Rumus suku ke-n dari barisan 5, 10, 20,40, 80,.. adalah.. – Rumus suku ke-n dari barisan 5, 10, 20, 40, 80,.. adalah kunci untuk membuka pola tersembunyi di balik deretan angka yang tampaknya melompat-lompat itu. Kalau kita cuma lihat angkanya doang, ya cuma angka. Tapi begitu kita temukan rumusnya, kita bisa memprediksi suku ke-100, ke-1000, bahkan yang lebih jauh lagi tanpa harus menulis semua angkanya sampai pusing. Ini bukan cuma soal hitung-hitungan, tapi soal punya kendali atas pola.
Barisan ini adalah contoh klasik barisan geometri, di mana setiap suku didapatkan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah bilangan tetap yang disebut rasio. Dalam barisan 5, 10, 20, 40, 80, kita dengan mudah melihat polanya: dikali dua setiap langkah. Nah, rumus suku ke-n adalah alat yang mengemas pola perkalian berulang ini menjadi sebuah formula rapi, Un = a × r^(n-1), yang siap digunakan untuk menyelesaikan berbagai soal, dari yang dasar sampai yang kompleks dalam konteks dunia nyata.
Pengenalan Barisan Geometri
Bayangkan kamu punya sebutir biji jagung. Hari ini kamu tanam, besok tumbuh jadi dua tunas, lusa masing-masing tunasnya tumbuh dua lagi, dan seterusnya. Pola perkalian yang berulang seperti inilah jantung dari barisan geometri. Dalam matematika, barisan geometri didefinisikan sebagai barisan bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang tidak nol.
Bilangan tetap ini disebut rasio, biasa dilambangkan dengan ‘r’.
Kalau kita perhatikan barisan 5, 10, 20, 40, 80, …, terlihat jelas polanya: dari 5 ke 10 dikali 2, dari 10 ke 20 dikali 2, dan seterusnya. Jadi, rasio (r) dari barisan ini adalah 2. Suku pertama, yang biasa dilambangkan ‘a’, adalah 5. Memahami dua komponen ini (a dan r) adalah kunci untuk menguasai seluruh perhitungan barisan geometri.
Mengurai Barisan Contoh ke dalam Tabel
Untuk memvisualisasikan hubungan antara posisi suku, nilainya, dan peran rasio, mari kita lihat tabel berikut. Tabel ini akan menunjukkan bagaimana setiap suku terbangun dari suku pertama melalui perkalian berulang dengan rasio.
| Suku ke-n (n) | Nilai Suku | Cara Perhitungan | Hubungan dengan Rasio (r=2) |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | a | 5 × 20 |
| 2 | 10 | a × r | 5 × 21 |
| 3 | 20 | a × r × r | 5 × 22 |
| 4 | 40 | a × r × r × r | 5 × 23 |
| 5 | 80 | a × r × r × r × r | 5 × 24 |
Rumus Umum Suku ke-n Barisan Geometri
Setelah melihat pola di tabel, kita tidak perlu lagi menulis perkalian berulang sampai puluhan kali untuk mencari suku ke-100, misalnya. Matematika memberikan kita sebuah rumus ampuh yang merangkum seluruh pola itu menjadi satu persamaan sederhana. Rumus ini adalah alat prediksi kita.
Un = a × r (n-1)
Mari kita bedah rumus sakti ini. Un adalah suku ke-n yang ingin kita cari. a adalah suku pertama, fondasi dari seluruh barisan. r adalah rasio, si pengganda yang konsisten. n adalah nomor urut suku yang ditanyakan.
Pangkat (n-1) adalah kunci logikanya: untuk mencapai suku ke-n, kita hanya perlu mengalikan suku pertama (a) dengan rasio (r) sebanyak (n-1) kali. Kenapa bukan ‘n’ kali? Karena suku pertama (a) sudah ada tanpa dikali r sama sekali, ia adalah titik awal.
Mencari Suku ke-10 dari Barisan Contoh
Sekarang, mari kita praktekkan. Untuk barisan 5, 10, 20,… kita tahu a = 5 dan r = 2. Kita ingin mencari suku ke-10 (U 10). Langsung saja kita masukkan ke dalam rumus.
U 10 = 5 × 2 (10-1) = 5 × 2 9. Ingat, 2 9 bukan 2×9, melainkan 2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 512. Jadi, U 10 = 5 × 512 = 2560. Dengan beberapa langkah hitung, kita bisa tahu suku ke-10 bernilai 2560, tanpa harus menulis 10 bilangan berurutan.
