Menentukan Persamaan Kuadrat yang Melalui Titik A(-3,0), B(1,0), dan (-1,8) itu seperti menyelesaikan puzzle matematika yang memuaskan. Bayangkan kita punya tiga petunjuk lokasi di peta koordinat, dan tugas kita adalah menemukan lengkungan parabola sempurna yang melewati ketiganya. Soal ini bukan cuma tentang substitusi angka, tapi juga membaca cerita yang tersembunyi di balik titik-titik tersebut.
Dari titik A dan B yang berada persis di sumbu X, kita langsung mendapat kunci penting: mereka adalah akar-akar atau titik potong grafik. Ini menjadi pondasi awal untuk membangun persamaan. Kemudian, titik ketiga, (-1,8), berperan sebagai penentu seberapa “gemuk” atau “kurus”, serta ke mana arah parabola tersebut terbuka. Mari kita telusuri bersama bagaimana ketiga titik ini mengunci satu persamaan kuadrat yang unik.
Menelusuri Jejak Geometris dari Akar-Akar yang Diketahui
Ketika kita diberikan titik potong grafik dengan sumbu X, sebenarnya kita sedang memegang kunci utama untuk membongkar persamaan kuadratnya. Dalam soal ini, titik A(-3,0) dan B(1,0) bukan sekadar titik biasa; mereka adalah akar-akar atau solusi dari persamaan kuadrat yang kita cari. Artinya, ketika nilai y = 0, nilai x yang memenuhi adalah x = -3 dan x = 1. Informasi ini sangat vital karena langsung mengarahkan kita ke bentuk faktor dari persamaan kuadrat.
Secara umum, jika sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar p dan q, maka persamaannya dapat ditulis dalam bentuk faktor sebagai y = a(x – p)(x – q), dengan ‘a’ adalah koefisien pengali yang menentukan seberapa “gemuk” atau “kurus” serta arah hadap parabola.
Dengan p = -3 dan q = 1, bentuk faktorial awalnya menjadi y = a(x – (-3))(x – 1) atau y = a(x + 3)(x – 1). Koefisien ‘a’ ini masih misteri, dan di sinilah peran titik ketiga, C(-1,8), menjadi krusial. Titik ketiga ini akan memungkinkan kita untuk mengunci nilai ‘a’ yang tepat, sehingga parabola tidak hanya melalui dua titik potong sumbu X, tetapi juga melengkung tepat melalui titik yang ditentukan.
Perbandingan Bentuk Faktor dan Bentuk Standar
Memilih bentuk persamaan yang tepat bisa sangat mempercepat penyelesaian. Berikut adalah tabel perbandingan kedua bentuk utama dalam konteks informasi dari titik yang diberikan.
| Nama Bentuk | Rumus Umum | Informasi yang Dibutuhkan | Keuntungan dalam Soal Ini |
|---|---|---|---|
| Bentuk Faktor | y = a(x – p)(x – q) | Akar-akar (p, q) dan satu titik lain (selain akar). | Langsung terpakai karena A dan B adalah akar. Perhitungan menjadi lebih sederhana untuk mencari ‘a’. |
| Bentuk Standar | y = ax² + bx + c | Tiga titik sembarang (x, y). | Bersifat universal. Akan menjadi pilihan wajib jika titik yang diberikan tidak ada yang merupakan akar. |
Substitusi Titik untuk Mencari Konstanta ‘a’
Dari bentuk faktor y = a(x + 3)(x – 1), kita masukkan koordinat titik C(-1,8). Proses substitusi ini adalah langkah penentu.
- Substitusi x = -1 dan y = 8: 8 = a(-1 + 3)(-1 – 1)
- Sederhanakan operasi dalam kurung: 8 = a(2)(-2)
- Kalikan: 8 = a
– (-4) - Selesaikan untuk a: a = 8 / (-4) = -2
Dengan demikian, nilai konstanta pengali a adalah -2. Persamaan kuadrat dalam bentuk faktor yang lengkap adalah y = -2(x + 3)(x – 1).
