Panjang Garis Singgung Dalam Lingkaran (r=2 cm, r=7 cm, jarak 15 cm) bukan sekadar angka acak, melainkan hasil dari perpaduan elegan antara aljabar dan geometri. Konsep ini mengungkap hubungan tersembunyi antara dua lingkaran yang terpisah, di mana sebuah garis lurus dapat menyentuh keduanya secara bersamaan dari sisi dalam. Pemahaman terhadapnya membuka pintu untuk menganalisis berbagai bentuk dan sistem mekanis di sekitar kita, dari desain teknis hingga pola-pola artistik.
Pada dasarnya, garis singgung dalam adalah garis lurus yang menyinggung dua lingkaran dari sisi yang saling berhadapan, seolah-olah menghubungkan mereka dengan sentuhan yang sempurna. Perhitungan panjangnya, seperti dalam kasus dengan jari-jari 2 cm dan 7 cm serta jarak pusat 15 cm, melibatkan teorema Pythagoras dalam ruang dimensi yang dibentuk oleh ketiga elemen tersebut. Hasil akhirnya memberikan gambaran nyata tentang seberapa “dekat” interaksi antara dua bentuk lingkaran tersebut dalam sebuah bidang datar.
Perhitungan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (r=2 cm, r=7 cm, jarak pusat 15 cm) memerlukan ketelitian, seperti halnya memahami istilah asing. Menariknya, dalam kuliner, ada istilah Pengertian Sherbet dalam Bahasa Inggris yang perlu dikaji maknanya secara tepat. Kembali ke geometri, dengan rumus yang otoritatif, panjang garis singgung dalam tersebut dapat ditentukan secara akurat, menunjukkan keindahan logika matematika.
Pengertian dan Konsep Dasar Garis Singgung Dalam Dua Lingkaran
Dalam geometri, khususnya ketika mempelajari hubungan antar lingkaran, konsep garis singgung memegang peranan penting. Garis singgung dalam, atau internal common tangent, adalah garis lurus yang menyinggung dua buah lingkaran secara bersamaan di sisi yang saling berhadapan. Bayangkan dua lingkaran yang terpisah, garis ini akan berada di antara kedua lingkaran tersebut, menyentuh setiap lingkaran tepat di satu titik.
Perbedaan mendasar antara garis singgung dalam dan garis singgung luar terletak pada posisi relatifnya terhadap kedua lingkaran. Garis singgung luar akan berada di sisi yang sama dari kedua lingkaran, seolah-olah membentang di bagian luar kedua lingkaran tanpa memisahkan mereka. Sementara garis singgung dalam justru memisahkan kedua lingkaran, berada di celah antara keduanya. Secara visual, jika dua lingkaran memiliki ukuran berbeda, garis singgung dalam akan tampak menghubungkan sisi dalam dari lingkaran kecil dengan sisi dalam dari lingkaran besar.
Ilustrasi Posisi Dua Lingkaran dan Garis Singgung Dalam
Untuk membayangkannya, anggap ada dua lingkaran dengan pusat O1 dan O2. Lingkaran pertama memiliki jari-jari R = 7 cm dan lingkaran kedua lebih kecil dengan r = 2 cm. Kedua pusat lingkaran ini berjarak 15 cm. Garis singgung dalam akan digambarkan sebagai dua garis lurus yang simetris, masing-masing menyinggung lingkaran besar di suatu titik di sisi kirinya dan lingkaran kecil di suatu titik di sisi kanannya, atau sebaliknya.
Kedua garis ini akan berpotongan di suatu titik pada garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran, membentuk semacam “koridor” yang memisahkan kedua bangun datar tersebut.
Rumus dan Komponen Penghitungan Panjang Garis Singgung Dalam
Panjang ruas garis singgung dalam, dari titik singgung pada satu lingkaran ke titik singgung pada lingkaran lainnya, dapat dihitung secara pasti melalui sebuah rumus matematika. Rumus ini lahir dari penerapan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku khayal yang dibentuk oleh jarak pusat, jumlah jari-jari, dan garis singgung itu sendiri.
l = √(d²
(R + r)²)
Dalam rumus tersebut, l melambangkan panjang garis singgung dalam yang ingin dicari. Variabel d menyatakan jarak antara pusat kedua lingkaran. Sementara R dan r adalah jari-jari lingkaran besar dan kecil. Komponen (R + r) merepresentasikan jumlah jari-jari kedua lingkaran, yang dalam konteks geometris adalah panjang ruas pada garis pusat yang terletak di antara kedua lingkaran. Dengan mengkuadratkan jarak pusat dan mengurangkan kuadrat dari jumlah jari-jari, kita mendapatkan kuadrat dari panjang garis singgung, yang kemudian diakarkan.
