Persamaan Kuadrat Memotong Sumbu X di A(-2,0) dan B(3,0) Lewat P(2,12) bukan sekadar soal hitung-menghitung biasa. Kasus ini menyajikan narasi yang elegan tentang bagaimana beberapa titik kunci dapat mengunci identitas lengkap sebuah fungsi, mengubah data spasial menjadi rumus aljabar yang presisi. Di balik angka-angka tersebut, tersembunyi dialog antara bentuk geometris dan persamaan analitis, di mana setiap koordinat berperan sebagai petunjuk untuk merekonstruksi sebuah kurva parabola.
Analisis dimulai dari dua titik potong dengan sumbu X, yang memberikan fondasi dasar berupa akar-akar persamaan. Namun, fondasi ini masih ambigu tanpa kehadiran titik ketiga, P(2,12), yang bertindak sebagai penentu skala dan orientasi grafik. Proses menemukan persamaan akhir menjadi sebuah investigasi matematis yang memadukan substitusi, verifikasi, dan interpretasi visual untuk mengungkap karakteristik parabola secara utuh.
Memahami Permasalahan dan Menentukan Bentuk Umum
Oke, jadi kita punya cerita begini: ada sebuah grafik persamaan kuadrat yang nyelonong motong sumbu X di dua titik, yaitu A(-2,0) sama B(3,0). Nah, ini info yang krusial banget. Dalam bahasa geometris, artinya angka -2 dan 3 itu adalah akar-akar atau solusi dari persamaan kuadratnya. Kalau udah tau akar-akarnya, kita bisa langsung bikin bentuk faktornya.
Bentuk umum persamaan kuadrat yang bisa kita susun dari titik potong sumbu X itu adalah y = a(x - x₁)(x - x₂). Di sini, x₁ dan x₂ adalah titik potongnya. Jadi untuk titik A(-2,0) dan B(3,0), bentuk awalnya jadi y = a(x - (-2))(x - 3) atau lebih sederhana, y = a(x + 2)(x - 3).
Nah, terus muncul si titik P(2,12). Kenapa dia perlu? Soalnya dalam bentuk y = a(x + 2)(x - 3) itu masih ada si misterius “a”, yaitu konstanta pengali yang nentuin seberapa “gemuk” atau “kurus”, juga arah bukaannya grafik. Titik P ini kita pake buat nyelidiki nilai “a” tersebut dengan cara masukin koordinatnya (x=2, y=12) ke persamaan tadi.
Arti Geometris Titik Potong Sumbu X
Ketika sebuah grafik memotong sumbu X di titik tertentu, itu artinya nilai y di titik tersebut adalah nol. Jadi, titik A(-2,0) dan B(3,0) memberitahu kita bahwa jika persamaan kuadrat kita disamadengankan nol ( y=0), maka solusi untuk x-nya adalah -2 dan 3. Ini adalah informasi fundamental untuk membangun kerangka persamaan.
Menyusun Persamaan Kuadrat Awal: Persamaan Kuadrat Memotong Sumbu X Di A(-2,0) Dan B(3,0) Lewat P(2,12)
Sekarang kita eksekusi, yuk. Dari info akar tadi, kita tulis bentuk faktornya langsung.
y = a (x – (-2)) (x – 3)
y = a (x + 2) (x – 3)
Persamaan ini masih serba bisa, tergantung nilai a-nya. Untuk mengunci satu persamaan yang spesifik, kita gunakan petunjuk ekstra dari titik P(2,12). Artinya, ketika x=2, maka y pasti 12. Kita substitusi aja nih nilai-nilai itu.
Perhitungan lengkapnya gini:
12 = a (2 + 2) (2 – 3)
12 = a (4) (-1)
12 = a (-4)
a = 12 / (-4)
a = -3
Nah, ketemu nih sang misterius, a = –
3. Sekarang kita punya persamaan spesifik dalam bentuk faktor: y = -3(x + 2)(x - 3). Biar lebih umum, kita kembangkan (ekspansi) bentuk ini.
Mari kita kalikan:
y = -3 [(x+2)(x-3)]
y = -3 [x²
-3x + 2x – 6]
y = -3 [x²
-x – 6]
y = -3x² + 3x + 18
Jadi, persamaan kuadratnya dalam bentuk umum adalah y = -3x² + 3x + 18.
Verifikasi dan Analisis Grafik
Sebelum lanjut, baiknya kita cek dulu biar yakin persamaan y = -3x² + 3x + 18 ini beneran lewat semua titik yang dikasih soal.
