Menentukan g(x) dari (f∘g)(x) = (2x+3)³ dan f(x)=x³ – Menentukan g(x) dari (f∘g)(x) = (2x+3)³ dan f(x)=x³ terdengar seperti teka-teki aljabar yang rumit, padahal sebenarnya ini adalah puzzle matematika yang asyik untuk dipecahkan. Bayangkan kamu punya mesin misterius (g(x)) yang memproses input, lalu hasilnya dimasukkan ke mesin penghitung kubik (f(x)). Tantangannya adalah menebak mesin pertama itu hanya dari melihat output akhirnya.
Konsep komposisi fungsi ini mirip dengan proses masak-memasak, di mana bahan mentah (x) diolah dengan cara tertentu (g(x)) menjadi bahan setengah jadi, yang kemudian dimasak dengan resep lain (f(x)) menjadi hidangan akhir. Di sini, kita tahu resep akhirnya adalah “pangkat tiga” dan hidangan akhirnya adalah (2x+3)³. Sekarang, mari kita bongkar bersama langkah-langkah logis untuk menemukan fungsi rahasia g(x) yang tersembunyi di balik komposisi tersebut.
Pengantar Komposisi Fungsi dan Permasalahan
Dalam matematika, khususnya aljabar, komposisi fungsi adalah proses menggabungkan dua fungsi atau lebih menjadi satu fungsi baru. Konsep ini dilambangkan dengan (f∘g)(x), yang dibaca “f bundaran g dari x”. Makna dari simbol ini adalah kita menerapkan fungsi g terlebih dahulu pada x, kemudian hasilnya menjadi input untuk fungsi f. Secara formal, hubungannya ditulis sebagai (f∘g)(x) = f(g(x)).
Bayangkan Anda sedang memproses foto di ponsel. Pertama, Anda memotret suatu objek (fungsi g: objek nyata -> file digital). Kemudian, Anda menerapkan filter hitam-putih pada foto tersebut (fungsi f: file digital berwarna -> file digital hitam-putih). Proses akhir dari objek asli hingga menjadi foto hitam-putih itulah komposisi fungsi (f∘g). Dalam permasalahan kita, kita mengetahui hasil akhir dari proses komposisi ini, yaitu (2x+3)³, dan kita tahu filter yang digunakan di tahap akhir adalah f(x)=x³.
Tugas kita adalah merekonstruksi atau menemukan proses awal (fungsi g) yang terjadi sebelum filter pangkat tiga diterapkan.
Komponen yang Diketahui dan Tidak Diketahui
Dalam soal menentukan g(x) dari (f∘g)(x) = (2x+3)³ dan f(x)=x³, kita telah memiliki beberapa informasi kunci. Fungsi luar, yaitu f(x), sudah didefinisikan secara eksplisit sebagai pemangkatan tiga. Hasil dari komposisi fungsi, (f∘g)(x), juga telah diberikan dalam bentuk yang spesifik. Satu-satunya komponen yang belum terungkap adalah fungsi dalam, yaitu g(x). Tujuan penyelesaiannya adalah membalikkan proses komposisi untuk mengisolasi dan menemukan bentuk eksak dari g(x) tersebut.
Prosedur Penyelesaian Langkah demi Langkah
Menyelesaikan masalah seperti ini memerlukan pendekatan sistematis. Langkah-langkahnya bersifat logis dan mengikuti definisi dasar komposisi fungsi. Dengan menelusuri setiap tahap dengan cermat, kita dapat mengungkap fungsi yang dicari tanpa perlu menerka-nerka.
Demonstrasi Penyelesaian untuk g(x)
Proses dimulai dengan menerjemahkan notasi komposisi ke dalam bentuk yang dapat dioperasikan secara aljabar. Selanjutnya, substitusi dan manipulasi persamaan akan membawa kita pada bentuk yang memungkinkan penarikan kesimpulan tentang g(x). Berikut adalah rangkuman prosedur tersebut dalam bentuk tabel untuk membandingkan setiap langkah dengan logika di baliknya.
