Pembagian f(x)=2x³ – x² – 8x + 7 oleh 2x-5 Metode dan Hasilnya

Pembagian f(x)=2x³ – x² – 8x + 7 oleh 2x-5 – Pembagian f(x)=2x³
-x²
-8x + 7 oleh 2x-5 bukan sekadar soal matematika biasa, melainkan pintu masuk untuk memahami struktur aljabar yang elegan. Operasi ini mengungkap bagaimana polinomial kompleks dapat diurai menjadi komponen yang lebih sederhana, mirip seperti membongkar mesin untuk melihat bagian-bagian penyusunnya. Konsep ini menjadi fondasi dalam berbagai bidang, mulai dari analisis kurva hingga penyelesaian persamaan tingkat tinggi.

Melalui proses pembagian, kita akan menemukan hasil bagi dan sisa yang memiliki makna mendalam, khususnya terkait dengan Teorema Sisa. Artikel ini akan mengajak pembaca menyelami langkah-langkah praktis menggunakan dua metode populer: pembagian bersusun dan skema Horner. Dengan demikian, diharapkan pembaca tidak hanya mampu menyelesaikan soal, tetapi juga menangkap logika matematika di baliknya.

Pendahuluan dan Konsep Dasar Pembagian Polinomial

Sebelum menyelami kasus spesifik kita, mari kita pahami dulu apa itu pembagian polinomial. Pada dasarnya, ini mirip dengan pembagian bilangan biasa yang kita pelajari di sekolah dasar, tapi objek yang dibagi adalah ekspresi aljabar berupa polinomial. Konsep ini erat kaitannya dengan Teorema Sisa, yang menyatakan bahwa jika suatu polinomial f(x) dibagi oleh (ax – b), maka sisanya adalah f(b/a). Pembagian ini bertujuan untuk menuliskan polinomial kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Secara umum, algoritma pembagian polinomial mengikuti hubungan dasar: Yang Dibagi = (Pembagi × Hasil Bagi) + Sisa. Jika kita analogikan dengan pembagian 17 dibagi 5, kita dapatkan 17 = (5 × 3) + 2. Di sini, 17 adalah ‘dividend’ (yang dibagi), 5 adalah ‘divisor’ (pembagi), 3 adalah ‘quotient’ (hasil bagi), dan 2 adalah ‘remainder’ (sisa). Prinsip yang persis sama berlaku untuk polinomial.

Bentuk Umum dan Contoh Sederhana

Misalkan kita memiliki polinomial P(x) sebagai yang dibagi dan D(x) sebagai pembagi, dengan derajat D(x) kurang dari atau sama dengan derajat P(x). Proses pembagian akan menghasilkan Q(x) sebagai hasil bagi dan R(x) sebagai sisa, di mana derajat R(x) lebih rendah dari derajat D(x). Untuk pembagi linear, sisa akan selalu berupa konstanta.

Contoh sederhana: Bagi (x² + 5x + 6) oleh (x + 2).Prosesnya: (x² + 5x + 6) / (x + 2) = x + 3 dengan sisa

0. Dapat ditulis

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

Analisis Fungsi f(x)=2x³

• x²
• 8x + 7 dan Pembagi 2x-5

Mari kita kenali polinomial yang akan kita bagi. Fungsi f(x) = 2x³
-x²
-8x + 7 adalah polinomial berderajat tiga (kubik). Koefisien-koefisiennya adalah 2 untuk x³, -1 untuk x², -8 untuk x, dan 7 sebagai konstanta. Pembaginya, 2x – 5, adalah polinomial linear berbentuk (ax – b) dengan a=2 dan b=5.

Pembagi bentuk ini memiliki akar di x = b/a = 5/2 = 2.
5. Menurut Teorema Sisa, nilai f(2.5) seharusnya sama dengan sisa pembagian. Mari kita cek: f(2.5) = 2*(2.5)³
-(2.5)²
-8*(2.5) + 7 = 31.25 – 6.25 – 20 + 7 = 12. Nilai ini bukan nol, artinya x=2.5 bukan akar dari f(x), dan pembagian akan menghasilkan sisa yang tidak nol.

Perilaku Fungsi di Sekitar x = 5/2, Pembagian f(x)=2x³ – x² – 8x + 7 oleh 2x-5

Untuk memahami perilaku fungsi di sekitar titik pembagian, berikut adalah nilai-nilai f(x) untuk beberapa input di dekat x = 2.5.

Prosedur Pembagian Menggunakan Metode Pembagian Bersusun (Porogapit)

Metode pembagian bersusun adalah teknik klasik yang paling visual untuk membagi polinomial. Prosesnya sistematis, dimulai dari suku dengan pangkat tertinggi, mirip dengan porogapit angka. Kita akan membagi 2x³
-x²
-8x + 7 oleh 2x – 5 langkah demi langkah.