Strategi Verifikasi Persamaan Akhir
Verifikasi adalah ritual wajib yang sering diabaikan. Langkah ini penting untuk memastikan tidak ada kesalahan hitung selama proses. Caranya adalah dengan mensubstitusikan kembali ketiga titik koordinat asli ke dalam persamaan akhir yang telah kita kembangkan ke bentuk standar. Pertama, kita uraikan bentuk faktor menjadi standar: y = -2(x+3)(x-1) = -2(x² + 2x – 3) = -2x²
-4x + 6.
- Untuk A(-3,0): -2(-3)²
-4(-3) + 6 = -2(9) +12 +6 = -18+18=0. Benar. - Untuk B(1,0): -2(1)²
-4(1) + 6 = -2 -4 +6 = 0. Benar. - Untuk C(-1,8): -2(-1)²
-4(-1) + 6 = -2(1) +4 +6 = -2+10=8. Benar.
Dalam konteks yang lebih luas, verifikasi bukan sekadar memeriksa kebenaran, tetapi juga membangun keyakinan atas solusi yang ditemukan sebelum digunakan untuk analisis lebih lanjut, seperti mencari titik puncak atau luas daerah.
Mengurai Pola Simetri Sumbu Parabola dari Titik Potong Sumbu X
Parabola, sebagai grafik fungsi kuadrat, memiliki sifat simetri yang sangat kuat. Sumbu simetri ini adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang mencerminkan satu sama lain. Keberadaan titik potong sumbu X di A(-3,0) dan B(1,0) memberikan kita cara instan untuk menemukan sumbu simetri ini tanpa perlu mengetahui persamaan lengkapnya. Karena parabola simetris, sumbu simetri pasti berada tepat di tengah-tengah antara dua titik potong sumbu X yang memiliki nilai y sama.
Dengan kata lain, koordinat x dari sumbu simetri adalah rata-rata dari kedua akarnya. Setelah sumbu simetri diketahui, kita dapat mencari koordinat titik puncak (vertex) karena titik puncak selalu terletak tepat pada sumbu simetri tersebut. Jadi, meskipun kita baru tahu dua titik, kita sudah bisa memprediksi letak titik puncaknya, asalkan kita bisa mencari nilai y-nya nanti melalui persamaan.
Koordinat x titik puncak selalu berada di tengah-tengah dua akarnya karena sifat simetri parabola. Jika sebuah benda jatuh dengan lintasan parabola, titik tertingginya selalu ada di tengah-tengah secara horizontal, bukan? Begitu pula dengan grafik ini. Secara matematis, ini direpresentasikan dengan rumus h = (p + q)/2.
Ilustrasi Deskriptif Grafik Parabola, Menentukan Persamaan Kuadrat yang Melalui Titik A(-3,0), B(1,0), dan (-1,8)
Berdasarkan tiga titik yang diketahui, kita bisa menggambarkan grafik parabola ini secara verbal. Parabola tersebut memotong sumbu X di dua titik: sebelah kiri di x = -3 dan sebelah kanan di x = 1. Sumbu simetrinya adalah garis vertikal x = -1 (hasil dari (-3+1)/2). Titik puncak berada pada sumbu simetri ini. Karena koefisien a = -2 (negatif), parabola ini menghadap ke bawah, membentuk seperti bukit.
Titik puncaknya pasti berada di atas sumbu X. Titik C(-1,8) yang diberikan ternyata memiliki koordinat x = -1, yang persis sama dengan sumbu simetri. Artinya, titik C(-1,8) ini bukan titik sembarang; ia adalah titik puncak dari parabola tersebut. Parabola membuka ke bawah dari puncak di (-1,8), menurun ke kiri menuju A(-3,0) dan ke kanan menuju B(1,0).
Prosedur Alternatif Menggunakan Bentuk Titik Puncak
Setelah mengetahui titik puncak (h,k) = (-1,8) dan nilai a = -2, kita bisa langsung menyusun persamaan dalam bentuk y = a(x – h)² + k. Substitusi memberikan y = -2(x – (-1))² + 8 = -2(x+1)² + 8. Jika diuraikan, bentuk ini akan menjadi y = -2(x²+2x+1)+8 = -2x² -4x -2 +8 = -2x² -4x +6, yang sama persis dengan hasil sebelumnya.