Tabel Variasi Nilai dan Hasil Kuadrat (R+r)
Berikut adalah tabel yang menunjukkan bagaimana komponen (R+r) dan kuadratnya berubah dengan variasi ukuran jari-jari, serta pengaruhnya terhadap panjang garis singgung dalam untuk suatu jarak pusat yang diasumsikan. Data ini membantu dalam memahami sensitivitas perhitungan.
| R (cm) | r (cm) | (R + r) (cm) | (R + r)² (cm²) |
|---|---|---|---|
| 7 | 2 | 9 | 81 |
| 10 | 3 | 13 | 169 |
| 5 | 5 | 10 | 100 |
| 12 | 4 | 16 | 256 |
Penyelesaian Langkah demi Langkah untuk Kasus Spesifik
Mari kita terapkan rumus secara konkret pada kasus yang telah disebutkan: dua lingkaran dengan jari-jari 7 cm dan 2 cm, serta jarak pusat sebesar 15 cm. Proses perhitungannya bersifat sistematis dan mengikuti urutan operasi matematika yang benar.
Pertama, identifikasi nilai-nilai yang diketahui: R = 7 cm, r = 2 cm, dan d = 15 cm. Langkah selanjutnya adalah menjumlahkan jari-jari kedua lingkaran, yaitu 7 + 2 = 9 cm. Kuadratkan hasil penjumlahan ini menjadi 9² = 81 cm². Kemudian, kuadratkan juga jarak pusat kedua lingkaran, 15² = 225 cm². Selisih antara kuadrat jarak pusat dan kuadrat jumlah jari-jari adalah 225 – 81 = 144 cm².
Akar kuadrat dari 144 adalah 12. Dengan demikian, panjang garis singgung dalamnya adalah 12 cm.
Diketahui: R = 7 cm, r = 2 cm, d = 15 cm.l = √(d²
(R + r)²)
l = √(15² – (7 + 2)²)l = √(225 – 9²)l = √(225 – 81)l = √144l = 12Jadi, panjang garis singgung dalam kedua lingkaran adalah 12 centimeter.
Dalam geometri, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dengan jari-jari 2 cm dan 7 cm serta jarak pusat 15 cm dapat dihitung dengan rumus Pythagoras, menghasilkan nilai sekitar 12 cm. Analisis ini mengingatkan kita bahwa jarak dan posisi menentukan hubungan, mirip dengan kompleksitas dinamika hubungan antar sahabat Nabi yang diulas dalam Pendapat tentang Konflik Sahabat pada Masa Kepemimpinan Ali.
Persis seperti garis singgung yang menghubungkan dua lingkaran dari luar, pemahaman mendalam terhadap konflik sejarah itu memerlukan pendekatan dari berbagai perspektif untuk mencapai gambaran yang utuh dan akurat, sebagaimana ketepatan hitungan matematis tadi.
Interpretasi hasil ini dalam gambar geometri cukup menarik. Meskipun jarak pusat mencapai 15 cm dan jumlah jari-jari 9 cm, panjang garis singgung yang terbentuk adalah 12 cm. Hal ini menggambarkan sebuah segitiga siku-siku dengan sisi miring sepanjang d (15 cm), satu sisi siku-siku sepanjang (R+r) yaitu 9 cm, dan sisi siku-siku lainnya, yaitu garis singgung l, sepanjang 12 cm. Panjang 12 cm ini adalah jarak linier langsung antara dua titik singgung pada masing-masing lingkaran.
Aplikasi dan Contoh Soal Variatif dengan Penyelesaian
Untuk menguasai penerapan rumus garis singgung dalam, latihan dengan variasi parameter yang berbeda sangat diperlukan. Perubahan pada jarak pusat atau ukuran jari-jari akan secara langsung mempengaruhi hasil akhir perhitungan panjang garis singgung.
