Mencari Persamaan dengan Akar (p‑q) dan (q‑k) bukan sekadar latihan aljabar biasa, melainkan sebuah jembatan elegan yang menghubungkan konsep dasar akar-akar persamaan kuadrat dengan manipulasi parameter yang dinamis. Topik ini mengajak kita untuk melihat lebih dalam bagaimana hubungan antara variabel p, q, dan k dapat dirajut menjadi sebuah persamaan kuadrat yang koheren, di mana sifat-sifat akarnya punya cerita sendiri untuk diceritakan.
Dengan memahami bentuk umum persamaan yang akar-akarnya adalah (p-q) dan (q-k), kita dapat mengungkap pola-pola tersembunyi, menentukan nilai parameter yang hilang, hingga menyusun persamaan baru yang lebih kompleks. Proses ini melibatkan tarian antara rumus jumlah dan hasil kali akar, analisis diskriminan, serta penerapannya dalam menyelesaikan masalah matematika yang konkret dan menantang.
Konsep Dasar dan Bentuk Umum Persamaan
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui, seperti (p‑q) dan (q‑k), dapat dibangun dengan memanfaatkan hubungan mendasar antara akar dan koefisien. Prinsip ini, dikenal sebagai rumus Vieta, menjadi pondasi untuk menyusun persamaan dalam bentuk baku. Dengan mengetahui kedua akar tersebut, kita dapat secara langsung menentukan jumlah dan hasil kali akar, yang kemudian dikonversi menjadi persamaan kuadrat lengkap.
Bentuk Umum dan Hubungan Koefisien
Secara umum, jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar α dan β, maka persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai x²
-(α + β)x + (αβ) =
0. Dalam konteks kita, α = (p – q) dan β = (q – k). Dengan demikian, jumlah akar (S) dan hasil kali akar (P) dapat dihitung sebagai berikut:
S = (p – q) + (q – k) = p – k
P = (p – q)(q – k) = pq – pk – q² + qk
Persamaan kuadrat standarnya menjadi: x²
-(p – k)x + (pq – pk – q² + qk) = 0. Proses penjabaran dari bentuk akar ke bentuk standar ini bersifat sistematis. Setelah menghitung S dan P, kita cukup mensubstitusikannya ke dalam kerangka x²
-Sx + P = 0. Tabel berikut memberikan gambaran visual tentang variasi persamaan yang dihasilkan dari nilai p, q, dan k yang berbeda.
| Nilai p | Nilai q | Nilai k | Persamaan Kuadrat yang Diperoleh |
|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 1 | x²
4x + 3 = 0 (Akar 3 dan 1) |
| 0 | -3 | 2 | x²
Mencari persamaan dengan akar (p‑q) dan (q‑k) dalam matematika mengajarkan kita untuk menemukan pola dan hubungan yang mendasar. Proses analitis ini ternyata memiliki resonansi dalam ilmu sosial, khususnya ketika kita mengeksplorasi Pengertian peran sebagai paradigma pembangunan , di mana setiap elemen masyarakat memiliki fungsi spesifik yang saling terkait. Dengan demikian, pemahaman terhadap relasi antar variabel dalam persamaan akar tersebut memberikan analogi yang kuat untuk menganalisis bagaimana peran yang terdefinisi dengan baik dapat membentuk sebuah sistem pembangunan yang kohesif dan berkelanjutan, layaknya menyelesaikan sebuah persamaan matematika yang kompleks. (-2)x + (-15) = 0 → x² + 2x – 15 = 0 (Akar 3 dan -5) |
| 4 | 4 | 7 | x²
(-3)x + (-12) = 0 → x² + 3x – 12 = 0 (Akar 0 dan -3?) Koreksi: (4-4)=0, (4-7)=-Hasil kali 0*(-3)=
|
| -1 | 2 | -2 | x²(1)x + (-12) = 0 → x²
|
Demonstrasi lengkap untuk baris pertama: dengan p=5, q=2, k=
1. Akarnya adalah (5-2)=3 dan (2-1)=
1. Jumlah akar = 3+1=4, hasil kali = 3*1=
3. Persamaannya: x²
-4x + 3 =
0. Hasil ini konsisten dengan perhitungan menggunakan rumus umum: S = p – k = 5-1=4, P = (5*2)
-(5*1)
-(2)² + (2*1) = 10 – 5 – 4 + 2 = 3.
