Menentukan nilai suku ke‑5 barisan geometri a1=7 r=2 adalah pintu masuk untuk memahami kekuatan perkalian berantai dalam matematika. Konsep ini bukan sekadar rumus mati, melainkan pola yang hidup dan menjelma dalam berbagai fenomena di sekitar kita, dari ledakan populasi sel hingga pertumbuhan investasi yang menggembirakan. Dengan suku pertama 7 dan rasio pengali 2, kita akan menyaksikan sebuah pertumbuhan yang eksplosif hanya dalam beberapa langkah.
Menentukan suku kelima barisan geometri dengan a1=7 dan r=2 menghasilkan nilai 112, sebuah pola pertumbuhan eksponensial yang jelas. Mirip dengan pola ini, kerusakan alam seringkali dipicu oleh Penyebab Kerusakan Alam yang bersifat kumulatif dan berlipat ganda. Kembali ke konteks matematika, pemahaman pola seperti ini, dari deret hingga dampak lingkungan, menekankan pentingnya analisis yang presisi dan berwawasan luas.
Barisan geometri pada hakikatnya adalah sederetan bilangan yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah bilangan tetap yang disebut rasio. Rumus umum suku ke-n, yaitu Un = a1 × r^(n-1), menjadi senjata ampuh untuk menembus langsung ke suku mana pun tanpa harus menghitung semua suku sebelumnya. Dalam kasus ini, a1 bernilai 7 dan rasio r bernilai 2, yang menjanjikan sebuah pembesaran nilai yang sangat cepat dan signifikan.
Pengertian Dasar Barisan Geometri
Source: kompas.com
Dalam matematika, barisan geometri merupakan sederetan bilangan yang memiliki pola sangat konsisten: setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap. Bilangan tetap inilah yang disebut rasio, dilambangkan dengan r. Suku pertama barisan dilambangkan dengan a1 atau cukup a. Konsep perkalian berulang ini menghasilkan pola pertumbuhan atau penyusutan yang eksponensial, berbeda dengan penambahan tetap pada barisan aritmatika.
Rumus umum untuk menemukan suku ke- n (U n) dari sebuah barisan geometri adalah alat fundamental yang harus dikuasai. Rumus ini memungkinkan kita menghitung suku mana pun tanpa harus menuliskan semua suku sebelumnya.
Un = a 1 × r (n-1)
Di sini, n menandakan posisi suku yang ingin dicari. Untuk melihat pola konkret, mari kita amati perbandingan nilai suku pertama hingga kelima dari barisan contoh kita, dengan a 1 = 7 dan r = 2.
| Posisi Suku (n) | Rumus Un = 7 × 2(n-1) | Proses Perkalian | Nilai Suku (Un) |
|---|---|---|---|
| 1 | 7 × 20 | 7 (suku awal) | 7 |
| 2 | 7 × 21 | 7 × 2 | 14 |
| 3 | 7 × 22 | 7 × 4 | 28 |
| 4 | 7 × 23 | 7 × 8 | 56 |
| 5 | 7 × 24 | 7 × 16 | 112 |
Menghitung Suku Ke-5 dari Data yang Diberikan
Dengan memahami rumus dan tabel di atas, perhitungan suku ke-5 menjadi langkah yang sangat langsung. Kita telah memiliki semua komponen yang diperlukan: suku pertama (a 1) adalah 7, rasio (r) adalah 2, dan posisi suku (n) yang dicari adalah 5.
Proses substitusi nilai ke dalam rumus umum dilakukan dengan teliti untuk memastikan akurasi. Perhatikan dengan seksama bagaimana pangkat pada rasio diterapkan.
U5 = a 1 × r (5-1)
U 5 = 7 × 2 4
U 5 = 7 × 16
U 5 = 112
Dari perhitungan tersebut, diperoleh nilai suku ke-5 adalah 112. Beberapa poin krusial perlu menjadi perhatian saat melakukan perhitungan serupa untuk menghindari kesalahan umum.
- Pastikan urutan operasi hitung: Hitung terlebih dahulu nilai pangkat (r (n-1)) sebelum mengalikan dengan suku pertama. Mengalikan a 1 dengan r terlebih dahulu, lalu memangkatkan hasilnya, adalah kesalahan yang sering terjadi dan akan menghasilkan jawaban yang salah.
- Perhatikan tanda rasio (r): Rasio dapat berupa bilangan positif maupun negatif. Rasio negatif akan menyebabkan tanda suku-suku barisan berselang-seling antara positif dan negatif.
- Posisi suku (n) harus bilangan bulat positif: Nilai n selalu merepresentasikan urutan keberapa dalam barisan, sehingga harus 1, 2, 3, dan seterusnya.