Contoh Soal 1: Jarak Pusat yang Lebih Dekat
Dua lingkaran memiliki jari-jari 8 cm dan 3 cm. Jarak antara kedua pusatnya adalah 13 cm. Tentukan panjang garis singgung dalamnya.
- Langkah 1: Tentukan nilai R=8, r=3, d=13.
- Langkah 2: Hitung R + r = 8 + 3 = 11 cm.
- Langkah 3: Hitung d²
-(R+r)² = 13²
-11² = 169 – 121 = 48. - Langkah 4: Panjang garis singgung l = √48 = 4√3 ≈ 6.93 cm.
Contoh Soal 2: Lingkaran dengan Jari-jari Sama
Dua lingkaran kongruen dengan jari-jari masing-masing 6 cm berjarak 16 cm antara pusatnya. Hitung panjang garis singgung dalam.
- Langkah 1: R = r = 6 cm, d = 16 cm.
- Langkah 2: R + r = 6 + 6 = 12 cm.
- Langkah 3: d²
-(R+r)² = 16²
-12² = 256 – 144 = 112. - Langkah 4: l = √112 = 4√7 ≈ 10.58 cm.
Contoh Soal 3: Pengaruh Perubahan Jarak Pusat
Dari contoh awal (R=7, r=2), bagaimana jika jarak pusat diperbesar menjadi 20 cm?
- Langkah 1: R=7, r=2, d=20.
- Langkah 2: R + r = 9 cm (tetap).
- Langkah 3: d²
-(R+r)² = 20²
-9² = 400 – 81 = 319. - Langkah 4: l = √319 ≈ 17.86 cm.
Diskusi dari ketiga contoh ini menunjukkan hubungan yang jelas. Semakin besar jarak pusat (d) untuk ukuran jari-jari yang tetap, maka panjang garis singgung dalam (l) juga akan semakin besar. Sebaliknya, jika jarak pusat hanya sedikit lebih besar dari jumlah jari-jari, garis singgung akan menjadi sangat pendek. Jika d sama dengan (R+r), maka panjang l akan menjadi nol, yang berarti lingkaran-lingkaran tersebut bersinggungan dalam.
Visualisasi dan Penerapan dalam Konteks Nyata: Panjang Garis Singgung Dalam Lingkaran (r=2 cm, R=7 cm, Jarak 15 cm)
Menggambar sketsa dari kasus r=2 cm, r=7 cm, dan jarak pusat 15 cm memerlukan ketelitian skala. Mulailah dengan menggambar dua titik yang berjarak 15 cm sebagai pusat. Dari titik pertama, gambarlah lingkaran dengan radius 7 cm. Dari titik kedua, gambarlah lingkaran dengan radius 2 cm. Untuk garis singgung dalam, gambar dua garis lurus yang simetris yang miring ke atas dan ke bawah, yang keduanya menyinggung lingkaran besar di sisi dalam (misalnya sisi kiri) dan lingkaran kecil di sisi dalam (sisi kanan).
Kedua garis ini akan berpotongan di suatu titik pada garis yang menghubungkan kedua pusat.
Penerapan dalam Bidang Teknik
Source: slidesharecdn.com
Konsep garis singgung dalam bukan hanya abstraksi matematika. Dalam dunia teknik, prinsip ini diterapkan pada perancangan sistem transmisi mekanis. Contoh paling nyata adalah pada sabuk penggerak (belt drive) yang menghubungkan dua roda gigi atau pulley dengan ukuran berbeda. Sabuk tersebut berperan sebagai garis singgung umum, dan panjang bagian lurus sabuk yang tidak melingkari pulley dapat didekati dengan perhitungan garis singgung.
Perhitungan yang akurat terhadap panjang ini sangat krusial untuk menentukan panjang sabuk yang dibutuhkan, memastikan ketegangan yang tepat, dan menghindari slip dalam transmisi daya.
Perhitungan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dengan jari-jari 2 cm dan 7 cm serta jarak pusat 15 cm, yakni √(15² – (2+7)²) = 12 cm, adalah materi geometri yang esensial. Pemahaman konsep ini sangat dipengaruhi oleh tingkat pemahaman matematika yang biasanya terkait dengan jenjang pendidikan, seperti yang bisa kamu cek lebih lanjut tentang relevansinya di Kelas berapa kamu sekarang.