Dibandingkan metode faktor, efisiensi metode ini sangat bergantung pada apakah kita bisa dengan mudah mengidentifikasi titik puncaknya. Dalam soal ini, karena titik yang diberikan kebetulan adalah titik puncak, metode ini menjadi sangat cepat, bahkan lebih cepat dari metode faktor. Namun, jika tiga titik yang diberikan acak, metode titik puncak baru bisa digunakan setelah kita menghitung titik puncak terlebih dahulu, yang biasanya membutuhkan pencarian persamaan standar dulu.
Memanfaatkan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel sebagai Pendekatan Universal
Metode faktor sangat efisien jika ada titik potong sumbu X yang diketahui. Namun, bagaimana jika ketiga titik yang diberikan adalah titik sembarang, misalnya (1,4), (2,9), dan (-1,1)? Dalam kasus seperti itu, pendekatan paling andal adalah menggunakan bentuk standar y = ax² + bx + c. Setiap titik koordinat (x,y) yang dilalui grafik akan menghasilkan satu persamaan linear ketika disubstitusikan ke dalam bentuk standar.
Karena kita memiliki tiga titik, kita akan mendapatkan sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel yang tidak diketahui, yaitu a, b, dan c.
Ini adalah pendekatan yang brute force namun selalu berhasil, asalkan ketiga titik tidak segaris. Meskipun perhitungan aljabarnya mungkin lebih panjang, logikanya sangat lugas dan langsung: masukkan titik, dapatkan persamaan, selesaikan sistemnya. Mari kita terapkan metode universal ini pada soal awal, meskipun kita tahu ada cara yang lebih cepat, untuk melihat konsistensi hasilnya.
Tabel Substitusi Titik ke Bentuk Standar
Berikut adalah proses substitusi setiap titik ke dalam bentuk y = ax² + bx + c.
| Nama Titik | Koordinat (x,y) | Persamaan Setelah Substitusi | Bentuk Linear yang Disederhanakan |
|---|---|---|---|
| A | (-3, 0) | 0 = a(-3)² + b(-3) + c | 9a – 3b + c = 0 … (1) |
| B | (1, 0) | 0 = a(1)² + b(1) + c | a + b + c = 0 … (2) |
| C | (-1, 8) | 8 = a(-1)² + b(-1) + c | a – b + c = 8 … (3) |
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Source: gauthmath.com
Kita memiliki sistem tiga persamaan:
- 9a – 3b + c = 0
- a + b + c = 0
- a – b + c = 8
Kita selesaikan dengan metode eliminasi dan substitusi.
Pertama, kurangkan persamaan (2) dari persamaan (3) untuk mengeliminasi a dan c:
(3)
-(2): (a – b + c)
-(a + b + c) = 8 – 0 → -2b = 8 → b = -4.
Selanjutnya, kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1) untuk mendapatkan hubungan lain:
(1)
-(2): (9a – 3b + c)
-(a + b + c) = 0 – 0 → 8a – 4b =
0. Substitusi b = -4 ke dalam 8a – 4b = 0:
8a – 4(-4) = 0 → 8a + 16 = 0 → 8a = -16 → a = -2.
Terakhir, substitusi a = -2 dan b = -4 ke dalam persamaan (2) untuk mencari c:
(-2) + (-4) + c = 0 → -6 + c = 0 → c = 6.
Jadi, solusinya adalah a = -2, b = -4, c = 6, yang menghasilkan persamaan y = -2x²
-4x + 6, sama persis dengan hasil metode faktor.
Analisis Situasi Penggunaan Metode Sistem Persamaan
Metode sistem persamaan linear ini menjadi pilihan utama dan lebih disarankan ketika titik-titik yang diberikan tidak ada yang secara eksplisit merupakan akar (titik potong sumbu X). Contohnya adalah jika soal memberikan titik (0, 6), (1, 0), dan (2, -6). Di sini, hanya satu titik di sumbu X. Metode faktor tidak bisa langsung digunakan karena kita tidak tahu kedua akarnya. Metode sistem persamaan menjadi jalan satu-satunya yang langsung terpakai.