Pembuktian dan Penurunan Rumus
Rumus U n = a × r (n-1) bukanlah mantra yang turun dari langit. Ia berasal dari observasi pola yang sangat sistematis. Proses menemukannya justru membantu kita memahami esensi rumus itu sendiri, sehingga kita tidak sekadar menghafal.
Berikut adalah langkah-langkah penurunan rumus tersebut dari pola barisan:
- Kita mulai dari definisi: suku kedua (U 2) adalah suku pertama (a) dikali rasio satu kali. Jadi, U 2 = a × r.
- Suku ketiga (U 3) adalah suku kedua (U 2) dikali rasio. Karena U 2 = a × r, maka U 3 = (a × r) × r = a × r 2.
- Suku keempat (U 4) adalah suku ketiga (U 3) dikali rasio. Jadi, U 4 = (a × r 2) × r = a × r 3.
- Pola ini terus berlanjut. Setiap kali naik satu suku, pangkat dari r bertambah satu.
Observasi kunci: Pangkat pada rasio (r) selalu satu kurang dari nomor suku (n). Untuk suku ke-3, pangkatnya 2. Untuk suku ke-4, pangkatnya 3. Maka, untuk suku ke-n, pangkatnya pasti (n-1).
Dari pengamatan berantai ini, kita sampai pada kesimpulan umum: U n = a × r (n-1). Rumus ini adalah ringkasan dari seluruh proses perkalian berulang tersebut.
Penerapan pada Variasi Soal
Rumus barisan geometri akan diuji dalam berbagai bentuk soal. Mulai dari yang langsung hingga yang perlu sedikit analisis. Berikut beberapa contoh beserta penyelesaiannya untuk memperluas pemahaman.
Contoh Soal dan Penyelesaian Terstruktur
Contoh 1 (Dasar): Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 3 dan rasio 4. Tentukan suku ke-7.
Penyelesaian: Diketahui a=3, r=4, n=7. U 7 = 3 × 4 (7-1) = 3 × 4 6 = 3 × 4096 = 12288.
Contoh 2 (Mencari Komponen Lain): Suku ke-5 suatu barisan geometri adalah 48 dan suku ke-7 adalah 192. Tentukan suku pertama (a) dan rasio (r) barisan tersebut.
Penyelesaian: Kita tahu U 5 = a × r 4 = 48 dan U 7 = a × r 6 =
192. Bagikan U 7 dengan U 5: (a × r 6) / (a × r 4) = 192/48 → r 2 =
4. Jadi, r = 2 atau r = –
2. Substitusi r=2 ke U 5: a × 2 4 = 48 → a × 16 = 48 → a = 3.
Nah, kalau kamu udah paham cara cari rumus suku ke-n dari barisan geometri kayak 5, 10, 20, 40, 80 yang polanya dikali dua, logika berpikirnya bisa kamu terapin ke soal fungsi lain. Misalnya nih, buat nemuin pola hubungan antar himpunan, coba kamu cek penjelasan lengkapnya di Perhatikan diagram panah berikut. A 5 6 8 B 13 15 19 Rumus fungsi dari A ke B adalah.
Setelah itu, balik lagi deh ke konsep barisan tadi, kamu akan sadar bahwa menemukan pola, baik itu rumus barisan atau fungsi, intinya adalah mengamati hubungan antar bilangan dengan cermat.
(Untuk r=-2, akan didapat a=3 juga, menghasilkan barisan yang berbeda).
Contoh 3 (Kontekstual): Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Pantulan pertama mencapai ketinggian 8 meter. Jika pola pantulan bersifat geometris, berapa ketinggian bola pada pantulan ke-6?
Penyelesaian: Tinggi awal pantulan (bukan dijatuhkan) adalah a = 8 meter. Rasio (r) = 8/10 = 0.8. Pantulan ke-6 berarti n=6. U 6 = 8 × (0.8) 5 = 8 × 0.32768 ≈ 2.62144 meter.
Kesalahan Umum dan Cara Menghindarinya
Kesalahan paling sering terjadi pada pangkat. Banyak yang menulis U n = a × r n, melupakan bahwa pangkatnya harus (n-1). Selalu ingat: suku pertama tidak dikali r. Kesalahan lain adalah salah menghitung rasio, terutama ketika barisan mengandung bilangan negatif atau pecahan. Pastikan untuk membagi suku berikutnya dengan suku sebelumnya secara konsisten.
Selalu periksa dengan menghitung dua atau tiga suku menggunakan rasio yang kamu dapat, apakah cocok dengan soal.
Visualisasi dan Pola Pertumbuhan: Rumus Suku Ke-n Dari Barisan 5, 10, 20,40, 80,.. Adalah..