Menentukan Nilai Parameter yang Tidak Diketahui
Seringkali dalam soal, kita dihadapkan pada situasi di mana persamaan dengan akar (p‑q) dan (q‑k) telah diketahui koefisiennya, namun salah satu dari parameter p, q, atau k justru menjadi variabel yang harus dicari. Menyelesaikan masalah seperti ini memerlukan pendekatan yang terstruktur untuk membangun sistem persamaan dari informasi yang ada.
Prosedur dan Contoh Penyelesaian Sistem Persamaan, Mencari Persamaan dengan Akar (p‑q) dan (q‑k)
Langkah awal adalah mengidentifikasi semua informasi kuantitatif dari soal, baik yang tersurat maupun tersirat. Kemudian, kita membangun dua persamaan utama: satu dari jumlah akar (S = p – k) dan satu dari hasil kali akar (P = pq – pk – q² + qk). Jika informasi yang diberikan cukup, sistem persamaan ini dapat diselesaikan untuk menemukan parameter yang belum diketahui.
Sebagai ilustrasi, misalkan diberikan persamaan x²
-2x – 15 = 0 dengan akar-akar (p‑q) dan (q‑k). Diketahui juga bahwa p = 7. Tentukan nilai q dan k.
- Langkah 1: Identifikasi koefisien. Dari x²
-2x – 15 = 0, diperoleh jumlah akar S = 2 dan hasil kali akar P = -15. - Langkah 2: Terapkan rumus Vieta untuk akar. S = p – k = 2. Karena p=7, maka 7 – k = 2 → k = 5.
- Langkah 3: Gunakan persamaan hasil kali. P = pq – pk – q² + qk = –
15. Substitusi p=7 dan k=5: (7q)
-(7*5)
-q² + (q*5) = -15 → 7q – 35 – q² + 5q = -15. - Langkah 4: Sederhanakan dan selesaikan persamaan kuadrat dalam q. -q² + 12q – 35 + 15 = 0 → -q² + 12q – 20 = 0 → q²
-12q + 20 = 0. Faktorkan menjadi (q-2)(q-10)=0. Jadi, q = 2 atau q = 10. - Langkah 5: Verifikasi. Untuk (p,q,k) = (7,2,5): akarnya (7-2)=5 dan (2-5)=-
3. Jumlahnya 2, hasil kali –
15. Cocok. Untuk (7,10,5): akarnya (7-10)=-3 dan (10-5)=5.Jumlahnya 2, hasil kali -15. Juga cocok. Jadi, terdapat dua solusi yang memenuhi.
Aplikasi dalam Menyusun Persamaan Baru
Keampuhan teori persamaan kuadrat terlihat ketika kita ingin membentuk persamaan baru yang akar-akarnya merupakan transformasi aljabar dari akar awal, seperti kuadrat, kebalikan, atau penjumlahan dengan konstanta. Proses ini tidak memerlukan pencarian nilai akar secara eksplisit, melainkan cukup memanipulasi jumlah dan hasil kali akar yang lama untuk mendapatkan yang baru.
Metode Transformasi Akar dan Diagram Alur
Misalkan persamaan awal A: x²
-Sx + P = 0 dengan akar α=(p-q) dan β=(q-k). Kita ingin membuat persamaan baru B yang akar-akarnya adalah, misalnya, α² dan β². Langkahnya adalah menghitung jumlah akar baru (S’ = α² + β²) dan hasil kali akar baru (P’ = α²β²). Ekspresi S’ dan P’ ini dapat dinyatakan dalam S dan P: α² + β² = (α+β)²
-2αβ = S²
-2P.
Sementara itu, α²β² = (αβ)² = P². Dengan S’ dan P’ yang baru, persamaan B adalah x²
-S’x + P’ = 0.
Hubungan antara persamaan awal dan baru dapat divisualisasikan dalam sebuah diagram alur logis: Dimulai dari Persamaan A beserta nilai S dan P. Transformasi yang diinginkan (misal, kuadrat) menentukan rumus perhitungan S’ dan P’ berdasarkan S dan P. Hasil perhitungan S’ dan P’ kemudian menjadi masukan langsung untuk menyusun Persamaan B. Alur ini bersifat linier dan menghindari perhitungan akar secara numerik.