Keunggulannya adalah sifatnya yang algoritmik dan sistematis, mengurangi kebutuhan untuk “melihat” pola khusus terlebih dahulu.
Eksplorasi Konteks Aplikatif dan Variasi Numerik dari Permasalahan
Persamaan kuadrat bukan hanya abstraksi aljabar; mereka adalah model matematika yang powerful untuk fenomena di sekitar kita. Menentukan persamaan dari tiga titik spesifik mirip dengan proses kalibrasi dalam dunia nyata. Misalnya, seorang insinyur mungkin merekam tiga posisi berbeda dari lintasan sebuah bola yang ditendang: saat meninggalkan tanah (0,0), saat di puncak (3, 4.5), dan saat menyentuh tanah lagi (9,0). Dari tiga titik data tersebut, ia dapat merekonstruksi persamaan lintasan parabola untuk menganalisis kecepatan awal atau sudut tendangan.
Dalam konteks bisnis, model kuadrat bisa digunakan untuk kurva permintaan atau biaya. Bayangkan sebuah perusahaan menganalisis hubungan antara harga jual (x) dan keuntungan (y). Jika dari survei diketahui pada harga Rp10.000 keuntungan Rp0 (titik impas), pada harga Rp15.000 keuntungan maksimum Rp2.000.000, dan pada harga Rp20.000 keuntungan kembali Rp0, maka ketiga titik ini (10,0), (15, 2000), dan (20,0) dapat dimodelkan dengan persamaan kuadrat untuk memprediksi keuntungan pada harga lainnya.
Variasi Numerik dan Pengaruhnya pada Grafik
Mari kita buat variasi numerik menarik. Apa yang terjadi jika titik C diubah dari (-1,8) menjadi (-1,10)? Titik ini masih berada pada sumbu simetri x = -1, tetapi lebih tinggi. Dalam bentuk faktor y = a(x+3)(x-1), substitusi x=-1 dan y=10 akan menghasilkan: 10 = a(2)(-2) → 10 = -4a → a = -2.5.
Perubahan ini membuat nilai a lebih negatif, dari -2 menjadi -2.5. Dampak kualitatif pada grafik adalah parabola yang baru akan lebih “kurus” atau “tajam” (karena nilai absolut a lebih besar) dan tentu saja lebih tinggi, dengan puncak di (-1,10). Arah hadap tetap ke bawah karena a tetap negatif. Perubahan satu titik saja, meskipun hanya nilai y-nya, cukup untuk mengubah seluruh “postur” parabola.
Menentukan persamaan kuadrat dari tiga titik seperti A(-3,0), B(1,0), dan (-1,8) itu seru, lho. Kita cari pola dari titik potong sumbu x dan satu titik lain. Proses menemukan gradien perubahan ini mirip dengan cara kita memahami dinamika sosial, seperti yang dijelaskan dalam artikel Mayor Polak: Perbedaan Kota dan Desa Bersifat Gradual, Alasan , di mana perbedaan punya tingkatannya. Nah, kembali ke rumus, setelah substitusi titik (-1,8), kita dapatkan persamaan akhirnya, yaitu y = -2x² – 4x + 6.
Latihan Soal Tantangan: Mencari Titik Potong dengan Garis Lurus
Sebagai latihan, mari kita cari titik potong antara parabola hasil kita, y = -2x²
-4x + 6, dengan garis lurus y = x + 7. Titik potong ini adalah titik di mana kedua grafik bertemu, sehingga nilai y-nya sama.
- Petunjuk: Samakan kedua persamaan: -2x²
-4x + 6 = x + 7. - Pindahkan semua suku ke satu ruas: -2x²
-4x + 6 – x – 7 = 0 → -2x²
-5x – 1 = 0. - Kalikan dengan -1 untuk mempermudah: 2x² + 5x + 1 = 0.
- Selesaikan persamaan kuadrat ini dengan rumus ABC, pemfaktoran, atau melengkapkan kuadrat untuk mendapatkan dua nilai x.