Visualisasi Pertumbuhan Barisan
Pertumbuhan barisan geometri dengan rasio 2, seperti pada contoh kita, bukanlah pertambahan biasa. Jika divisualisasikan dalam grafik dengan sumbu horizontal sebagai nomor suku (n) dan sumbu vertikal sebagai nilai suku (U n), kurva yang terbentuk akan melengkung naik secara curam, menyerupai bentuk eksponensial. Garisnya tidak lurus. Dari titik (1,7) ke (2,14) kenaikannya 7, lalu ke (3,28) kenaikannya 14, dan seterusnya.
Setiap lompatan naik menjadi dua kali lipat dari lompatan sebelumnya, membuat grafiknya “meledak” ke atas seiring n bertambah besar.
Menentukan suku kelima barisan geometri dengan a₁=7 dan r=2 menghasilkan nilai 112, sebuah angka yang konkret layaknya satuan jumlah dalam perdagangan. Pemahaman tentang konversi satuan, seperti yang dijelaskan dalam artikel Berapa Buah dalam 1 Kodi, Lusin, Gros, dan Rim , mengasah logika kuantitatif yang sama pentingnya. Keterampilan ini kemudian dapat diaplikasikan kembali untuk menganalisis pola pertumbuhan eksponensial pada barisan geometri lainnya, memperkuat fondasi berpikir matematis yang sistematis.
Perbedaan mendasar antara pertumbuhan linear dan geometri dapat diilustrasikan melalui contoh ini.
Menentukan suku ke-5 barisan geometri dengan a1=7 dan r=2 menghasilkan nilai 112, yang didapat dari rumus Un = a r^(n-1). Kemampuan hitung cepat seperti ini juga berguna dalam konteks lain, misalnya saat Cara menghitung persentase angka 27. Pemahaman konsep matematika yang solid, baik dalam barisan maupun persentase, sangat krusial untuk menyelesaikan berbagai masalah numerik secara akurat dan efisien, termasuk dalam perhitungan suku barisan tadi.
- Pertumbuhan Linear (Penambahan Tetap): Jika barisan kita aritmatika dengan beda 7, maka suku ke-5 akan menjadi 7 + (4×7) = 35. Polanya naik dengan tambahan yang sama setiap langkah, membentuk garis lurus.
- Pertumbuhan Geometri (Perkalian Tetap): Pada barisan kita dengan rasio 2, suku ke-5 adalah 112. Polanya naik dengan kelipatan yang sama, menghasilkan kurva yang semakin tajam. Nilai 112 jauh lebih besar daripada 35, menunjukkan akselerasi yang sangat cepat.
Implikasi dari rasio (r) yang lebih besar dari 1 sangatlah signifikan. Semakin besar nilai r, semakin cepat pula nilai suku-suku berikutnya membesar. Dengan r=2, nilainya berlipat ganda setiap langkah. Bayangkan jika r=3 atau 10, pertumbuhannya akan menjadi luar biasa cepat hanya dalam beberapa suku. Inilah yang disebut pertumbuhan eksponensial, sebuah konsep dengan dampak mendalam dalam berbagai bidang.
Variasi Soal dan Penerapan Konsep
Kemahiran dalam barisan geometri tidak hanya terbatas pada mencari U n. Seringkali dalam soal, variabel yang tidak diketahui bisa saja suku pertama (a 1) atau rasio (r). Prinsipnya tetap sama: gunakan rumus umum dan informasi yang ada untuk membentuk persamaan.
Sebagai contoh, misalkan diketahui suku ke-5 suatu barisan geometri adalah 112 dan rasionya
2. Untuk mencari suku pertama (a 1), kita substitusi ke dalam rumus: 112 = a 1 × 2 4. Maka, 112 = a 1 × 16, sehingga a 1 = 112 / 16 = 7.
Prosedur serupa digunakan ketika yang dicari adalah rasio. Jika diketahui suku pertama a 1=7 dan suku ke-5 U 5=112, maka persamaannya menjadi 112 = 7 × r 4. Penyelesaiannya: r 4 = 112/7 = 16, sehingga r = ±⁴√16 = ±2. Di sini kita mendapatkan dua kemungkinan rasio, yaitu 2 atau -2, karena pangkat genap.
Tabel berikut menyajikan skenario perhitungan yang berbeda untuk menunjukkan fleksibilitas rumus yang sama.
| Diketahui | Ditanya | Persamaan dari Rumus | Hasil |
|---|---|---|---|
| a1 = 5, r = 3, n = 4 | U4 | U4 = 5 × 33 | U4 = 135 |
| U3 = 12, U4 = 24 | r | r = U4 / U3 = 24 / 12 | r = 2 |
| r = ½, U6 = 4, n=6 | a1 | 4 = a1 × (½)5 | a1 = 128 |
| a1 = 10, U5 = 160 | r | 160 = 10 × r4 | r = ±2 |
Aplikasi dalam Konteks Nyata
Konsep barisan geometri dengan rasio lebih dari satu bukan sekadar abstraksi matematika. Pola “pelipatgandaan” ini menjelmakan diri dalam banyak fenomena di sekitar kita. Memahaminya memberikan lensa untuk melihat dinamika pertumbuhan yang cepat.