Langkah-langkah Pembagian Bersusun

Langkah 1: Bagi suku pertama yang dibagi (2x³) dengan suku pertama pembagi (2x). Hasilnya adalah x². Letakkan di area hasil bagi.Langkah 2: Kalikan hasil ini (x²) dengan seluruh pembagi (2x-5), dapatkan 2x³5x². Tulis di bawah polinomial awal.Langkah 3: Kurangkan: (2x³

• x²)
• (2x³
• 5x²) = 4x². Turunkan suku berikutnya (-8x), menjadi 4x²
• 8x.

Langkah 4: Bagi suku pertama baru (4x²) dengan suku pertama pembagi (2x). Hasilnya +2x. Tambahkan ke hasil bagi.Langkah 5: Kalikan 2x dengan (2x-5), dapatkan 4x²

10x. Kurangkan

(4x²

• 8x)
• (4x²
• 10x) = 2x. Turunkan suku terakhir (+7), menjadi 2x +

7. Langkah 6

Bagi 2x dengan 2x, hasilnya +1. Tambahkan ke hasil bagi.

Langkah 7: Kalikan 1 dengan (2x-5), dapatkan 2x –

5. Kurangkan

(2x + 7)(2x – 5) = 12. Ini adalah sisa.

Alur kerja metode ini benar-benar dari atas ke bawah: membagi, mengalikan, mengurangkan, dan menurunkan suku. Setiap iterasi akan mengurangi derajat polinomial yang tersisa hingga derajatnya lebih rendah dari pembagi. Suku-suku yang dieliminasi pada setiap pengurangan adalah suku dengan pangkat tertinggi saat itu, yang memungkinkan kita untuk berfokus pada suku-suku yang lebih rendah.

Penerapan Metode Horner untuk Pembagi Linear

Metode Horner (atau skema sintetik) menawarkan cara yang lebih ringkas dan efisien, terutama untuk pembagi linear. Namun, karena pembagi kita adalah 2x – 5 (koefisien x bukan 1), kita perlu menggunakan Metode Horner yang dimodifikasi. Alih-alih menggunakan akar x = 5/2 secara langsung, kita akan membagi koefisien-koefisien f(x) dengan proses bertahap yang memperhitungkan angka 2 dari pembagi.

Tabel Proses Horner untuk Pembagi (2x-5)

Source: gauthmath.com

Kita menggunakan k = 5/2. Koefisien hasil bagi perlu dibagi lagi dengan koefisien a (yaitu 2) dari pembagi.

Baris terakhir (1, 2, 1) adalah koefisien hasil bagi: 1x² + 2x + 1. Sisa = 12. Hasil ini identik dengan metode pembagian bersusun. Metode Horner jauh lebih efisien dalam penulisan dan perhitungan, terutama untuk polinomial berderajat tinggi. Koefisien a=2 harus diperhitungkan dalam pembagian akhir karena metode Horner standar dirancang untuk pembagi (x – k).

Untuk (ax – b) = a(x – b/a), hasil bagi sementara yang diperoleh dari k = b/a masih perlu dibagi dengan a untuk mendapatkan hasil bagi yang benar.

Interpretasi Hasil Bagi dan Sisa Pembagian

Dari kedua metode di atas, kita peroleh hasil yang konsisten. Pembagian polinomial f(x) = 2x³
-x²
-8x + 7 oleh (2x – 5) menghasilkan hasil bagi Q(x) = x² + 2x + 1 dan sisa R = 12.

Secara matematis, hubungan ini dinyatakan sebagai: f(x) = (2x – 5)
– (x² + 2x + 1) + 12 . Makna sisa 12 ini, sesuai Teorema Sisa, adalah nilai fungsi ketika pembagi sama dengan nol, yaitu f(5/2) = 12. Sisa yang tidak nol mengkonfirmasi bahwa (2x-5) bukan faktor dari f(x).

Verifikasi Kebenaran Hasil

Untuk memastikan tidak ada kesalahan, kita lakukan verifikasi dengan mengalikan kembali:

• (2x – 5)
  – (x² + 2x + 1) = 2x³ + 4x² + 2x – 5x²
  -10x – 5 = 2x³
  -x²
  -8x – 5.
• Kemudian tambahkan sisa 12: (2x³
  -x²
  -8x – 5) + 12 = 2x³
  -x²
  -8x + 7.
• Hasilnya tepat sama dengan polinomial awal f(x). Ini membuktikan perhitungan kita akurat.

Aplikasi dan Contoh Soal Terkait: Pembagian F(x)=2x³ – X² – 8x + 7 Oleh 2x-5

Pemahaman tentang pembagian polinomial berguna dalam berbagai konteks, mulai dari aljabar dasar hingga kalkulus. Berikut beberapa contoh penerapannya.

Contoh Soal Latihan

Berikut tiga soal dengan tingkat kesulitan berbeda:

1. Mudah: Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian (3x³
   

   2x² + x – 4) oleh (x – 1).