| Langkah Prosedur | Penjelasan Logis |
|---|---|
|
1. Menyamakan bentuk (f∘g)(x) = f(g(x)) |
Langkah ini adalah penerapan langsung definisi komposisi fungsi. Kita mengubah notasi bundaran menjadi bentuk evaluasi fungsi yang standar agar bisa bekerja dengan rumus f(x). |
|
2. Substitusi f(x) f(g(x)) = [g(x)]³ |
Karena f(x) didefinisikan sebagai x³, maka ketika inputnya adalah g(x), fungsi f akan memangkatkan tiga seluruh nilai g(x). Ini adalah inti dari substitusi. |
|
3. Membentuk persamaan [g(x)]³ = (2x+3)³ |
Kita mengetahui hasil akhir komposisi adalah (2x+3)³. Dengan menyamakan hasil substitusi langkah 2 dengan hasil yang diketahui, kita mendapatkan sebuah persamaan yang hanya mengandung g(x) sebagai variabel yang belum diketahui. |
|
4. Mengekstrak g(x) g(x) = 2x + 3 |
Karena kedua ruas persamaan dipangkatkan tiga, kita dapat mengambil akar pangkat tiga dari kedua ruas. Dalam bilangan riil, akar pangkat tiga dari suatu bilangan pangkat tiga adalah bilangan itu sendiri, sehingga kita peroleh g(x) secara langsung. |
Pembahasan Solusi dan Interpretasi Hasil
Setelah melalui prosedur aljabar, kita sampai pada solusi yang elegan. Fungsi g(x) yang dicari ternyata adalah fungsi linear sederhana, yaitu g(x) = 2x +
3. Hasil ini menunjukkan bahwa komposisi (f∘g)(x) = (2x+3)³ pada dasarnya adalah proses: pertama, kalikan input dengan 2 dan tambah 3; kedua, pangkatkan tiga hasil dari langkah pertama.
Keunikan Solusi Riil
Meskipun operasi akar pangkat tiga dalam bilangan kompleks memiliki tiga solusi (akar kubik), dalam konteks fungsi riil yang umum dibahas di tingkat awal, kita hanya mempertimbangkan akar riil utama. Oleh karena itu, untuk semua bilangan riil x, penyelesaian [g(x)]³ = (2x+3)³ menghasilkan satu jawaban riil tunggal, yaitu g(x) = 2x + 3. Ini konsisten dengan sifat fungsi pangkat tiga dan akar pangkat tiga yang merupakan fungsi ganjil dan satu-satu dalam domain bilangan riil.
Ilustrasi Grafis Transformasi
Grafik dari fungsi g(x) = 2x + 3 adalah sebuah garis lurus. Garis ini memiliki kemiringan (slope) sebesar 2, yang berarti naik 2 unit vertikal untuk setiap kenaikan 1 unit horizontal. Garis ini juga memotong sumbu vertikal di titik (0, 3). Jika kita membayangkan komposisi (f∘g)(x), transformasi linear oleh g(x) ini akan “merentangkan” dan “menggeser” sumbu-x sebelum kemudian setiap titik pada garis tersebut dipangkatkan tiga oleh f(x), menghasilkan kurva kubik yang sesuai.
Eksplorasi Variasi dan Verifikasi
Memverifikasi solusi dan mengeksplorasi bagaimana perubahan pada soal mempengaruhi jawaban adalah bagian penting untuk memperdalam pemahaman. Hal ini menguji ketelitian dan fleksibilitas dalam menerapkan konsep yang sama pada situasi yang berbeda.
Prosedur Verifikasi Solusi
Untuk memastikan bahwa g(x) = 2x + 3 benar, kita dapat melakukan komposisi balik. Caranya adalah dengan menghitung f(g(x)) menggunakan g(x) yang telah kita temukan. Jika f(g(x)) = (2x+3)³, maka solusi kita terbukti benar.
f(g(x)) = f(2x+3) = (2x+3)³. Hasil ini persis sama dengan (f∘g)(x) yang diberikan di soal.
Skenario Alternatif dengan f(x) yang Berbeda
Misalkan f(x) bukan x³, melainkan x². Soal berubah menjadi: Tentukan g(x) jika (f∘g)(x) = (2x+3)² dan f(x)=x². Proses awalnya serupa: [g(x)]² = (2x+3)². Namun, langkah ekstraksi menjadi berbeda. Mengambil akar kuadrat dari kedua ruas memberikan |g(x)| = |2x+3|.
Ini berarti g(x) bisa bernilai +(2x+3) atau -(2x+3). Dalam konteks ini, kita mendapatkan dua kemungkinan solusi riil, berbeda dengan kasus pangkat tiga yang hanya memberikan satu.
Langkah-Langkah Kunci Penyelesaian Masalah Komposisi
- Identifikasi dengan tepat fungsi mana yang diberikan sebagai fungsi luar (f) dan mana yang merupakan hasil komposisi (f∘g).
- Tuliskan definisi komposisi: (f∘g)(x) = f(g(x)).
- Substitusikan bentuk aljabar dari f(x) ke dalam persamaan, sehingga f(g(x)) ditulis dalam bentuk yang mengandung g(x).
- Samakan hasil substitusi dengan bentuk (f∘g)(x) yang diketahui dari soal, lalu selesaikan persamaan tersebut untuk mengisolasi g(x).
- Selalu pertimbangkan domain dan sifat fungsi (seperti apakah fungsi satu-satu) saat melakukan operasi invers seperti akar, karena dapat mempengaruhi jumlah solusi.