- Titik A(-2,0): y = -3(-2)² + 3(-2) + 18 = -3(4) -6 +18 = -12 -6 +18 = 0. ✅
- Titik B(3,0): y = -3(3)² + 3(3) + 18 = -3(9) +9 +18 = -27 +9 +18 = 0. ✅
- Titik P(2,12): y = -3(2)² + 3(2) + 18 = -3(4) +6 +18 = -12 +24 = 12. ✅
Mantap, semua cocok. Sekarang coba kita bayangkan grafiknya. Grafik ini berbentuk parabola yang terbuka ke bawah (soalnya koefisien x²-nya negatif). Dia memotong sumbu X di x = -2 dan x = 3. Titik P(2,12) itu berada di sebelah kanan atas, di antara sumbu simetri dan titik potong B.
Sumbu simetrinya tepat di tengah-tengah kedua titik potong sumbu X, yaitu di x = (-2+3)/2 = 0.5.
Visualisasi Titik-titik pada Kurva, Persamaan Kuadrat Memotong Sumbu X di A(-2,0) dan B(3,0) Lewat P(2,12)
Untuk bantu bayangin bentuk parabola-nya, berikut tabel nilai x dan y di sekitarnya. Coba liat, nilai y maksimumnya ada di sekitar sumbu simetri x=0.5.
| Nilai x | Perhitungan y = -3x²+3x+18 | Nilai y (approx) | Titik (x,y) |
|---|---|---|---|
| -3 | -3(9) + 3(-3) + 18 = -27 -9 +18 | -18 | (-3, -18) |
| -2 | 0 | 0 | A(-2, 0) |
| -1 | -3(1) + 3(-1) + 18 = -3 -3 +18 | 12 | (-1, 12) |
| 0 | 0 + 0 + 18 | 18 | (0, 18) |
| 0.5 | -3(0.25) + 3(0.5) + 18 = -0.75 +1.5 +18 | 18.75 | (0.5, 18.75) |
| 1 | -3(1) + 3(1) + 18 = -3 +3 +18 | 18 | (1, 18) |
| 2 | 12 | 12 | P(2, 12) |
| 3 | 0 | 0 | B(3, 0) |
| 4 | -3(16) + 3(4) + 18 = -48 +12 +18 | -18 | (4, -18) |
Eksplorasi Sifat-Sifat dan Karakteristik
Mari kita kupas lebih dalam sifat-sifat dari persamaan akhir kita, y = -3x² + 3x + 18.
Dari bentuk umum ax² + bx + c, kita identifikasi:
- Koefisien a = -3
- Koefisien b = 3
- Konstanta c = 18
Karena a = -3 (negatif), parabola ini terbuka ke bawah. Artinya, dia punya nilai maksimum, bukan minimum.
Titik Puncak dan Sumbu Simetri
Titik puncak (vertex) adalah titik maksimum untuk parabola ini. Koordinat x dari vertex adalah rumus sumbu simetri: x = -b / 2a.
x = -3 / (2
– -3) = -3 / -6 = 0.5
Nah, untuk mencari koordinat y-nya, substitusi x=0.5 ke persamaan:
y = -3(0.5)² + 3(0.5) + 18 = -3(0.25) + 1.5 + 18 = -0.75 + 19.5 = 18.75
Jadi, Titik Puncak (Vertex) berada di (0.5, 18.75). Sumbu simetrinya adalah garis vertikal yang melalui x=0.5, dengan persamaan x = 0.5.
Titik Potong dengan Sumbu Y dan Ringkasan Karakteristik
Titik potong dengan sumbu Y terjadi ketika x =
0. Substitusi saja: y = -3(0)² + 3(0) + 18 = 18. Jadi, grafik memotong sumbu Y di titik (0,18).
Secara ringkas, karakteristik grafik dari persamaan y = -3x² + 3x + 18 adalah:
- Titik Potong Sumbu X: (-2, 0) dan (3, 0)
- Titik Potong Sumbu Y: (0, 18)
- Titik Puncak (Vertex): (0.5, 18.75)
- Sumbu Simetri: x = 0.5
- Arah Pembukaan: Ke bawah (karena a negatif)
Aplikasi dan Variasi Soal Terkait
Model soal kayak gini nggak cuma satu jenis. Sering banget variasinya, contohnya: “Tentukan persamaan kuadrat yang memotong sumbu X di (1,0) dan (5,0) serta melalui titik (2, -6).” Cara penyelesaiannya tetap sama, cuma angkanya aja yang beda.
Prosedur Umum Penyelesaian
Berikut langkah-langkah sistematis yang bisa kamu ikuti untuk semua soal jenis “diketahui titik potong X dan satu titik lain”.