2. Sedang: Bagi (4x⁴
   

   3x² + 2x – 1) oleh (2x + 1) menggunakan metode pembagian bersusun.

3. Sulit: Jika polinomial P(x) = 2x³ + ax²
   

   bx + 3 dibagi (x-1) bersisa 5 dan dibagi (2x+1) bersisa -2, tentukan nilai a dan b.

Solusi untuk Soal Tingkat Sedang

Mari selesaikan soal nomor 2: (4x⁴ + 0x³
-3x² + 2x – 1) : (2x + 1).

• Langkah 1: 4x⁴ / 2x = 2x³. Kalikan: 2x³*(2x+1)=4x⁴+2x³. Kurangkan, dapatkan -2x³. Turunkan -3x².
• Langkah 2: -2x³ / 2x = -x². Kalikan: -x²*(2x+1) = -2x³
  -x². Kurangkan, dapatkan -2x². Turunkan +2x.
• Langkah 3: -2x² / 2x = -x. Kalikan: -x*(2x+1) = -2x²
  -x. Kurangkan, dapatkan 3x. Turunkan -1.
• Langkah 4: 3x / 2x = 3/
  2. Kalikan: (3/2)*(2x+1)=3x + 1.
  5. Kurangkan: (3x-1)
  -(3x+1.5) = -2.5.

Hasil bagi: 2x³
-x²
-x + 3/
2. Sisa: -2.5 atau -5/2.

Masalah Kontekstual dan Aplikasi Limit

Sebuah perusahaan memodelkan keuntungan dari proyek tertentu dengan fungsi kubik f(x) = 2x³
-x²
-8x + 7 (dalam juta rupiah), di mana x adalah jumlah unit yang diproduksi (dalam ribu). Jika biaya tetap per unit dapat direpresentasikan sebagai (2x – 5), ekspresi hasil bagi (x² + 2x + 1) dapat diinterpretasikan sebagai komponen keuntungan variabel per unit pada skala tertentu.

Dalam kalkulus, hasil pembagian ini dapat menyederhanakan pencarian limit. Misalnya, untuk mencari limit fungsi rasional yang asalnya berbentuk f(x)/(2x-5) di sekitar x=2.5, kita bisa gunakan hasil bagi langsung karena faktor (2x-5) hampir sama dengan nol.

lim (x→5/2) [ (2x³

• x²
• 8x + 7) / (2x – 5) ] = lim (x→5/2) [ (x² + 2x + 1) + 12/(2x-5) ].

Komponen 12/(2x-5) menuju tak hingga, menunjukkan limitnya tidak ada (menuju ±∞). Namun, bentuk hasil bagi memudahkan analisis perilaku fungsi.

Kesimpulan

Dari pembahasan mendalam tentang Pembagian f(x)=2x³
-x²
-8x + 7 oleh 2x-5, terlihat betapa matematika menyediakan alat yang rapi dan terstruktur untuk mengurai kompleksitas. Hasil bagi dan sisa yang diperoleh bukanlah akhir perjalanan, melainkan kunci untuk aplikasi lebih lanjut seperti pemfaktoran, pencarian akar, dan perhitungan limit. Penguasaan terhadap metode pembagian bersusun dan Horner memberikan fleksibilitas dalam memilih cara paling efisien untuk menyelesaikan berbagai masalah polinomial serupa di masa depan.

Pertanyaan Umum (FAQ)

Apa hubungan hasil pembagian ini dengan grafik fungsi f(x)?

Hasil pembagian menunjukkan bahwa x = 5/2 bukanlah akar dari f(x) karena sisanya bukan nol. Pada grafik, ini berarti garis x = 5/2 atau titik (5/2, f(5/2)) bukan merupakan titik potong dengan sumbu-x, melainkan hanya sebuah titik biasa pada kurva.

Mengapa koefisien ‘2’ pada pembagi (2x-5) perlu perhatian khusus dalam metode Horner?

Karena metode Horner standar dirancang untuk pembagi berbentuk (x – k). Untuk pembagi (ax – b) seperti 2x-5, hasil sementara dari Horner harus dibagi lagi dengan ‘a’ (angka 2) untuk mendapatkan hasil bagi yang benar.

Bisakah pembagian ini digunakan untuk memfaktorkan f(x) sepenuhnya?

Tidak, karena sisanya bukan nol. Pembagian dengan (2x-5) tidak menghasilkan faktorisasi penuh. Untuk memfaktorkan f(x) sepenuhnya, kita perlu mencari pembagi linear lain yang memberikan sisa nol atau menelusuri faktor-faktor polinomial berderajat lebih tinggi.

Dalam konteks apa soal seperti ini sering muncul?

Soal serupa sering muncul dalam materi Teorema Sisa dan Teorema Faktor, penyederhanaan fungsi rasional (polinomial per polinomial), serta sebagai langkah awal dalam mencari asimtot miring atau menyelesaikan limit fungsi rasional di tak hingga.