faktorisasi, 2) Catat eksponen, 3) Pilih pangkat tertinggi (KPK) & terendah (FPB), 4) Kalikan koefisien, 5) Gabungkan variabel, 6) Verifikasi.
Visualisasi flowchart teks: Mulai → Faktorisasi prima → Catat eksponen variabel → Pilih pangkat tertinggi/terendah → Hitung koefisien KPK & FPB → Gabungkan variabel → Verifikasi → Selesai.
Terakhir
Dengan mengikuti urutan faktorisasi, pemilihan pangkat tertinggi, dan penggabungan faktor‑faktor numerik, KPK 252a⁵b² dan 108a³b⁵ dapat diperoleh secara cepat dan akurat. Pendekatan ini tidak hanya memperkuat konsep dasar aljabar, tetapi juga memudahkan penyelesaian soal‑soal serupa di masa depan.
Area Tanya Jawab
Bagaimana cara menemukan faktor prima 252?
Mulailah dengan membagi 252 dengan bilangan prima terkecil (2), kemudian lanjutkan dengan 3, 7, dan seterusnya hingga hasil pembagian menjadi 1.
Apakah faktor prima 108 sama dengan 252?
Tidak, 108 memiliki faktor prima 2 dan 3 dengan pangkat berbeda dibandingkan 252.
Mengapa harus memilih pangkat tertinggi variabel?
Karena KPK memerlukan semua faktor yang muncul, jadi eksponen terbesar menjamin monomial hasil dapat dibagi oleh setiap monomial asal.
Bagaimana cara membedakan KPK dan FPB pada monomial?
KPK menggunakan pangkat tertinggi tiap faktor, sedangkan FPB menggunakan pangkat terendah; hasilnya biasanya berlawanan dalam hal ukuran.
Apa kegunaan praktis KPK monomial dalam kehidupan sehari‑hari?
KPK monomial sering dipakai dalam penyederhanaan pecahan aljabar, penjumlahan atau pengurangan suku‑suku dengan penyebut berbeda.