Source: googleapis.com
Perkembangan barisan geometri, terutama jika r > 1, adalah sebuah pertumbuhan eksponensial. Jika divisualisasikan dalam diagram batang atau grafik garis dengan sumbu horizontal sebagai ‘n’ dan sumbu vertikal sebagai ‘U n‘, kita akan melihat kurva yang melengkung naik dengan sangat curam. Setiap langkah ke kanan (n bertambah), kenaikan nilai di sumbu vertikal menjadi jauh lebih besar dibanding langkah sebelumnya. Ini kontras dengan barisan aritmatika yang grafiknya berupa garis lurus, karena penambahannya selalu tetap.
Perbedaan mendasar ini dapat dilihat dari analisis pertambahan nilainya. Mari kita bandingkan melalui tabel berikut untuk barisan geometri 5, 10, 20, 40,… dan barisan aritmatika contoh, misalnya 5, 10, 15, 20,… (beda=5).
| Suku ke-n | Nilai (Geometri) | Pertambahan Absolut | Pertambahan Relatif (Rasio) |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | – | – |
| 2 | 10 | +5 | ×2 |
| 3 | 20 | +10 | ×2 |
| 4 | 40 | +20 | ×2 |
| 5 | 80 | +40 | ×2 |
Pada barisan geometri, pertambahan absolutnya (selisih antar suku) semakin besar, tetapi pertambahan relatifnya (perkalian) selalu konstan, yaitu dikali 2. Inilah yang membedakannya dari barisan aritmatika di mana pertambahan absolutnya yang konstan.
Aplikasi dalam Konteks Nyata
Konsep barisan geometri bukan cuma angka di kertas. Ia hidup dalam banyak fenomena di sekitar kita, terutama yang melibatkan pertumbuhan berbasis perkalian atau persentase.
Contoh 1: Penyebaran Informasi/Virus (Model Sederhana). Bayangkan satu orang menyebarkan hoaks ke 3 orang dalam satu hari. Hari berikutnya, masing-masing dari 3 orang itu menyebarkan ke 3 orang baru lagi. Ini membentuk barisan geometri: 1, 3, 9, 27,… Dengan a=1 dan r=3, kita bisa memprediksi jumlah orang yang terpapar hoaks pada hari ke-n. Model ini juga analog dengan penyebaran virus dalam kondisi ideal, membantu ahli epidemiologi membuat proyeksi.
Contoh 2: Bunga Majemuk dalam Keuangan. Ini adalah aplikasi paling klasik. Jika kamu menabung Rp 1.000.000 dengan bunga majemuk 5% per tahun, uangmu tidak bertambah tetap Rp 50.000 per tahun. Pada tahun pertama, bunganya 5% dari 1 juta. Tahun kedua, bunga dihitung dari 1 juta ditambah bunga tahun pertama, dan seterusnya. Nilai tabunganmu mengikuti barisan geometri dengan rasio 1.05.
Perhitungan Prediktif Bunga Majemuk: Untuk tabungan Rp 1.000.000 (a) dengan bunga 5% per tahun (r = 1 + 0.05 = 1.05), nilai tabungan setelah 10 tahun (n=10) adalah U10 = 1.000.000 × (1.05) 9. (1.05) 9 ≈ 1.5513. Jadi, perkiraan nilai akhirnya adalah Rp 1.551.300. Bandingkan dengan bunga tunggal yang hanya akan menjadi Rp 1.500.000. Selisih Rp 51.300 itu adalah kekuatan dari pertumbuhan geometris.
Latihan dan Penguatan Pemahaman
Setelah memahami teori dan contoh, saatnya mengasah kemampuan dengan berlatih. Kerjakan soal-soal berikut untuk memastikan pemahamanmu sudah mantap.
- Diketahui barisan geometri: 2, 6, 18, 54, … Tentukan suku ke-8.
- Suku pertama dan suku ketiga suatu barisan geometri berturut-turut adalah 4 dan 36. Tentukan suku ke-5.
- Dalam suatu barisan geometri, U3 = 12 dan U 6 = 96. Tentukan suku pertama (a) dan rasio (r).
- Populasi bakteri di sebuah lab berkembang menjadi dua kali lipat setiap jam. Jika pada pukul 08.00 terdapat 100 bakteri, perkirakan jumlah bakteri pada pukul 14.00 hari yang sama.
- Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp 200.000.000. Setiap tahun, nilai jualnya menyusut 10% dari harga tahun sebelumnya. Tentukan perkiraan harga jual mobil tersebut pada akhir tahun ke-5.
Kunci Jawaban Akhir: 1) 4374. 2) 324. 3) a=3, r=2 (atau a=3, r=-2). 4) 6.400 bakteri. 5) Rp 118.098.000.