Contoh Perhitungan Persamaan dengan Akar Kuadrat
Ambil contoh dari tabel pertama, persamaan x²
-4x + 3 = 0 dengan akar α=3 dan β=1 (diperoleh dari p=5,q=2,k=1). Kita akan buat persamaan baru dengan akar α²=9 dan β²=
1. Menggunakan metode transformasi: S = 4, P = 3. Maka S’ = S²
-2P = (4)²
-2*(3) = 16 – 6 = 10. P’ = P² = (3)² = 9.
Persamaan barunya adalah x²
-10x + 9 = 0. Jika dihitung langsung, akar 9 dan 1 memang memenuhi persamaan tersebut, membuktikan keakuratan metode ini.
Analisis Sifat-Sifat Akar dan Diskriminan: Mencari Persamaan Dengan Akar (p‑q) Dan (q‑k)
Diskriminan (D) dari sebuah persamaan kuadrat berfungsi sebagai penanda sifat alami akar-akarnya. Dalam konteks persamaan dengan akar (p‑q) dan (q‑k), nilai D tidak hanya menunjukkan apakah akarnya real atau imajiner, tetapi juga dapat dianalisis lebih jauh untuk memahami hubungan antara parameter p, q, dan k yang memengaruhi tanda dari masing-masing akar.
Diskriminan dan Kondisi Tanda Akar
Source: gauthmath.com
Diskriminan didefinisikan sebagai D = b²
-4ac. Untuk persamaan bentuk x²
-(p-k)x + (pq – pk – q² + qk) = 0, nilai D = (p-k)²
-4*(pq – pk – q² + qk). Sifat akar bergantung pada D: D > 0 mengindikasikan dua akar real berbeda, D = 0 berarti akar real kembar, dan D < 0 menandai akar imajiner/kompleks. Lebih menarik lagi, tanda akar (positif/negatif) dapat diinvestigasi tanpa menyelesaikan persamaan. Syarat agar kedua akar positif adalah jumlah akar (p-k) > 0 dan hasil kali akar (pq – pk – q² + qk) > 0.
Sebaliknya, akar berlawanan tanda terjadi jika dan hanya jika hasil kali akar bernilai negatif.
Kesimpulan penting: Dalam persamaan kuadrat x²-Sx + P = 0, tanda akar dikendalikan oleh S dan P. Dua akar positif jika S > 0 dan P > 0. Dua akar negatif jika S < 0 dan P > 0. Akar berlawanan tanda jika P < 0 (tanda S menentukan akar mana yang mutlaknya lebih besar). Akar berkebalikan jika P = 1.
Analisis ini sangat berguna dalam pemecahan masalah pemodelan dimana parameter p, q, k merepresentasikan besaran fisik atau ekonomi, sehingga sifat akar memiliki interpretasi dunia nyata yang spesifik.
Studi Kasus Numerik dan Penyelesaian Masalah
Untuk mengkonsolidasikan pemahaman, mari kita telusuri tiga studi kasus nyata dengan angka spesifik. Setiap kasus akan diselesaikan dengan dua pendekatan yang mungkin: pendekatan langsung (menghitung akar lalu menyusun persamaan) dan pendekatan menggunakan rumus Vieta (bekerja dengan jumlah dan hasil kali). Perbandingan ini akan menunjukkan efisiensi dan keanggunan dari masing-masing metode dalam konteks yang berbeda.