- Substitusi setiap nilai x yang didapat ke dalam persamaan garis y = x + 7 (bisa juga ke persamaan parabola) untuk mendapatkan koordinat y pasangannya.
Kesalahan Umum dalam Perhitungan
Kesalahan yang sangat sering terjadi adalah salah tanda saat menuliskan bentuk faktor. Misalnya, untuk akar x = -3, bentuk faktornya adalah (x – (-3)) = (x + 3), bukan (x – 3). Kesalahan tanda kecil ini akan mengacaukan seluruh perhitungan selanjutnya. Kesalahan lain adalah lupa mengalikan dengan konstanta ‘a’ saat melakukan verifikasi atau saat menguraikan bentuk faktor ke standar.
Cara mendeteksi kesalahan seringkali bisa dilakukan melalui verifikasi seperti yang telah dibahas. Jika satu titik tidak terpenuhi, periksa kembali langkah-langkah aljabar, terutama tanda positif dan negatif. Selain itu, periksa konsistensi logis: jika nilai a yang didapat positif tetapi dua titik potong sumbu X diberikan dan titik ketiga berada di bawah sumbu X, ada kemungkinan kesalahan karena seharusnya parabola menghadap ke atas dan titik di antara akar seharusnya berada di bawah sumbu X hanya jika a negatif.
Memahami hubungan antara tanda ‘a’ dengan bentuk grafik adalah alat deteksi yang ampuh.
Pemungkas: Menentukan Persamaan Kuadrat Yang Melalui Titik A(-3,0), B(1,0), Dan (-1,8)
Jadi, setelah melalui berbagai metode—mulai dari memanfaatkan bentuk faktor, menghitung sumbu simetri, hingga menyelesaikan sistem persamaan linear—kita sampai pada satu kesimpulan yang solid. Persamaan kuadrat yang melalui titik A(-3,0), B(1,0), dan (-1,8) adalah y = -2x²
-4x + 6. Proses ini mengajarkan bahwa dalam matematika, sering ada lebih dari satu jalan untuk sampai ke jawaban yang benar. Hal yang paling penting adalah memahami cerita di balik setiap data yang diberikan.
Selanjutnya, kamu bisa mencoba menerapkan logika ini pada variasi titik yang lain atau bahkan pada konteks dunia nyata, seperti memperkirakan lintasan bola.
Panduan Pertanyaan dan Jawaban
Apakah selalu ada persamaan kuadrat yang melalui tiga titik sembarang?
Tidak selalu. Tiga titik harus ditempatkan sedemikian rupa sehingga tidak segaris (kolinear). Jika ketiga titik segaris, maka yang terbentuk adalah persamaan garis lurus, bukan parabola.
Mengapa titik (-1,8) tidak bisa diganti sembarangan?
Titik (-1,8) menentukan nilai koefisien ‘a’ yang memengaruhi kecekungan dan arah parabola. Mengubah koordinatnya akan mengubah nilai ‘a’ dan seluruh bentuk grafik, meskipun titik potong sumbu X di (-3,0) dan (1,0) mungkin tetap sama.
Bisakah soal ini diselesaikan hanya dengan dua titik saja?
Tidak, karena persamaan kuadrat umum y = ax² + bx + c memiliki tiga konstanta yang tidak diketahui (a, b, c). Diperlukan minimal tiga informasi (dalam hal ini tiga titik) untuk membentuk sistem persamaan yang dapat diselesaikan.
Bagaimana jika titik yang diberikan tidak ada yang merupakan akar?
Jika tidak ada titik di sumbu X (y=0), maka metode faktor awal tidak bisa langsung digunakan. Metode yang paling ampuh dan universal dalam kasus itu adalah dengan menyusun dan menyelesaikan sistem tiga persamaan linear dari bentuk standar y = ax² + bx + c.
Apakah hasilnya akan sama jika menggunakan metode yang berbeda?
Ya, pasti. Meskipun langkah dan pendekatannya berbeda, ketiga metode yang dibahas (bentuk faktor, bentuk titik puncak, dan sistem persamaan) akan menghasilkan persamaan akhir yang identik, karena menggambarkan parabola yang sama.