Petunjuk untuk Soal Menantang
Untuk Soal 3: Gunakan hubungan U 6 = U 3 × r 3, karena dari suku ke-3 ke suku ke-6 butuh dikali r sebanyak 3 kali. Dari sini kamu bisa langsung mencari r, lalu substitusi ke U 3 untuk mencari a.
Untuk Soal 5: Penyusutan 10% berarti nilai yang tersisa adalah 90% atau 0.9 dari tahun sebelumnya. Jadi, rasio (r) = 0.9. Harga awal (a) = 200 juta. Harga di akhir tahun ke-5 adalah suku ke-6 (karena akhir tahun pertama adalah suku ke-2), jadi hitung U 6.
Strategi Mengecek Kebenaran Jawaban, Rumus suku ke-n dari barisan 5, 10, 20,40, 80,.. adalah..
Setelah mendapatkan jawaban, cobalah masukkan kembali nilai a, r, dan n yang kamu temukan ke dalam rumus. Hitung ulang, mungkin dengan cara berbeda (misalnya, hitung bertahap untuk n yang kecil). Untuk soal kontekstual, tanyakan pada dirimu: “Apakah jawaban ini masuk akal?” Misal, untuk soal penyusutan mobil, harga setelah 5 tahun harusnya kurang dari setengah harga awal, tapi tidak terlalu jauh.
Jika hasilmu Rp 50 juta, mungkin ada kesalahan pangkat. Selalu lakukan sense-check terhadap hasil akhir.
Kesimpulan Akhir
Jadi, setelah menelusuri dari pengenalan pola, penurunan rumus, sampai penerapannya, kita sampai pada kesimpulan yang cukup powerful: matematika seringkali adalah seni menyederhanakan kompleksitas. Rumus Un = 5 × 2^(n-1) untuk barisan kita hari ini adalah buktinya. Ia mengubah proses perkalian berulang yang panjang menjadi satu baris perhitungan elegan. Mulailah dengan mengenali rasionya, pastikan nilai awalnya, dan masukkan posisi suku yang ditanya—voilà, jawabannya ada di depan mata.
Rumus ini bukan akhir, tapi justru gerbang untuk menjelajahi pertumbuhan eksponensial, dari bunga majemuk hingga penyebaran viral, yang semuanya bermula dari pemahaman mendasar tentang barisan geometri sederhana seperti ini.
Sudut Pertanyaan Umum (FAQ)
Apakah rumus ini hanya berlaku untuk barisan yang naik dikali 2?
Barisan 5, 10, 20, 40, 80,.. punya pola dikali dua, jadi rumus suku ke-n-nya adalah Un = 5 × 2^(n-1). Nah, kalau kamu udah paham pola deret, coba tantangan logika lain soal fungsi, misalnya Fungsi g ditentukan dengan rumus g(x) = 3x – 2n. Jika g (4) = 6 maka nilai n =. Setelah itu, kembalilah ke konsep barisan tadi; pemahaman tentang pola dan substitusi nilai sangat krusial untuk menguasai kedua topik ini dengan baik.
Tidak. Rumus umum Un = a × r^(n-1) berlaku untuk semua barisan geometri, berapapun rasio (r) dan suku pertamanya (a), baik untuk pertumbuhan (r > 1) maupun penyusutan (0 < r < 1).
Bagaimana jika suku pertama (a) dalam soal tidak diberikan langsung?
Suku pertama (a) harus ditemukan terlebih dahulu. Biasanya bisa ditemukan dengan informasi dua suku lain yang diketahui. Gunakan sistem persamaan dari rumus Un untuk menemukan nilai a dan r.
Apa bedanya pangkat (n-1) dengan pangkat n dalam rumus ini?
Pangkat (n-1) muncul karena suku pertama (U1) tidak dikalikan rasio sama sekali (atau dikalikan r^0). Suku kedua dikalikan rasio satu kali (r^1), dan seterusnya. Jadi, untuk suku ke-n, banyaknya perkalian dengan rasio adalah (n-1) kali.
Apakah barisan 5, 10, 20, 40,… bisa disebut juga deret?
Tidak. Barisan adalah daftar urutan sukunya (5, 10, 20, 40,…). Deret adalah hasil penjumlahan dari suku-suku barisan tersebut (5 + 10 + 20 + 40 + …). Mereka memiliki rumus jumlah yang berbeda.
Kesalahan hitung apa yang paling sering terjadi saat menggunakan rumus ini?
Kesalahan umum adalah salah menempatkan pangkat, yaitu hanya memangkatkan rasio (r) tanpa mengalikan dengan a, atau sebaliknya. Selalu ingat urutan operasi: hitung r^(n-1) dulu, baru kalikan hasilnya dengan a.