Dengan demikian, penguasaan rumus dan penerapannya, seperti pada soal garis singgung dalam ini, menjadi lebih terarah sesuai dengan tingkat kesulitan yang sesuai dengan kelasmu.
Tabel Perbandingan Konfigurasi Dua Lingkaran, Panjang Garis Singgung Dalam Lingkaran (r=2 cm, r=7 cm, jarak 15 cm)
Tabel berikut membandingkan karakteristik garis singgung dalam pada beberapa konfigurasi dua lingkaran yang berbeda, memberikan gambaran tentang variasi hubungan geometris yang mungkin terjadi.
| Konfigurasi | Contoh Nilai (R, r, d) | Panjang Garis Singgung (l) | Keterangan Geometris |
|---|---|---|---|
| Lingkaran Terpisah Jauh | 5, 3, 20 | √(400-64)=√336≈18.33 | Garis singgung panjang, lingkaran terpisah jauh. |
| Lingkaran Hampir Bersinggungan | 6, 4, 10.1 | √(102.01-100)=√2.01≈1.42 | Garis singgung sangat pendek, mendekati titik singgung. |
| Lingkaran Bersinggungan Dalam | 8, 2, 10 | √(100-100)=0 | Panjang nol, lingkaran bersentuhan di satu titik dalam. |
| Satu Lingkaran di Dalam Lainnya* | 10, 3, 5 | Tidak Terdefinisi (imajiner) | d < (R - r), tidak ada garis singgung dalam nyata. |
*Keterangan: Kondisi agar garis singgung dalam nyata adalah d > (R + r). Jika tidak terpenuhi, hasil perhitungan akan berupa bilangan imajiner yang menunjukkan ketidakmungkinan geometris.
Pemungkas
Dengan demikian, menjelajahi perhitungan panjang garis singgung dalam memberikan lebih dari sekadar solusi numerik. Proses ini melatih logika spasial dan mengajarkan untuk melihat hubungan matematis dalam konfigurasi geometris yang kompleks. Nilai yang diperoleh, seperti pada contoh spesifik ini, menjadi bukti konkret bagaimana rumus-rumus abstrak diterapkan untuk memecahkan masalah yang terukur. Pada akhirnya, penguasaan konsep ini tidak hanya berguna di ruang kelas, tetapi juga membentuk dasar untuk inovasi dalam bidang rekayasa dan desain yang presisi.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Apa yang terjadi jika jarak pusat dua lingkaran sama dengan jumlah jari-jarinya (d = R + r)?
Jika jarak pusat (d) persis sama dengan jumlah jari-jari (R + r), maka panjang garis singgung dalam akan menjadi nol. Hal ini karena kedua lingkaran bersinggungan secara internal di satu titik, sehingga tidak ada garis lurus yang dapat ditarik sebagai garis singgung dalam di antara mereka.
Bisakah garis singgung dalam ada jika satu lingkaran berada di dalam lingkaran lainnya?
Tidak, garis singgung dalam hanya berlaku untuk dua lingkaran yang terpisah dan tidak saling melingkupi. Jika satu lingkaran berada di dalam yang lain tanpa bersinggungan, yang ada adalah konsep garis singgung persekutuan dengan karakteristik yang berbeda.
Mengapa rumusnya menggunakan (R + r)², bukan (R – r)² seperti pada garis singgung luar?
Karena garis singgung dalam berada di antara kedua lingkaran, jarak antara titik singgung pada masing-masing lingkaran secara efektif “mengurangi” area yang ditempati oleh kedua jari-jari. Penjumlahan (R + r) merepresentasikan total lebar kedua lingkaran yang harus “dikompensasi” oleh segitiga siku-siku dalam perhitungan Pythagoras.
Apakah panjang garis singgung dalam bisa lebih besar dari jarak pusat kedua lingkaran?
Tidak mungkin. Berdasarkan rumus l = √(d²
-(R + r)²), nilai (R + r)² selalu positif, sehingga d² harus lebih besar dari (R + r)² agar hasilnya real. Ini berarti panjang garis singgung (l) akan selalu lebih kecil dari jarak pusat (d).