Perbandingan Tiga Studi Kasus
| Deskripsi Masalah | Pendekatan Substitusi Langsung | Pendekatan Jumlah-Hasil Kali Akar | Insight yang Diperoleh |
|---|---|---|---|
| Kasus 1: Diketahui p=8, q=3, k=
Dalam matematika, mencari persamaan dengan akar (p‑q) dan (q‑k) mengajarkan refleksi atas hubungan dan transisi, mirip dengan momen penting dalam hidup. Layaknya perasaan Ucapan Syukur dan Terima Kasih atas Masuk SMA yang tulus, proses aljabar ini pun membutuhkan apresiasi atas setiap langkah yang membawa pada solusi. Pada akhirnya, pemahaman mendalam tentang kedua akar tersebut justru memperkaya kerangka berpikir analitis kita secara menyeluruh. 5. Susun persamaan kuadratnya. |
Akar
(8-3)=5, (3-5)=- 2. Persamaan (x-5)(x+2)=0 → x²
|
S = p-k = 8-5=
10. Persamaan x² |
Kedua metode setara. Untuk menyusun, pendekatan Vieta lebih cepat karena menghindari perkalian faktor. |
| Kasus 2: Persamaan x² + x – 6 = 0 akarnya (p‑q) & (q‑k). Jika q=0, cari p & k. | Akar pers: x²+x-6=0 → (x+3)(x-2)=
2. Atau sebaliknya p=2, k=3. |
S = -1 = p-k. P = -6 = (p*0)
|
Pendekatan akar langsung lebih intuitif. Pendekatan sistem berguna jika akar tidak bulat. |
| Kasus 3: Dari persamaan Kasus 1, buat persamaan baru dengan akar yang masing-masing ditambah 2. | Akar lama: 5 dan –
2. Akar baru 7 dan 0. Persamaan baru (x-7)(x-0)=0 → x² 7x = 0. |
Dari pers. awal
S=3, P=- Mencari persamaan dengan akar (p‑q) dan (q‑k) memerlukan ketelitian logis dan analitis yang tajam. Keterampilan berpikir terstruktur ini juga sangat berguna dalam ranah lain, misalnya saat mengasah kemampuan berbahasa melalui Latihan Pilihan Ganda Tata Bahasa Inggris. Dengan demikian, pendekatan sistematis yang diterapkan dalam latihan tata bahasa dapat memperkuat fondasi logika yang diperlukan untuk menyelesaikan problem aljabar seperti mencari persamaan dari akar-akar tersebut secara lebih presisi.
0. Persamaan baru x² |
Pendekatan transformasi Vieta sangat powerful, terutama untuk akar tidak rasional atau saat diminta bentuk umum. |
Dari ketiga kasus tersebut, terlihat bahwa pemilihan metode sering bergantung pada apa yang diberikan dan apa yang ditanyakan. Pemahaman mendalam tentang kedua pendekatan memberikan fleksibilitas dalam memilih strategi penyelesaian yang paling efisien dan minim kesalahan.
Simpulan Akhir
Dari pembahasan mendalam ini, terlihat jelas bahwa persamaan dengan akar (p-q) dan (q-k) menawarkan sebuah laboratorium mini untuk mengasah pemahaman aljabar. Kemampuan untuk menelusuri hubungan antar parameter, menganalisis sifat akar melalui diskriminan, dan mentransformasikannya ke dalam bentuk baru merupakan keterampilan kunci yang dapat diterapkan dalam berbagai konteks matematika yang lebih luas. Pada akhirnya, penguasaan terhadap topik ini bukan hanya tentang menemukan nilai x, tetapi tentang mengapresiasi struktur dan keindahan logika yang mendasari persamaan kuadrat itu sendiri.
Pertanyaan Umum (FAQ)
Apakah nilai p, q, dan k harus bilangan real?
Tidak selalu. Meski sering dibahas dalam konteks bilangan real, p, q, dan k bisa berupa bilangan kompleks. Namun, sifat akar (real atau imajiner) akan ditentukan oleh nilai diskriminan persamaan kuadrat yang dihasilkan.
Bagaimana jika (p-q) sama dengan (q-k)?
Jika (p-q) = (q-k), maka kedua akarnya sama (kembar). Ini berarti nilai diskriminannya nol, dan dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa q = (p+k)/2, atau dengan kata lain, q adalah rata-rata dari p dan k.
Bisakah persamaan ini diterapkan dalam soal cerita atau pemodelan?
Sangat mungkin. Misalnya, p, q, dan k dapat merepresentasikan usia, jarak, atau nilai tertentu. Hubungan selisih seperti (p-q) dan (q-k) sering muncul dalam masalah yang melibatkan perbandingan atau urutan, sehingga konsep ini dapat digunakan untuk membentuk model matematikanya.
Apa perbedaan utama antara metode jumlah-hasil kali akar dengan substitusi langsung?
Metode jumlah-hasil kali akar lebih elegan dan sistematis, terutama saat memanipulasi untuk membentuk persamaan baru. Substitusi langsung, dengan menyatakan akar ke dalam bentuk (x – (p-q))(x – (q-k))=0, lebih mudah dipahami secara konseptual awal tetapi bisa menjadi rumit untuk analisis lebih lanjut.