Aplikasi dan Contoh Soal Latihan
Untuk menguasai teknik menentukan fungsi dalam komposisi, latihan dengan variasi soal sangat diperlukan. Berikut disajikan dua contoh soal dengan tingkat kerumitan berbeda. Soal pertama lebih langsung, sementara soal kedua melibatkan langkah manipulasi aljabar tambahan.
Contoh Soal Latihan, Menentukan g(x) dari (f∘g)(x) = (2x+3)³ dan f(x)=x³
Soal 1: Diketahui f(x) = √x dan (f∘g)(x) = √(4x – 1). Tentukan fungsi g(x).
Clue: Ingat bahwa f(g(x)) = √(g(x)). Samakan dengan √(4x – 1). Apa yang harus berada di dalam akar kuadrat?
Soal 2: Diketahui f(x) = 1/(x+1) dan (f∘g)(x) = (x – 2) / (3x). Tentukan fungsi g(x).
Clue: Tulis f(g(x)) = 1/(g(x)+1). Samakan dengan (x-2)/(3x). Kemudian selesaikan persamaan untuk mencari g(x) sebagai fungsi dalam x.
Penyelesaian untuk Soal 1
Berikut adalah penyelesaian terstruktur untuk Soal 1, yang menunjukkan setiap langkah, proses aljabar, rumus yang digunakan, serta keterangan penting.
| Langkah | Proses | Rumus/Operasi | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1 | Menulis definisi komposisi. | (f∘g)(x) = f(g(x)) | Langkah dasar yang wajib. |
| 2 | Substitusi fungsi f(x)=√x. | f(g(x)) = √(g(x)) | Input untuk f adalah g(x). |
| 3 | Menyamakan dengan hasil komposisi yang diketahui. | √(g(x)) = √(4x – 1) | Diketahui (f∘g)(x) = √(4x-1). |
| 4 | Mengkuadratkan kedua ruas. | [√(g(x))]² = [√(4x – 1)]² | Operasi ini menghilangkan tanda akar kuadrat. Asumsikan domain di mana (4x-1) ≥ 0. |
| 5 | Menyederhanakan persamaan. | g(x) = 4x – 1 | Ini adalah solusi akhir untuk g(x). |
Ulasan Penutup
Source: googleapis.com
Jadi, menemukan g(x) dari komposisi fungsi ternyata seperti membalikkan proses yang sudah diketahui. Intinya adalah memahami dengan baik notasi (f∘g)(x) sebagai f(g(x)), lalu berani melakukan substitusi dan operasi aljabar yang setara. Hasilnya, g(x) = 2x + 3, sebuah fungsi linear sederhana yang menjadi kunci dari puzzle ini. Setelah menemukannya, jangan lupa untuk selalu verifikasi dengan mensubstitusikan kembali agar yakin tidak ada kesalahan.
Kemampuan ini nantinya akan sangat berguna untuk menyelesaikan variasi soal komposisi fungsi yang lebih kompleks.
FAQ dan Panduan: Menentukan g(x) dari (f∘g)(x) = (2x+3)³ dan f(x)=x³
Apakah jawaban g(x) selalu tunggal untuk soal seperti ini?
Tidak selalu. Dalam kasus ini tunggal karena f(x)=x³ adalah fungsi satu-satu. Jika f(x) bukan fungsi satu-satu, misalnya f(x)=x², maka bisa ada lebih dari satu kemungkinan g(x).
Mengapa kita langsung ambil akar pangkat tiga, bukankah harus hati-hati dengan tanda plus-minus?
Akar pangkat tiga dari bilangan riil selalu menghasilkan satu nilai riil (misal, akar pangkat tiga dari 8 adalah 2, dari -8 adalah -2). Berbeda dengan akar kuadrat yang punya dua kemungkinan (±). Jadi, untuk f(x)=x³, kita aman langsung mengambil akar pangkat tiganya.
Bagaimana jika soalnya dibalik, yang diketahui g(x) dan (f∘g)(x), lalu diminta cari f(x)?
Prinsipnya sama: substitusi g(x) yang diketahui ke dalam bentuk f(g(x)). Kemudian, kamu akan mendapatkan persamaan dengan bentuk f(sesuatu) = hasil. Dari sana, kamu bisa menebak pola f(x)-nya. Teknik umumnya adalah dengan melakukan substitusi balik, misal dengan memisalkan u = g(x).
Apakah fungsi g(x) yang ditemukan ini bisa berupa fungsi yang tidak linear?
Untuk kasus spesifik dengan f(x)=x³ dan (f∘g)(x)=(2x+3)³, hasilnya pasti linear, yaitu g(x)=2x+3. Namun, secara umum, g(x) bisa berbentuk apa saja tergantung bentuk f(x) dan hasil (f∘g)(x)-nya. Bisa kuadrat, akar, atau lainnya.