Tulis bentuk faktor dari persamaan kuadrat menggunakan titik potong sumbu X (x₁, 0) dan (x₂, 0):
y = a(x - x₁)(x - x₂).
- Substitusikan koordinat titik ketiga yang diketahui (x₃, y₃) ke dalam persamaan dari langkah 1.
- Selesaikan persamaan tersebut untuk mencari nilai konstanta
a.- Substitusikan nilai
ayang didapat kembali ke bentuk faktor pada langkah 1. Ini sudah menjadi persamaan spesifik.- (Opsional) Kembangkan bentuk faktor tersebut untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk umum
ax² + bx + c.
Perbandingan Tiga Bentuk Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat itu fleksibel, bisa ditulis dalam beberapa bentuk yang masing-masing punya keunggulan informasinya sendiri. Berikut perbandingannya.
| Bentuk | Rumus Umum | Informasi yang Langsung Terbaca | Contoh dari Soal Kita |
|---|---|---|---|
| Bentuk Faktor (dari Akar) | y = a(x – x₁)(x – x₂) | Akar-akar (titik potong X) yaitu x₁ dan x₂, serta arah bukaan (dari tanda a). | y = -3(x + 2)(x – 3) |
| Bentuk Verteks (Titik Puncak) | y = a(x – h)² + k | Koordinat titik puncak (h, k) dan arah bukaan (dari tanda a). | y = -3(x – 0.5)² + 18.75 |
| Bentuk Umum (Standar) | y = ax² + bx + c | Titik potong sumbu Y (yaitu c), dan mudah untuk operasi aljabar seperti penjumlahan/pengurangan. | y = -3x² + 3x + 18 |
Pemahaman tentang ketiga bentuk ini bikin kamu bisa lebih lincah memilih mana yang paling efisien buat dipakai, tergantung apa yang ditanya di soal.
Penutupan Akhir
Source: googleapis.com
Dari proses menyusun persamaan hingga menganalisis sifat-sifat grafiknya, terlihat bahwa setiap elemen informasi—titik potong, sebuah titik tambahan—bukanlah data yang berdiri sendiri. Mereka saling terhubung dalam sebuah jaringan logika yang ketat. Persamaan akhir yang didapat, beserta vertex dan titik potong sumbu Y-nya, bukanlah akhir perjalanan, melainkan sebuah bahasa baru untuk memahami perilaku fungsi kuadrat tersebut. Eksplorasi ini mengajarkan bahwa dalam matematika, sepotong informasi yang tampak parsial justru dapat membawa kita pada pemahaman yang komprehensif, asalkan kita tahu cara merangkai semua petunjuk yang ada.
Pertanyaan dan Jawaban
Mengapa titik P(2,12) mutlak diperlukan padahal kita sudah punya dua titik potong sumbu X?
Dua titik potong sumbu X hanya menentukan akar-akar atau bentuk faktornya, yaitu (x+2)(x-3)=0. Namun, bentuk ini bisa dikalikan dengan sembarang konstanta ‘a’ (seperti a(x+2)(x-3)=0) dan masih memiliki akar yang sama. Titik P(2,12) digunakan untuk menemukan nilai spesifik konstanta ‘a’ tersebut, sehingga menghasilkan satu persamaan kuadrat yang unik.
Apakah mungkin ada lebih dari satu persamaan kuadrat yang melalui ketiga titik tersebut?
Tidak. Untuk tiga titik yang diberikan (dengan koordinat x yang berbeda), hanya ada satu dan hanya satu fungsi kuadrat yang grafiknya melewati semua titik tersebut. Proses substitusi akan menghasilkan nilai ‘a’ yang tunggal, sehingga persamaannya pasti unik.
Bagaimana jika titik P diberikan pada koordinat yang sama dengan salah satu titik potong sumbu X, misalnya P(-2,0)?
Jika titik P berimpit dengan salah satu titik potong, misalnya A(-2,0), maka informasi yang diberikan menjadi redundan. Kita hanya memiliki dua titik berbeda secara efektif. Dalam kasus seperti itu, akan terdapat tak terhingga banyaknya parabola (dengan nilai ‘a’ yang berbeda-beda) yang melalui dua titik tersebut, sehingga persamaan spesifiknya tidak dapat ditentukan.
Bisakah kita menyelesaikan soal ini tanpa menggunakan bentuk faktor?
Bisa, tetapi lebih rumit. Kita bisa menggunakan bentuk umum y = ax² + bx + c dan mensubstitusikan ketiga titik (A, B, P) untuk membentuk sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel (a, b, c). Metode bentuk faktor lebih efisien karena langsung memanfaatkan informasi akar-akarnya.