Berikut adalah tiga contoh fenomena dunia nyata yang polanya mirip dengan barisan a1=7, r=2:
- Penyebaran Virus atau Berita Hoaks: Dalam fase awal, satu orang (a1=1) dapat menulari dua orang (r=2). Dua orang itu menulari empat orang, lalu delapan, dan seterusnya. Dalam beberapa “suku” atau siklus, jumlah yang terpapar melonjak sangat tinggi, persis seperti nilai suku yang membesar dengan cepat.
- Bunga Majemuk dalam Investasi: Jika Anda menginvestasikan sejumlah uang dengan bunga majemuk, bunga yang Anda peroleh pada periode berikutnya dihitung berdasarkan total pokok plus bunga sebelumnya. Dengan suku bunga tertentu, pertumbuhan modal Anda mengikuti pola geometri, di mana “rasio”-nya adalah (1 + suku bunga).
- Pembelahan Sel Bakteri: Satu sel bakteri membelah menjadi dua setiap periode waktu tertentu. Dari 1 sel menjadi 2, lalu 4, 8, 16, dan seterusnya. Ini adalah contoh klasik dan sangat murni dari barisan geometri dengan a1=1 dan r=2.
Pentingnya konsep ini dalam bidang seperti keuangan terletak pada kemampuan untuk memproyeksikan nilai investasi di masa depan. Dalam biologi, konsep ini membantu memodelkan ledakan populasi atau penyebaran penyakit. Sebuah analogi sederhana untuk mempermudah pemahaman adalah membayangkan sebuah mesin fotokopi yang selalu membuat dua salinan dari setiap salinan terakhir yang dihasilkan. Satu lembar asli (a1) dimasukkan, keluar dua lembar. Dua lembar itu masing-masing difotokopi lagi, keluar empat lembar, dan proses ini terus berlanjut.
Hasil tumpukan kertas akan bertambah dengan cara yang persis seperti barisan geometri, menunjukkan kekuatan perkalian berulang yang sering kali tak terduga besarnya.
Penutupan Akhir: Menentukan Nilai Suku Ke‑5 Barisan Geometri A1=7 R=2
Dengan demikian, perjalanan menghitung suku ke-5 dari barisan geometri a1=7 dan r=2 telah mengantarkan pada pemahaman yang lebih dalam. Nilai akhir 112 bukan sekadar angka, tetapi bukti nyata bagaimana pola penggandaan konsisten mampu menciptakan lompatan besar hanya dalam empat kali perkalian. Penguasaan terhadap rumus Un = a × r^(n-1) dan logika di baliknya membuka jalan untuk menganalisis berbagai pola pertumbuhan eksponensial dalam dunia nyata, menjadikan matematika alat yang tak ternilai untuk membaca dinamika alam dan kehidupan.
Informasi Penting & FAQ
Apakah hasil perhitungan suku ke-5 akan sama jika saya menghitung suku ke-2, ke-3, dan ke-4 terlebih dahulu?
Ya, hasilnya akan sama persis, yaitu 112. Namun, menggunakan rumus langsung Un = a1 × r^(n-1) jauh lebih efisien, terutama untuk mencari suku dengan urutan yang sangat besar seperti suku ke-100.
Bagaimana jika rasio (r) bernilai negatif, misalnya r = -2?
Jika r negatif, suku-suku barisan akan bergantian tanda (positif dan negatif). Untuk a1=7 dan r=-2, suku ke-5 akan menjadi 7 × (-2)^4 = 7 × 16 = 112. Perhatikan bahwa pangkat genap membuat hasil perkalian rasio menjadi positif.
Apakah barisan dengan rasio r=2 ini termasuk barisan geometri naik atau turun?
Barisan ini termasuk barisan geometri naik karena rasio r=2 > 1. Setiap suku berikutnya akan selalu lebih besar dari suku sebelumnya, menciptakan pola pertumbuhan yang meledak (eksponensial).
Dapatkah soal ini diubah untuk mencari suku pertama (a1) jika suku ke-5 dan rasionya diketahui?
Tentu bisa. Rumusnya dibalik menjadi a1 = Un / r^(n-1). Misal, jika diketahui U5=112 dan r=2, maka a1 = 112 / 2^(4) = 112 / 16 = 7.
